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Trigonometrie in der komplexen Ebene: Tangens und Kotangens in rechtwinkligen Dreiecken aus komplexen Zahlen

Ein Trapez ist dann ein Tangentenviereck wenn:

1.  ${\displaystyle AE+CF=AF+CE}$

2.  ${\displaystyle BE+BF=DE+DF}$

Beweis am rechten Tangentenviereck. Für das linke Tangentenviereck man die spiegelbildlichen Bezeichnungen einzusetzen.

Beweis zu 1.:

(1.1)   ${\displaystyle AE=e+f+s}$

(1.2)   ${\displaystyle CF=v}$

(1.3)   ${\displaystyle AF=e+h+u}$

(1.4)   ${\displaystyle CE=t}$

${\displaystyle AE+CF=AF+CE}$     (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1)   ${\displaystyle e+f+s+v=e+h+u+t}$

(2.2)   ${\displaystyle f+s+v=h+u+t}$

(3.1)   ${\displaystyle f+s=t+g}$    und  (3.2)  ${\displaystyle h+u=v+g}$    siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3)   ${\displaystyle t+g+v=v+t+g}$

also ist   ${\displaystyle AE+CF=AF+CE}$

Beweis zu 2.:

(1.1)   ${\displaystyle BE=s}$

(1.2)   ${\displaystyle BF=f+g+v}$

(1.3)   ${\displaystyle DE=h+g+t}$

(1.4)   ${\displaystyle DF=u}$

${\displaystyle BE+BF=DE+DF}$     (1.1) bis (1.4) eingesetzt

(2.1)   ${\displaystyle s+f+g+v=h+g+t+u}$

(2.2)   ${\displaystyle s+f+v=h+t+u}$

(3.1)   ${\displaystyle f+s=t+g}$    und  (3.2)  ${\displaystyle h+u=v+g}$    siehe Kreistangente

(3.1) bis (3.2) in (2.2) eingesetzt

(2.3)   ${\displaystyle t+g+v=v+g+t}$

also ist   ${\displaystyle BE+BF=DE+DF}$

Tangentenviereck