Beweisarchiv: Analysis: Konvergenz: Grundeigenschaften konvergenter Folgen

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Integralrechnung: Gaußsches Integral

Konvexität und Stetigkeit

Seien ${\displaystyle K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$ und sei ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ eine konvergente Folge in ${\displaystyle K}$. Dann gelten:

(a) Die Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist beschränkt.

(b) Die Folge der Beträge ${\displaystyle (|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }}$ ist wieder konvergent mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n}|=|\lim _{n\to \infty }a_{n}|}$.

Sei ${\displaystyle a:=\lim _{n\to \infty }a_{n}\in K}$.

(a) Direkter Beweis.

Wir nehmen uns ein ${\displaystyle \varepsilon >0}$ und finden nach der Definition der Konvergenz einer Folge das ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon }$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle n\geq n_{0}}$. Damit liegt die Folge für ${\displaystyle n\geq n_{0}}$ ganz im Intervall ${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$. Nun definieren wir

${\displaystyle b:=\max(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})}$ und

${\displaystyle c:=\min(a_{0},a_{1},\dots ,a_{n-1})}$.

Dann sind ${\displaystyle b\in K}$ und ${\displaystyle c\in K}$ und weiterhin ${\displaystyle a_{n}\in [b,c]}$ für alle ${\displaystyle n<n_{0}}$.
Die Mengen

${\displaystyle \{a_{n}|n\in \mathbb {N} ,n<n_{0}\}}$ und

${\displaystyle \{a_{n}|n\in \mathbb {N} ,n\geq n_{0}\}}$

sind also beschränkt.
Nun definieren wir
${\displaystyle d:=\max(b,a+\varepsilon )}$ und
${\displaystyle e:=\min(c,a-\varepsilon )}$.
Damit gilt ${\displaystyle a_{n}\in [e,d]}$ für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ist also beschränkt.

(b) Direkter Beweis.

Mit der Definition der Konvergenz und der Konvergenz von ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ gibt es für alle ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ so, dass ${\displaystyle |a_{n}-a|<\varepsilon }$ gilt für alle ${\displaystyle n\geq n_{0}}$. Mit der umgekehrten Dreiecksungleichung folgt auch
${\displaystyle ||a_{n}|-|\lim _{n\to \infty }a_{n}||=||a_{n}|-|a||\leq |a_{n}-a|<\varepsilon }$.
Damit ist ${\displaystyle (|a_{n}|)_{n\in \mathbb {N} }\to |a|}$ gezeigt.

${\displaystyle \Box }$