Zahlbereich/Ringhomomorphismus/Einheiten/Mögliche Wurzeln/Aufgabe/Lösung

Wir betrachten die Norm der Körpererweiterung ${\displaystyle {}Q(R)\subseteq Q(S)}$, diese ergibt in ${\displaystyle {}S}$ die Gleichung

${\displaystyle {}u^{d}=N(u)=N(v^{n})=N(v)^{n}\,.}$

Nach Aufgabe gibt es ein ${\displaystyle {}w\in R}$ und natürliche Zahlen ${\displaystyle {}k,\ell }$ und Einheitswurzeln ${\displaystyle {}\zeta ,\xi }$ in ${\displaystyle {}R}$ mit ${\displaystyle {}u=\zeta w^{k}}$ und ${\displaystyle {}N(v)=\xi w^{\ell }}$. Nach Voraussetzung muss ${\displaystyle {}k=1}$ sein. Damit ist

${\displaystyle {}u^{d}=(\xi w^{\ell })^{n}=(\xi \zeta ^{-\ell }u^{\ell })^{n}=\eta u^{\ell n}\,}$

mit einer Einheitswurzel ${\displaystyle {}\eta }$. Somit ist

${\displaystyle {}d=\ell n}$