Ing Mathematik: Konforme Abbildungen

konform = bijektiv, winkel- und orientierungstreu.

• Konforme Abbildung
• Konforme Abbildung (Tragflügel und Kreis)

Siehe auch  Konforme Abbildung

• August Ferdinand Möbius (1790-1868) deutscher Mathematiker
• Inversion

Möbiustransformationen sind konforme Abbildungen der Zahlenkugel auf sich.

${\displaystyle w(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

mit ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$

heißt Möbiustransformation oder lineare Transformation.

Grundtypen:

• Verschiebung: ${\displaystyle w(z)=z+a}$
• Drehstreckung: ${\displaystyle w(z)=az}$
• Inversion: ${\displaystyle w(z)={\frac {1}{z}}}$

${\displaystyle e=ad-bc;\quad f^{2}=e}$

${\displaystyle a'={\frac {a}{f}};\quad b'={\frac {b}{f}}\ }$ etc.

D.h. ${\displaystyle a'd'-b'c'=1}$

${\displaystyle w(z)={\frac {a'z+b'}{c'z+d'}}}$

Beispiel: Normiere ${\displaystyle w(z)={\frac {2z+3}{z+1}}}$

${\displaystyle a=2;\ b=3;\ c=1,\ d=1}$

${\displaystyle e=ad-bc=2-3=-1}$, d.h. die Möbiustransformation ist gültig.

${\displaystyle f^{2}=e=-1\Rightarrow f=i}$

${\displaystyle a'={\frac {2}{i}}=-2i;\ b'={\frac {3}{i}}=-3i;\ c'=d'={\frac {1}{i}}=-i}$

${\displaystyle a'd'-b'c'=(-2i)(-i)-(-3i)(-i)=2i^{2}-3i^{2}=1}$. Passt!

Normierte Form: ${\displaystyle w(z)={\frac {-2iz-3i}{-iz-i}}}$

Gegeben seinen die Punkte ${\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3},w_{1},w_{2},w_{3}}$

${\displaystyle {\frac {z-z_{1}}{z-z_{3}}}{\frac {z_{2}-z_{3}}{z_{2}-z_{1}}}={\frac {w-w_{1}}{w-w_{3}}}{\frac {w_{2}-w_{3}}{w_{2}-w_{1}}}}$

Beispiel:

${\displaystyle z_{1}=1;\ z_{2}=0;\ z_{3}=-1}$

${\displaystyle w_{1}=1;\ w_{2}=i;\ w_{3}=-1}$

${\displaystyle {\frac {z-1}{z+1}}\underbrace {\frac {0+1}{0-1}} _{-1}={\frac {w-1}{w+1}}\underbrace {\frac {i+1}{i-1}} _{-i}}$

${\displaystyle {\frac {z-1}{z+1}}={\frac {w-1}{w+1}}i}$

${\displaystyle (z-1)(w+1)=(w-1)(z+1)i}$

${\displaystyle zw-w+z-1=i(zw-z+w-1)}$

${\displaystyle w(z-1)+(z-1)=iw(z+1)-i(z+1)}$

${\displaystyle w(z-1-i(z+1))=(1-z)-i(z+1)}$

${\displaystyle w={\frac {(1-z)-i(z+1)}{(z-1)-i(z+1)}}}$

${\displaystyle w={\frac {-z(1+i)+1-i}{z(1-i)-1-i}}={\frac {-z(1+i)+(1-i)}{z(1-i)-(1+i)}}={\frac {z+i}{zi+1}}}$

Beispiel: Abbildung der unteren Halbebene auf das Innere des Einheitskreises

Es gilt wie oben berechnet:

${\displaystyle z_{1}=1;\ z_{2}=0;\ z_{3}=-1}$

${\displaystyle w_{1}=1;\ w_{2}=i;\ w_{3}=-1}$

${\displaystyle w={\frac {z+i}{zi+1}}}$

z.B. für ${\displaystyle z=-i\quad }$ folgt ${\displaystyle \quad w=0}$

Eine Inverse von ${\displaystyle \quad {\frac {az+b}{cz+d}}\quad }$ ist ${\displaystyle \quad w(z)={\frac {dz-b}{-cz+a}}}$.

Sei ${\displaystyle ad-bc=1}$. Dann heißt die Möbiustransformation

• elliptisch: ${\displaystyle a+d\in \mathbb {R} ;|a+d|<2}$
• parabolisch: ${\displaystyle a+d\in \mathbb {R} ;|a+d|=2}$
• hyperbolisch: ${\displaystyle a+d\in \mathbb {R} ;|a+d|>2}$
• loxodromisch: ${\displaystyle a+d\notin \mathbb {R} }$

Siehe auch  Möbiustransformation.

Siehe z.B.  Kutta-Schukowski-Transformation

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right);\ z\neq 0}$

${\displaystyle f(z)=f\left({\frac {1}{z}}\right);z\neq 0}$

Die Joukowski-Funktion ist vor allem in der Strömungsmechanik von Interesse. Sie ist eine konforme Abbildung, die Kreise in der komplexen Ebene in Formen transformiert, die Tragflügelprofilen ähneln.