Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Seien ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle a<b}$ und ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ stetig. Sei ${\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }$ stetig differenzierbar mit der Ableitung ${\displaystyle F'=f}$. Dann gilt für das Riemann-Integral

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)}$.

Seien ${\displaystyle x\in [a,b]}$ und ${\displaystyle G:[a,b]\to \mathbb {R} ;x\mapsto \int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y}$. Sei ${\displaystyle h\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle h\neq 0}$ und ${\displaystyle x+h\in [a,b]}$ und definiere ${\displaystyle m_{h}:=\min\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}}$, ${\displaystyle M_{h}:=\max\{f(y);|y-x|\leq h,y\in [a,b]\}}$. Dann gilt nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

${\displaystyle G(x+h)-G(x)=\int _{a}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y-\int _{a}^{x}f(y)\mathrm {d} y=\int _{x}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y}$.

Wegen

${\displaystyle m_{h}\leq {\frac {1}{h}}\int _{x}^{x+h}f(y)\mathrm {d} y\leq M_{h}}$

gilt

${\displaystyle m_{h}\leq {\frac {G(x+h)-G(x)}{h}}\leq M_{h}}$.

Da ${\displaystyle f}$ stetig ist, existiert nach dem ${\displaystyle \epsilon -\delta }$-Kriterium nun für jedes ${\displaystyle \epsilon \in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle \delta \in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle \delta >0}$ mit ${\displaystyle |f(y)-f(x)|<\epsilon }$ für alle ${\displaystyle y\in [a,b]}$ mit ${\displaystyle |y-x|<\delta }$. Mit anderen Worten existiert für jedes ${\displaystyle \epsilon >0}$ ein ${\displaystyle h>0}$ mit ${\displaystyle M_{h}-m_{h}<\epsilon }$. Damit ist ${\displaystyle G}$ am Punkt ${\displaystyle x}$ differenzierbar mit

${\displaystyle G'(x)=\lim _{h\to 0 \atop x+h\in [a,b]}{\frac {G(x+h)-G(x)}{h}}=f(x)}$.

Damit ist ${\displaystyle G}$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$.
Sei nun ${\displaystyle F:I\to \mathbb {R} }$ eine Stammfunktion von ${\displaystyle f}$. Dann existiert nach der Charakterisierung konstanter Funktionen eine Konstante ${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle F(x)=G(x)+C}$ für alle ${\displaystyle x\in [a,b]}$. Damit gilt erneut nach den Rechenregeln fürs Riemann-Integral

${\displaystyle F(b)-F(a)=G(b)+C-G(a)-C=G(b)-G(a)=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x-\int _{a}^{a}f(x)\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$.

${\displaystyle \Box }$