Ing Mathematik: Singularitäten

Siehe auch  Isolierte Singularität

• Gammafunktion, links Polstellen.
• Plot der Funktion ${\displaystyle {\text{e}}^{\frac {1}{z}}}$. Wesentliche Singularität im Nullpunkt

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)\ }$ existiert , z.B.

${\displaystyle f(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {\sin z}{z}}\underbrace {=} _{\text{l'Hospital}}\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {\cos z}{1}}=1}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)=\infty }$, z.B.

${\displaystyle f(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {1}{z}}}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}f(z)}$ existiert nicht, z.B.

${\displaystyle f(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\text{e}}^{\frac {1}{z}}}$

Bestimmen Sie die singulären Punkte:

• ${\displaystyle f(z)={\frac {z}{z^{2}+1}}}$
• ${\displaystyle f(z)={\frac {2}{z-z^{3}}}}$
• ${\displaystyle f(z)={\frac {5}{\sin z}}}$
• ${\displaystyle f(z)=5\sin {\frac {1}{z}}}$

Sei ${\displaystyle f(z)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}(z-z_{0})^{k}}$ eine Laurentreihe. Das Residuum ist dann

${\displaystyle {\text{Res}}(f,z_{0})=a_{-1}}$

Berechnung bei

• einer hebbaren Singularität: ${\displaystyle {\text{Res}}(f,z_{0})=a_{-1}=0}$
• einem Pol n-ter Ordnung: ${\displaystyle {\text{Res}}(f,z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{\frac {1}{(n-1)!}}{\frac {{\text{d}}^{n-1}}{{\text{d}}z^{n-1}}}[(z-z_{0})^{n}f(z)]}$
• einem Pol 1-ter Ordnung: ${\displaystyle {\text{Res}}(f,z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)}$
• einer Quotientenfunktion ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$ ​ mit einfacher Nullstelle von ${\displaystyle h(z)}$ bei ${\displaystyle z_{0}}$​: ${\displaystyle {\text{Res}}(f,z_{0})={\frac {g(z_{0})}{h'(z_{0})}}}$
• einer wesentlichen Singularität: Entwicklung in eine Laurentreihe und daraus ${\displaystyle a_{-1}}$ ablesen.

Siehe auch  Residuum (Funktionentheorie).

Beispiel 1: Berechnen Sie das Residuum von ${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{z^{2}+1}}\ }$ an der Stelle ${\displaystyle z=i}$

Polstellen: ${\displaystyle z^{2}+1=0}$

${\displaystyle z=\pm {\sqrt {-1}}=\pm {\sqrt {i^{2}}}=\pm i}$

Dies ist ein Pol 1.Ordnung.

${\displaystyle {\text{Res}}(f,z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}(z-z_{0})f(z)}$

${\displaystyle {\text{Res}}(f,i)=\lim _{z\rightarrow i}(z-i){\frac {e^{z}}{z^{2}-1}}=\lim _{z\rightarrow i}(z-i){\frac {e^{z}}{(z-i)(z+i)}}={\frac {e^{i}}{2i}}}$

Beispiel 2: Residuum von ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{(z-1)^{2}(z+2)}};\ z=1}$

Pole:

• ${\displaystyle z=1}$ ... Pol 2. Ordnung
• ${\displaystyle z=-2}$ ... Pol 1. Ordnung

${\displaystyle z_{0}=1;\ n=2}$

${\displaystyle {\text{Res}}(f,1)=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {1}{(2-1)!}}{\frac {{\text{d}}^{2-1}}{{\text{d}}z^{2-1}}}[(z-z_{0})^{2}f(z)]=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}(z-1)^{2}{\frac {1}{(z-1)^{2}(z+2)}}=\lim _{z\rightarrow 1}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}z}}{\frac {1}{(z+2)}}}$

${\displaystyle {\text{Res}}(f,1)=\lim _{z\rightarrow 1}\left[-{\frac {1}{(z+2)^{2}}}\right]=-{\frac {1}{3^{2}}}=-{\frac {1}{9}}}$

Beispiel 3: Berechne das Residuum von ${\displaystyle f(z)={\frac {z}{z-1}};\ z=1}$

Einfacher Pol bei ${\displaystyle z=1}$

Quotientenfunktion: ${\displaystyle {\text{Res}}(f,1)={\frac {g(1)}{h'(1)}}={\frac {1}{1}}=1}$

Beiepiel 4: Berechnen Sie das Residuum von ${\displaystyle f(z)={\text{e}}^{\frac {1}{z}};\ z=0}$

Es liegt eine wesentliche Singularität vor. Die Laurentreihe lautet:

${\displaystyle f(z)={\text{e}}^{\frac {1}{z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!z^{n}}}=1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\dots }$

Der Koeffizient von ${\displaystyle z^{-1}}$ ist ${\displaystyle a_{-1}={\text{Res}}(f,0)=1}$

Übungen: Berechnen Sie die Residuen von

• ${\displaystyle f(z)=z{\text{e}}^{1/z};\ z=0}$
• ${\displaystyle f(z)={\frac {e^{z}}{(z-1)^{2}}};\ z=1}$
• ${\displaystyle f(z)={\frac {1-\cos z}{z^{2}}};\ z=0}$

${\displaystyle \oint _{C}f(z){\text{d}}z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}{\text{Res}}(f,z_{k})}$

Siehe auch  Residuensatz.

Beispiel: Berechne das Integral ${\displaystyle f(z)=\int _{|z|=1}{\frac {1}{z^{2}+1}}{\text{d}}z}$

Einfache Pole: ${\displaystyle z=\pm i}$

Beide Pole sind innerhalb ${\displaystyle |z|=1}$

Residuen mittels Quotientenfunktion:

${\displaystyle {\text{Res}}(f,i)={\frac {g(i)}{h'(i)}}={\frac {1}{2z}}={\frac {1}{2i}}=-{\frac {1}{2}}i\quad }$ und

${\displaystyle {\text{Res}}(f,-i)={\frac {g(-i)}{h'(-i)}}={\frac {1}{2z}}={\frac {1}{-2i}}={\frac {1}{2}}i\quad }$

Residuensatz:

${\displaystyle \oint _{C}f(z){\text{d}}z=2\pi i\sum _{k=1}^{n}{\text{Res}}(f,z_{k})=2\pi i({\frac {1}{2}}i-{\frac {1}{2}}i)=0}$

Übung: Berechnen Sie ${\displaystyle \int _{|z|=5}{\frac {{\text{e}}^{2z}}{z^{2}(z^{2}+2z+2)}}{\text{d}}z}$

Siehe vorerst  Partialbruchzerlegung.

Siehe vorerst  Gammafunktion.