Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Da die Sinusfunktion üblicherweise geometrisch definiert ist, ist eine exakte Berechnung ausschließlich mit Methoden der Analysis nicht möglich. Je nachdem, welche geometrischen Eigenschaften vorausgesetzt werden, gibt es unterschiedliche Zugänge zur Differentiation der Sinusfunktion.

Setzt man den Begriff der Bogenlänge als bekannt voraus, so lässt sich die Ableitung der Sinusfunktion mit Hilfe der Definition des Sinus am Einheitskreis berechnen, wobei der Winkel zweckmäßigerweise im Bogenmaß angegeben wird.

Aus der Skizze kann man folgende Zusammenhänge erkennen. ${\displaystyle x}$ ist das Bogenmaß zum Sinuswert. Im Einheitskreis ist

${\displaystyle y\ =\sin x}$

Ändert sich der Bogen ${\displaystyle x}$ um das Maß ${\displaystyle \mathrm {d} x}$, so ergibt sich auch das Maß ${\displaystyle \mathrm {d} y}$. Denkt man sich ${\displaystyle \mathrm {d} x}$ gegen Null gehend, so ergeben sich zwei ähnliche Dreiecke ABC und EDC. Setzt man diese ins Verhältnis, so erhält man

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {\overline {AB}}{1}}}$

Da

${\displaystyle {\overline {AB}}=\cos x}$

ist und

${\displaystyle y^{\prime }={\frac {dy}{dx}}}$

die Ableitung ist, ergibt sich als Lösung

${\displaystyle y^{\prime }=\cos x}$.

Obige Berechnung der Ableitung beruht auf dem nicht elementaren Begriff der Bogenlänge; es ist nicht so einfach zu zeigen, dass die Länge des Kreisbogens ${\displaystyle EC}$ einfach durch die Länge der Sehne ${\displaystyle EC}$ angenähert werden darf. Eine andere Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion, die auf Flächenüberlegungen beruht, vermeidet dieses Problem. Für diesen Zugang interpretiert man den Winkel als doppelten Flächeninhalt des zugehörigen Sektors am Einheitskreis, analog zu den Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Numerisch ist das zwar derselbe Wert wie das Bogenmaß, diese Interpretation vermeidet aber die Problematik der Bogenlänge.

Zunächst folgt aus ${\displaystyle \sin x-\sin y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\sin {\frac {x-y}{2}}}$, dass

${\displaystyle {\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\cos(x+h/2){\frac {\sin(h/2)}{h/2}}}$,

also wegen der Stetigkeit der Kosinusfunktion

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\cos(x)\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h/2)}{h/2}}}$,

es reicht also, den Grenzwert

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin(h)}{h}}}$

zu berechnen.

Betrachtet man in nebenstehender Abbildung die Punkte ${\displaystyle O(0,0),A(1,0),B(1,\tan x),C(\cos x,0)\!}$ und ${\displaystyle D(\cos x,\sin x)\!}$ und ist ${\displaystyle x}$ in Bogenmaß gegeben, so hat das Dreieck ${\displaystyle OCD}$ (rote Fläche) den Flächeninhalt ${\displaystyle {\frac {\sin x\cos x}{2}}}$, der Kreissektor ${\displaystyle OAD}$ (rote plus orange Fläche) den Flächeninhalt ${\displaystyle {\frac {x}{2}}}$, und das Dreieck ${\displaystyle OAB}$ (rote plus orange plus gelbe Fläche) den Flächeninhalt ${\displaystyle {\frac {\tan x}{2}}.}$ Da eine Fläche jeweils die vorige umfasst, gilt erstens

${\displaystyle {\frac {x}{2}}\geq {\frac {\sin x\cos x}{2}}={\frac {\sin 2x}{4}}}$, also ${\displaystyle 1\geq {\frac {\sin 2x}{2x}}}$,

und zweitens

${\displaystyle {\frac {x}{2}}\leq {\frac {\tan x}{2}}={\frac {\sin x}{2\cos x}}}$, also ${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}}$,

insgesamt also

${\displaystyle \cos h\leq {\frac {\sin h}{h}}\leq 1}$

und daher

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {\sin h}{h}}=1}$.

Für die Ableitung der Sinusfunktion ergibt das

${\displaystyle {\frac {{\rm {d}}\sin x}{{\rm {d}}x}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sin(x+h)-\sin(x)}{h}}=\cos x}$.

Mit der Bogenlänge lassen sich Sinus und Kosinus analytisch definieren: (siehe Herleitung)

${\displaystyle \sin s:={\frac {2t(s)}{1+t^{2}(s)}}}$

sowie

${\displaystyle \cos s:={\frac {1-t^{2}(s)}{1+t^{2}(s)}}}$.

Aus der Quotientenregel und der Kettenregel folgen dann

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sin s}{\mathrm {d} s}}={\frac {2\left(1+t^{2}(s)\right)-4t^{2}(s)}{\left(1+t^{2}(s)\right)^{2}}}\cdot {\frac {1+t^{2}(s)}{2}}=}$

${\displaystyle ={\frac {1-t^{2}(s)}{1+t^{2}(s)}}=\cos s}$

sowie

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \cos s}{\mathrm {d} s}}={\frac {-2t(s)\left(1+t^{2}(s)\right)-2t(s)\left(1-t^{2}(s)\right)}{\left(1+t^{2}(s)\right)^{2}}}\cdot {\frac {1+t^{2}(s)}{2}}=}$

${\displaystyle ={\frac {-2t(s)}{1+t^{2}(s)}}=-\sin s}$.

