Ing Mathematik: Komplexe Abbildungen

Seien ${\displaystyle z}$ und ${\displaystyle w}$ komplexe Zahlen: ${\displaystyle z,w\in \mathbb {C} }$.

Die gaußsche Zahlenebene ist schon aus Band 1 bekannt.

${\displaystyle r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}};\ \varphi =\arctan {\frac {b}{a}}}$

${\displaystyle a=r\cos {\varphi };\ b=r\sin {\varphi }}$

Darstellung als geordnetes Paar:

${\displaystyle z=(a,b)}$

Darstellung in kartesischen Koordinaten oder Normaldarstellung:

${\displaystyle z=a+ib}$

mit ${\displaystyle i}$ als imaginäre Einheit. ${\displaystyle a}$ ist der Realteil ${\displaystyle \Re }$ und ${\displaystyle b}$ der Imaginärteil ${\displaystyle \Im }$. Statt ${\displaystyle a}$ wird oft auch ${\displaystyle x}$, statt ${\displaystyle b}$ auch ${\displaystyle y}$ geschrieben.

Es gilt: ${\displaystyle i^{2}=-1}$

Darstellung in Polarkoordinaten:

${\displaystyle z=r{\text{e}}^{i\varphi }=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}$

${\displaystyle \varphi ={\text{arg}}(z)}$ ... Argument von z; ${\displaystyle r=|z|}$ ... Betrag von z.

Das Argument ist nicht eindeutig bestimmt, da ${\displaystyle \tan \varphi =\tan(\varphi +k\pi );\ k\in \mathbb {Z} }$. Der Hauptwert des Arguments liegt im Bereich ${\displaystyle -\pi <\varphi \leq \pi }$.

Multiplikation von komplexen Zahlen:

${\displaystyle z_{1}z_{2}=rs{\text{e}}^{(\varphi +\psi )i}}$

Winkel zwischen komplexen Zahlen: Dies kann mittels Skalarprodukt dargestellt werden. Damit keine Verwechslung mit der Multiplikation eintritt, sei das Skalarprodukt hier mittels ${\displaystyle \odot }$ bezeichnet.

${\displaystyle z\odot w=|z||w|\cos \angle \quad \Rightarrow \quad \angle =\arccos {\frac {z\odot w}{|z||w|}}=\arccos {\frac {xu+yv}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{\sqrt {u^{2}+v^{2}}}}}}$

Eine andere Möglichkeit der Darstellung von komplexen Zahlen ist die riemannsche Zahlenkugel.

N ist der Nordpol. Er entspricht dem unendlich fernen Punkt ${\displaystyle \infty }$. S = 0 ist der Südpol. Seien ${\displaystyle \ A,B\ }$ Punkte auf der gaußschen Zahlenebene. Diesen Punkten entprechen ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ auf der riemannschen Zahlenkugel. Die Umrechnung erfolgt via Schnitt einer Geraden mit einer Kugel.

${\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}$ ist die erweiterte komplexe Zahlenebene. Es gelten folgende Rechenregeln:

${\displaystyle z+\infty =\infty }$

${\displaystyle z\cdot \infty =\infty }$

${\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0}$

${\displaystyle {\frac {z}{0}}=\infty }$

Übungen:

• Stellen Sie ${\displaystyle z=4-2i}$ in Polarkoordinaten dar.
• Stellen Sie ${\displaystyle z=12{\text{e}}^{\pi i}}$ in kartesischen Koordinaten dar.

${\displaystyle z^{n}=r^{n}{\text{e}}^{in\varphi }}$

${\displaystyle {\sqrt[{n\,}]{z}}={\sqrt[{n\,}]{r}}{\text{e}}^{i{\frac {\varphi +2k\pi }{n}}}\quad }$ mit ${\displaystyle \quad k=0,1,\dots ,n-1}$

Siehe auch  Wurzeln aus komplexen Zahlen.

