Beweisarchiv: Geometrie: Planimetrie: Kreis: Satz des Thales

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Dreieck: Satz des Heron · Berechnung des Flächeninhalts des Diagonalendreiecks im Quader · Elementarer Satz zur Charakterisierung des Schwerpunkts im Dreieck via Flächeninhalte

Viereck: Flächenformel von Bretschneider

Inzidenzgeometrie ·

affine Geometrie: einfache Hilfssätze · Homothetien und Translationen · Desarguesche affine Ebenen sind Vektorräume

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Trigonometriesätze: Sinussatz · Kosinussatz · Neue Folgerungen aus dem Projektionssatz der Dreiecksgeometrie

Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck ${\displaystyle \bigtriangleup {ABC}}$ rechtwinklig ist, wenn ${\displaystyle C}$ auf einem Halbkreis über ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ liegt.

Da ${\displaystyle {\overline {AM}}={\overline {CM}}={\overline {BM}}=r}$ sind ${\displaystyle \bigtriangleup {AMC}}$ und ${\displaystyle \bigtriangleup {CMB}}$ gleichschenklige Dreiecke. Weil die beiden Basiswinkel in einem gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind, gilt:

(1)  ${\displaystyle \alpha _{1}=\gamma _{1}\,}$

und

(2)  ${\displaystyle \beta _{2}=\gamma _{2}\,}$

Da alle Winkel in einem Dreieck addiert ${\displaystyle 180^{\circ }}$ ergeben, gilt für das Dreieck ${\displaystyle \bigtriangleup {ABC}}$:

(3)  ${\displaystyle \alpha _{1}+\beta _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}=180^{\circ }\,}$

Setzt man nun  (1)  und  (2)  ein, erhält man:

(3.1)  ${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{1}+\gamma _{2}=180^{\circ }\,}$

(3.2)  ${\displaystyle 2\gamma _{1}+2\gamma _{2}=180^{\circ }\,}$

(3.3)  ${\displaystyle 2(\gamma _{1}+\gamma _{2})=180^{\circ }\,}$

(3.4)  ${\displaystyle \gamma _{1}+\gamma _{2}=90^{\circ }\,}$

(3.5)  ${\displaystyle \gamma =90^{\circ }\,}$

Damit ist der Satz des Thales bewiesen, denn das Dreieck ${\displaystyle \bigtriangleup {ABC}}$ enthält immer den rechten Winkel ${\displaystyle \gamma }$ bei ${\displaystyle C}$ und ist somit immer rechtwinklig.

Siehe auch weiter oben den Sonderfall von Mittelpunktswinkel-Umfangswinkel

Man lege ein kartesisches Koordinatensystem so fest, dass der Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ des Kreises im Koordinatenursprung liegt und sich ${\displaystyle {\overline {AB}}}$ auf der x-Achse befindet. Nun ist

${\displaystyle {\vec {b}}:={\overrightarrow {MB}}={\begin{pmatrix}r\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\vec {a}}:={\overrightarrow {MA}}=-{\vec {b}}.}$

Außerdem ist

${\displaystyle {\vec {c}}:={\overrightarrow {MC}}={\begin{pmatrix}r\cos \delta _{2}\\r\sin \delta _{2}\end{pmatrix}},}$

wobei der Winkel ${\displaystyle \delta _{2}}$ beliebig ist. Die Vektoren ${\displaystyle {\vec {c}}-{\vec {a}}}$ und ${\displaystyle {\vec {c}}-{\vec {b}}}$ sind genau dann rechtwinklig, wenn ${\displaystyle \langle {\vec {c}}-{\vec {a}},{\vec {c}}-{\vec {b}}\rangle =0}$ ist.

Es ergibt sich nun:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\langle {\vec {c}}-{\vec {a}},{\vec {c}}-{\vec {b}}\rangle =\langle {\vec {c}},{\vec {c}}\rangle -\langle {\vec {c}},{\vec {a}}\rangle -\langle {\vec {c}},{\vec {b}}\rangle +\langle {\vec {a}},{\vec {b}}\rangle \\&=|{\vec {c}}|^{2}-\langle {\vec {c}},{\vec {a}}\rangle +\langle {\vec {c}},{\vec {a}}\rangle -|{\vec {a}}|^{2}\\&=(\cos ^{2}\delta _{2}+\sin ^{2}\delta _{2})\,r^{2}-r^{2}=r^{2}-r^{2}=0,\end{aligned}}}$

wobei

${\displaystyle \cos ^{2}\delta _{2}+\sin ^{2}\delta _{2}=1}$

ausgenutzt wurde.

q.e.d.

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