Leopold Vietoris hat im September 1956 auf dem vierten österreichischen Mathematikerkongress in Wien eine Berechnung der Ableitung der Sinusfunktion vorgestellt, die im Wesentlichen nur die Additionstheoreme und Monotonie und Stetigkeit der Sinus- und Kosinusfunktion benötigt. Sei ${\displaystyle \alpha }$ ein Winkel mit ${\displaystyle 0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }}$. Dann folgt aus mehrmaliger Anwendung der Additionstheoreme

${\displaystyle \sin \alpha =2\sin {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\alpha }{2}}=2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}\prod _{j=1}^{n}\cos {\frac {\alpha }{2^{j}}}}$.

Setzt man

${\displaystyle p_{n}(\alpha ):=\prod _{j=1}^{n}\cos {\frac {\alpha }{2^{j}}}}$,

${\displaystyle q_{n}(\alpha ):=2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}}$ und

${\displaystyle r_{n}(\alpha ):=p_{n}(\alpha )\cos {\frac {\alpha }{2^{n}}}}$,

so lässt sich leicht zeigen, dass

${\displaystyle r_{n}(\alpha )<r_{n+1}(\alpha )<p_{n+1}(\alpha )<p_{n}(\alpha )\,}$

gilt. Daher konvergiert die Folge ${\displaystyle p_{n}\left(\alpha \right)}$, und für den Grenzwert ${\displaystyle p(\alpha ):=\lim _{n\to \infty }p_{n}(\alpha )}$ gilt

${\displaystyle 0<\cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}=r_{1}(\alpha )<p(\alpha )<1}$.

Die Folge ${\displaystyle q_{n}\left(\alpha \right)}$ konvergiert somit ebenfalls und der Grenzwert ${\displaystyle q(\alpha ):=\lim _{n\to \infty }q_{n}(\alpha )}$ erfüllt ${\displaystyle q\left(\alpha \right)>0}$ und ${\displaystyle \sin \alpha =p\left(\alpha \right)q\left(\alpha \right)}$. Aus der Stetigkeit der Kosinusfunktion bei ${\displaystyle \alpha =0^{\circ }}$ folgt, dass ${\displaystyle q\left(\alpha \right)}$ der Cauchyschen Funktionalgleichung genügt:

${\displaystyle q(\alpha +\beta )=\lim _{n\to \infty }\left(2^{n}\sin {\frac {\alpha +\beta }{2^{n}}}\right)=}$

${\displaystyle =\lim _{n\to \infty }\left(2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}\cos {\frac {\beta }{2^{n}}}+2^{n}\sin {\frac {\beta }{2^{n}}}\cos {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)=q(\alpha )+q(\beta )}$

Da ${\displaystyle q_{n}\left(\alpha \right)}$ monoton steigend ist, ist ${\displaystyle q\left(\alpha \right)}$ ebenfalls monoton steigend und hat daher als monotone Lösung der Cauchyschen Funktionalgleichung notwendigerweise die Form

${\displaystyle q\left(\alpha \right)=c\alpha }$,

wobei ${\displaystyle c}$ eine Konstante ${\displaystyle >0}$ ist. Es gilt also ${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=cp(\alpha )}$. Aus ${\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\alpha }{2}}<p(\alpha )<1}$ folgt ${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0+}p(\alpha )=1}$ und daher

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0+}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=\lim _{\alpha \to 0-}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=c}$

weil die Sinusfunktion ungerade ist. Daraus folgt

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\sin \alpha =c\cos \alpha }$.

Welche Bedeutung hat nun die durch den Grenzwert

${\displaystyle c\alpha =\lim _{n\to \infty }\left(2^{n}\sin {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}$

definierte Konstante ${\displaystyle c}$? Wie sich geometrisch zeigen lässt, ist

${\displaystyle U_{n}:=2^{n+1}\sin {\frac {180^{\circ }}{2^{n}}}}$

der Umfang des dem Einheitskreis eingeschriebenen regelmäßigen ${\displaystyle 2^{n}}$-Ecks und

${\displaystyle A_{n}:=2^{n-1}\sin {\frac {180^{\circ }}{2^{n-1}}}}$

der Flächeninhalt. Analytisch wurde bereits gezeigt, dass diese Folgen konvergieren; geometrisch anschaulich sind die Grenzwerte Umfang bzw. Fläche des Einheitskreises. Mit der geometrischen Definition der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ gilt also

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }U_{n}=2\pi }$ sowie

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }A_{n}=\pi }$.

Es gilt also

${\displaystyle c={\frac {\pi }{180^{\circ }}}}$.

Dieser Grenzwert lässt sich als analytische Definition von ${\displaystyle \pi }$ verwenden, wobei zu beachten ist, dass die dabei verwendete Folge die genaue Kenntnis der Sinusfunktion nicht voraussetzt, da sie wegen

${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\right)}}}$

mit einer einfachen Rekursionsformel darstellbar ist.

Definiert man das Winkelmaß so, dass dem gestreckten Winkel ${\displaystyle \alpha =180^{\circ }}$ der Wert ${\displaystyle x=\pi }$ entspricht, misst man also im Bogenmaß, so gilt für den Sinus

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\sin x=\cos x}$.

• Leopold Vietoris, Vom Grenzwert ${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}}$. Elemente Math. 12 (1957).

• Sinus und Kosinus