Ing Mathematik: Harmonische Funktionen

Die Potentialgleichung oder laplacesche Dgl. lautet

${\displaystyle \Delta u={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=u_{xx}+u_{yy}=0}$.

Harmonische Funktionen genügen dieser Gleichung. Ist ${\displaystyle u}$ harmonisch, so nennt man ${\displaystyle v}$ die konjugiert harmonische Funktion.

Beispiel: Ist ${\displaystyle u=x^{2}-y^{2}}$ harmonisch? Wie lauten ggf. die konjugiert harmonische Funktion ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle f(z)=u+iv}$?

${\displaystyle u_{x}=2x;\quad u_{xx}=2}$

${\displaystyle u_{y}=-2y;\quad u_{xx}=-2}$

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=2-2=0}$

${\displaystyle u}$ ist harmonisch!

Cauchy-Riemann-Dgl.:

${\displaystyle u_{x}=v_{y}=2x}$

${\displaystyle {\text{d}}v=2x{\text{d}}y}$

${\displaystyle v=2xy+C}$

Wählen wir ${\displaystyle C=0}$, so folgt

${\displaystyle v=2xy}$

${\displaystyle f=u+iv=(x^{2}-y^{2})+i2xy=(x+iy)^{2}=z^{2}}$

Beispiel: Ist ${\displaystyle u=e^{x}\sin y}$ harmonisch?

${\displaystyle u_{x}=e^{x}\sin y;\quad u_{xx}=e^{x}\sin y}$

${\displaystyle u_{y}=e^{x}\cos y;\quad u_{yy}=-e^{x}\sin y}$

${\displaystyle u_{xx}+u_{yy}=e^{x}\sin y-e^{x}\sin y=0\Rightarrow \quad }$ harmonisch!

Übung: Ist ${\displaystyle u=x+\sin(xy)}$ harmonisch?