Übung: Bestimmen Sie die Nullstellen von ${\displaystyle f(z)=z^{5}-i}$

${\displaystyle w=f(z)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}z^{k}\ ;\quad a_{k}\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}}$

${\displaystyle p(z),\ q(z)}$ seinen Polynome, ${\displaystyle q(z)\neq 0}$.

${\displaystyle {\text{e}}^{z}={\text{e}}^{x+iy}={\text{e}}^{x}{\text{e}}^{iy}=\underbrace {{\text{e}}^{x}\cos y} _{u}+i\underbrace {{\text{e}}^{x}\sin y} _{v}=u+iv=w}$

Funktionalgleichung: ${\displaystyle {\text{e}}^{z_{1}+z_{2}}={\text{e}}^{z_{1}}{\text{e}}^{z_{2}}}$

Die Funktion ist in imaginärer Richtung periodisch.

• Realanteil der komplexen Exponentialfunktion
• Imaginäranteil der komplexen Exponentialfunktion

${\displaystyle {\text{e}}^{2k\pi i}=\underbrace {\cos(2k\pi )} _{1}+i\underbrace {\sin(2k\pi )} _{0}=1}$ für ${\displaystyle \quad k\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \log(z)=\log \left({r{\text{e}}^{i\varphi }}\right)=\log {|r|}+i(\varphi +2k\pi )}$ mit ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$. Der komplexe Logarithmus ist somit nicht eindeutig. Dies lässt sich grafisch mittels der riemannschen Fläche visualisieren:

Für ${\displaystyle k=0}$ ergibt sich der Hauptwert oder Hauptzweig des Logarithmus: ${\displaystyle {\text{Log}}(z)=\log _{0}(z)=\log {|r|}+i\varphi }$.

Einsehen lässt sich das so:

${\displaystyle \log \left({r{\text{e}}^{i\varphi }}\right)=\log \left(r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\right)}$

${\displaystyle \cos(\varphi +2k\pi )=\cos \varphi \underbrace {\cos(2k\pi )} _{1}-\sin \varphi \underbrace {\sin(2k\pi )} _{0}=\cos \varphi }$

${\displaystyle \sin(\varphi +2k\pi )=\sin \varphi \underbrace {\cos(2k\pi )} _{1}+\cos \varphi \underbrace {\sin(2k\pi )} _{0}=\sin \varphi }$

${\displaystyle \sin z={\frac {{\text{e}}^{iz}-{\text{e}}^{-iz}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos z={\frac {{\text{e}}^{iz}+{\text{e}}^{-iz}}{2}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}z+\sin ^{2}z=1}$

${\displaystyle \sinh z={\frac {{\text{e}}^{z}-{\text{e}}^{-z}}{2}}}$

${\displaystyle \cosh z={\frac {{\text{e}}^{z}+{\text{e}}^{-z}}{2}}}$

${\displaystyle \cosh ^{2}z-\sinh ^{2}z=1}$

${\displaystyle \sin {iz}=i\sinh z}$

${\displaystyle \sinh {iz}=i\sin z}$

${\displaystyle \cos {iz}=\cosh z}$

${\displaystyle \cosh {iz}=\cos z}$

• Burg, Haf, Wille: Funktionentheorie; Teubner, 2004, ISBN 3-519-00480-1
• Furlan: Das gelbe Rechenbuch 3; Martina Furlan, 2012, ISBN 978-3-931645-02-1
• Günter, Kusmin: Aufgabensammlung zur höheren Mathematik 2; Harri Deutsch, 1993, ISBN 3-8171-1346-3
• Petry: Einführung in die Funktionentheorie; Wikibooks
• Schark, Overhagen: Mathematik - Ein Lehr- und Übungsbuch, Band 4; Harri Deutsch, 2008, ISBN 978-3-8171-1823-6
• Struckmeier: Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften (PDF); Technische Universität Hamburg-Harburg, 2012
• Timmann: Repetitorium der Funktionentheorie; Binomi, 2007, ISBN 978-3-923923-56-4