Zahlbereich/Reine kubische Erweiterung/Primzahl/Beschreibung/Fakt/Beweis2

Wir schreiben ${\displaystyle {}q=9s+r}$ mit dem Rest ${\displaystyle {}r}$. Wir zeigen, dass bei ${\displaystyle {}r\neq \pm 1}$ der Ring ${\displaystyle {}R=\mathbb {Z} [X]/(X^{3}-q)}$ normal ist, wozu wir Beispiel heranziehen. Es ist lediglich noch zu zeigen, dass das Primideal

${\displaystyle {}{\mathfrak {q}}=(X-q,3)\,}$

in der Lokalisierung ${\displaystyle {}R_{\mathfrak {q}}}$ ein Hauptideal ist. In ${\displaystyle {}R}$ gilt der Zusammenhang

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(x-q)^{3}&=x^{3}-3x^{2}q+3xq^{2}-q^{3}\\&=q-q^{3}-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q(q^{2}-1)-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q(81s^{2}+18rs+r^{2}-1)-3x^{2}q+3xq^{2}\\&=-q3(27s^{2}+6rs+r^{2}-1-x^{2}q+xq^{2})\\&=-q3(27s^{2}+6rs+r^{2}-1+xq(x-q)).\end{aligned}}}$

Modulo ${\displaystyle {}(x-q,3)}$ wird der hintere Faktor zu ${\displaystyle {}r^{2}-1\mod 3}$. Dies ist bei ${\displaystyle {}r\neq \pm 1\mod 9}$ ungleich ${\displaystyle {}0}$. Der Faktor wird also zu einer Einheit und ebenso wird ${\displaystyle {}q}$ zu einer Einheit. Deshalb ist in der Lokalisierung die ${\displaystyle {}3}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}(x-q)}$.

Bei ${\displaystyle {}q=9s\pm 1}$ ist

${\displaystyle {}{\begin{aligned}(x-q)^{3}&=-q3(27s^{2}+6rs+xq(x-q))\\&=-q9(9s^{2}+2rs)-q3xq(x-q).\end{aligned}}}$

Man kann

${\displaystyle {}(x-q)(x^{2}+qx+q^{2})=x^{3}-q^{3}=q-q^{3}=q(1-q^{2})=3^{m}\cdot u\,}$

mit ${\displaystyle {}3}$ und ${\displaystyle {}u}$ teilerfremd schreiben, dies ist die Norm von ${\displaystyle {}x-q}$. Wegen

${\displaystyle {}q^{2}-1=(9s\pm 1)^{2}-1=81s^{2}\pm 18s\,}$

ist dies ein Vielfaches der ${\displaystyle {}9}$, d.h. ${\displaystyle {}m\geq 2}$. Wir setzen

${\displaystyle {}y={\frac {x^{2}+qx+1}{3}}=a+bx+cx^{2}\,}$

mit ${\displaystyle {}a={\frac {1}{3}}}$, ${\displaystyle {}b={\frac {q}{3}}}$, ${\displaystyle {}c={\frac {1}{3}}}$. Die Multiplikationsmatrix zu ${\displaystyle {}y}$ ist

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}&{\frac {q^{2}}{3}}\\{\frac {q}{3}}&{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}\\{\frac {1}{3}}&{\frac {q}{3}}&{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}}$

und das charakteristische Polynom davon ist unter Verwendung von Beispiel gleich

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,\det {\begin{pmatrix}T-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}&-{\frac {q^{2}}{3}}\\-{\frac {q}{3}}&T-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}\\-{\frac {1}{3}}&-{\frac {q}{3}}&T-{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}\\&=T^{3}-3aT^{2}+(3a^{2}-3bcq)T-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\,\end{aligned}}}$

Die Koeffizienten sind dabei

${\displaystyle {}{\begin{aligned}3a^{2}-3bcq&={\frac {1-q^{2}}{3}}\\\end{aligned}}}$

was ganzzahlig ist, und

${\displaystyle {}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,-a^{3}+3abcq-b^{3}q-c^{3}q^{2}\\&=-\left({\frac {1}{3^{3}}}\right)+\left({\frac {q^{2}}{9}}\right)-\left({\frac {q^{4}}{3^{3}}}\right)-\left({\frac {q^{2}}{3^{3}}}\right)\\&={\frac {-q^{4}+2q^{2}-1}{27}}\\&=-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}\,\end{aligned}}}$

was wieder nach Voraussetzung ganzzahlig ist. Somit ist

${\displaystyle {}T^{3}-T^{2}+{\frac {1-q^{2}}{3}}T-{\frac {(q^{2}-1)^{2}}{27}}=0\,}$

eine Ganzheitsgleichung für ${\displaystyle {}y}$, die man auch als

${\displaystyle {}T^{3}-T^{2}-(27s\pm 6)sT-3(9s\pm 2)^{2}s^{2}=0\,}$

schreiben kann.

Wir betrachten nun

${\displaystyle {}S=\mathbb {Z} [x,y]\,}$

und stellen zunächst fest, dass ${\displaystyle {}1,x,y}$ eine Basis ist, da man ${\displaystyle {}x^{2},xy,y^{2}}$ als ${\displaystyle {}\mathbb {Z} }$-Linearkombination damit ausdrücken kann, und zwar ist ${\displaystyle {}x^{2}=3y-qx-1}$, ${\displaystyle {}xy=qy+{\frac {1-q}{3}}x}$ und ${\displaystyle {}y^{2}={\frac {q^{2}-1}{9}}+q{\frac {q^{2}-1}{9}}x+{\frac {q^{2}+2}{3}}y}$. Es ist zu zeigen, dass ${\displaystyle {}S}$ normal ist, wobei dies vom Anfang her für die Nenneraufnahme an ${\displaystyle {}3}$ klar ist. Betrachten wir also die Situation oberhalb von ${\displaystyle {}(3)}$. Modulo ${\displaystyle {}3}$ wird die Ganzheitsgleichung zu

${\displaystyle {}T^{3}-T^{2}=0\,,}$

also gibt es die beiden maximalen Ideale ${\displaystyle {}(3,y)}$ und ${\displaystyle {}(3,y-1)}$. In ${\displaystyle {}S_{(y-1,3)}}$ ist ${\displaystyle {}3}$ ein Erzeuger des maximalen Ideals, da ja ${\displaystyle {}y}$ zu einer Einheit wird.

Sei nun ${\displaystyle {}s}$ kein Vielfaches von ${\displaystyle {}3}$, also ${\displaystyle {}m=2}$. Dann wird der konstante Term im Minimalpolynom für ${\displaystyle {}y}$ von der ${\displaystyle {}3}$ einfach geteilt, und daher ist ${\displaystyle {}3}$ ein Vielfaches von ${\displaystyle {}y}$, es liegt also wieder ein Hautideal vor.