Beweisarchiv: Algebra: Gruppen: Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung

Beweisarchiv: Algebra

Halbgruppen: Linksneutrale und rechtsneutrale Elemente

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Körper: Endlicher Integritätsbereich · Approximationssatz von Liouville· Transzendenz von e und π · Zahlencharakter von e· Die Existenz der reellen Wurzel

Moduln: freie Moduln sind projektiv

${\displaystyle G\ }$ sei eine endliche Gruppe mit einer Untergruppe ${\displaystyle H\ }$.

Die Ordnung der Untergruppe ${\displaystyle |H|\ }$ (Anzahl der Elemente) ist ein Teiler der Gruppenordnung ${\displaystyle |G|\ }$.

Die Linksnebenklassenbildung, also die Abbildung ${\displaystyle f:G\ni a\mapsto \{a\circ u\mid u\in H\}}$ stellt eine Äquivalenzrelation auf ${\displaystyle G\ }$ dar (${\displaystyle u\sim v\iff f(u)=f(v)}$), bei der jede Äquivalenzklasse die Mächtigkeit ${\displaystyle |H|\ }$ hat. Da die Vereinigung dieser Äquivalenzklassen ganz ${\displaystyle G\ }$ ergibt und die Äquivalenzklassen paarweise disjunkt sind, ist ${\displaystyle |H|\ }$ ein Teiler von ${\displaystyle |G|\ }$.

abelsche Gruppe - Halbgruppe - Monoid