Zahlbereich/Logarithmische Gesamteinbettung/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${\displaystyle {}R}$ der Ganzheitsring zur endlichen Körpererweiterung ${\displaystyle {}\mathbb {Q} \subseteq K}$. In Fakt haben wir gesehen, dass das Bild der reellen Gesamteinbettung

${\displaystyle {}\tau ^{\mathbb {R} }(R)=\Gamma _{R}\subset \mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}\,}$

ein Gitter in ${\displaystyle {}\mathbb {R} ^{r}\times {\mathbb {C} }^{s}}$ ist, wobei ${\displaystyle {}r}$ die Anzahl der reellen Einbettungen und ${\displaystyle {}s}$ die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen bezeichnet. Zu jedem von ${\displaystyle {}0}$ verschiedenen Element ${\displaystyle {}f\in R}$ ist ${\displaystyle {}\tau ^{\mathbb {R} }(f)}$ in jeder reellen Komponente und in jeder komplexen Komponente von ${\displaystyle {}0}$ verschieden (Real- oder Imaginärteil kann aber ${\displaystyle {}0}$ sein). Um die Einheitengruppe von ${\displaystyle {}R}$ zu verstehen, betrachten wir die Abbildung

${\displaystyle {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}\longrightarrow \mathbb {R} ^{r+s},\,(x_{1},\ldots ,x_{r};z_{r+1},\ldots ,z_{r+s})\longmapsto (\ln \vert {x_{1}}\vert ,\ldots ,\ln \vert {x_{r}}\vert ;\ln \left(\vert {z_{r+1}}\vert ^{2}\right),\ldots ,\ln \left(\vert {z_{r+s}}\vert ^{2}\right)).}$

Man beachte, dass man für die komplexen Einbettungen die Werte

${\displaystyle {}\ln \vert {z_{j}{\overline {z_{j}}}}\vert =\ln \left(\vert {z_{j}}\vert ^{2}\right)=2\ln \vert {z_{j}}\vert \,}$

heranzieht. Insgesamt haben wir die Verknüpfung der folgenden Abbildungen

${\displaystyle K^{\times }{\stackrel {\tau ^{\mathbb {R} }}{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left({\mathbb {C} }^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\vert {-}\vert }{\longrightarrow }}{\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{r}\times {\left(\mathbb {R} ^{\times }\right)}^{s}{\stackrel {\ln \left(-\right),2\ln \left(-\right)}{\longrightarrow }}\mathbb {R} ^{r}\times \mathbb {R} ^{s},}$

wobei die funktionalen Ausdrücke komponentenweise zu verstehen sind. Da die Einbettungen und der Betrag multiplikativ sind und der Logarithmus die Multiplikation in die Addition überführt, liegt insgesamt ein Gruppenhomomorphismus

${\displaystyle (K^{\times },1,\cdot )\longrightarrow (\mathbb {R} ^{r+s},0,+)}$

vor. Wir sprechen von der logarithmischen Gesamtabbildung und bezeichnen sie mit ${\displaystyle {}L}$. Diese ist insbesondere für die Einheitengruppe ${\displaystyle {}R^{\times }\subseteq K^{\times }}$ wichtig.