Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz

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Moduln: freie Moduln sind projektiv

Sei ${\displaystyle R}$ ein kommutativer unitärer Ring sowie ${\displaystyle a,b\in R,n\in \mathbb {N} _{0}}$ beliebig.

Es gilt ${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}$.

Durch vollständige Induktion über ${\displaystyle n}$.

${\displaystyle n=0}$:

${\displaystyle (a+b)^{0}=1={0 \choose 0}a^{0}b^{0}=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{k}b^{0-k}}$

Induktionsschritt: ${\displaystyle n\rightarrow n+1}$

Annahme: ${\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}$ gilt für ein ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$

Behauptung: ${\displaystyle (a+b)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}}$

Beweis:

Durch Verwenden der Annahme gilt:

${\displaystyle (a+b)^{n+1}=(a+b)(a+b)^{n}=(a+b)\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}$

${\displaystyle =a\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}+b\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}$ (1. Anwenden des Distributivgesetzes)

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}}$ (2. Hineinmultiplizieren der Faktoren ${\displaystyle a,b}$ in die jeweilige Summe)

Jetzt müssen die Summen wieder vernünftig zusammengeführt werden. Dazu wird folgende Identität verwendet:

${\displaystyle {n \choose k-1}+{n \choose k}={n+1 \choose k}}$

Diese lässt sich durch einfaches Ausrechnen beweisen.

Um die entsprechenden Binomialkoeffizienten zu erhalten, wird in (2) der Index der linken Summe um 1 erhöht:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k+1}b^{n-k}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}}$

${\displaystyle =\sum _{k=1}^{n+1}{n \choose k-1}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}}$ (3. Indexverschiebung des linken Summanden)

${\displaystyle =a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k-1}a^{k}b^{n-k+1}+\sum _{k=1}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n+1-k}+b^{n+1}}$ (4. je einen Summanden aus der Summe herausziehen)

${\displaystyle =b^{n+1}+a^{n+1}+\sum _{k=1}^{n}{\left({n \choose k-1}+{n \choose k}\right)a^{k}b^{n+1-k}}}$ (5. Summen addieren und Distributivgesetz anwenden)

${\displaystyle ={n+1 \choose 0}a^{0}b^{(n+1)-0}+{n+1 \choose n+1}a^{n+1}b^{(n+1)-(n+1)}+\sum _{k=1}^{n}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}}$

${\displaystyle =\sum _{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k}a^{k}b^{n+1-k}}$

${\displaystyle \Box }$

Binomischer Lehrsatz - Binomialkoeffizient