Ing Mathematik: Kurvenintegrale im Komplexen

${\displaystyle \int _{C}f(z){\text{d}}z=\int _{a}^{b}f(z(t))z'{\text{d}}t}$

Für geschlossene Jordankurven schreibt man auch:

${\displaystyle \oint _{C}f(z){\text{d}}z}$

Komplexe Kurvenintegrale kann man auch in reelle Kurvenintegrale überführen.

${\displaystyle \int _{C}f(z){\text{d}}z=\int _{C}(u+iv)({\text{d}}x+i{\text{d}}y)=\int _{C}(u{\text{d}}x-v{\text{d}}y)+i\int _{C}(u{\text{d}}y+v{\text{d}}x)}$

• Linearität: ${\displaystyle \int _{C}(a_{1}f(z)+a_{2}g(z)){\text{d}}z=a_{1}\int _{C}f(z){\text{d}}z+a_{2}\int _{C}g(z){\text{d}}z}$
• Zerlegung des Integrationsweges: ${\displaystyle \int _{C}f(z){\text{d}}z=\int _{C_{1}}f(z){\text{d}}z+\int _{C_{2}}f(z){\text{d}}z\quad }$ mit ${\displaystyle \quad C=C_{1}+C_{2}}$
• Orientierungswechsel: ${\displaystyle \int _{C}f(z){\text{d}}z=-\int _{-C}f(z){\text{d}}z}$

${\displaystyle \int _{z_{1}}^{z_{2}}f(z){\text{d}}z=F(z_{2})-F(z_{1})}$

Gegeben sei die Funktion ${\displaystyle f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C} ;\ f(z)={\bar {z}}}$. Der Anfangspunkt der Kurve sei ${\displaystyle -1}$, der Endpunkt ${\displaystyle 1+i}$. Wir wählen nun die Strecke, die Anfangs- und Endpunkt geradlinig verbindet.

${\displaystyle C_{1}:z=z_{1}+t(z_{2}-z_{1})=-1+t(1+i+1)=-1+2t+it;\quad 0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle z'=2+i}$

${\displaystyle f(z)={\bar {z}}=-1+2t-it}$

${\displaystyle \int _{C_{1}}f(z){\text{d}}z=\int _{0}^{1}f(z(t))z'{\text{d}}t=\int _{0}^{1}(-1+2t-it)(2+i){\text{d}}t=\int _{0}^{1}(-2+5t){\text{d}}t-i\int _{0}^{1}{\text{d}}t={\frac {1}{2}}-i}$

Gegeben sei wieder obige Aufgabenstellung. Aber nun wählen wir einen anderen Weg. Vom Anfangspunkt ${\displaystyle -1}$ über den Zwischenpunkt ${\displaystyle 1}$ zum Endpunkt ${\displaystyle 1+i}$.

${\displaystyle C_{2}:z=z_{1}+t(z_{3}-z_{1})=-1+t(1+1)=-1+2t;\quad 0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle z'=2}$

${\displaystyle f(z)=-1+2t}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(-1+2t)2{\text{d}}t=0}$

${\displaystyle C_{3}:z=z_{3}+t(z_{2}-z3)=1+t(1+i-1)=1+it}$

${\displaystyle z'=i}$

${\displaystyle f(z)=1-it}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(1-it)i{\text{d}}t=\int _{0}^{1}(i+t)=\left[it+{\frac {t^{2}}{2}}\right]_{0}^{1}={\frac {1}{2}}+i}$

${\displaystyle \int _{C_{2}}{\bar {z}}{\text{d}}z+\int _{C_{3}}{\bar {z}}{\text{d}}z={\frac {1}{2}}+i}$

Das Integral ist somit vom Weg abhängig. ${\displaystyle f(z)={\bar {z}}}$ ist nicht holomorph.

Nun zu einem etwas anderen Beispiel. Gegeben sei die Funktion ${\displaystyle f(z)=|z|}$. Wir wollen das Kurvenintegral entlang der Geraden von ${\displaystyle -i}$ bis ${\displaystyle i}$ berechnen.

${\displaystyle C:z=-i+t(i-(-i))=i(2t-1);\quad 0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle z'=2i}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}|i(2t-1)|2i{\text{d}}t}$

${\displaystyle |i(2t-1)|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\sqrt {(2t-1)^{2}}}={\begin{cases}1-2t&{\text{für}}\quad 0\leq t\leq 0,5\\2t-1&{\text{für}}\quad 0,5\leq t\leq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}|i(2t-1)|2i{\text{d}}t=2i\left[\int _{0}^{0,5}(1-2t){\text{d}}t+\int _{0,5}^{1}(2t-1){\text{d}}t\right]=2i\left[[t-t^{2}]_{0}^{0,5}+[t^{2}-t]_{0,5}^{1}\right]=2i({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}})=i}$

Gegeben ist ${\displaystyle f(z)=(z-z_{0})^{n}}$. ${\displaystyle C}$ ist eine im Gegenuhrzeigersinn orientierte Vollkreislinie (Einheitskreis, d.h. ${\displaystyle r=1}$).

${\displaystyle C:z=z_{0}+{\text{e}}^{it};\quad 0\leq t\leq 2\pi }$

${\displaystyle z'=i{\text{e}}^{it}}$

${\displaystyle f(z(t))=(z-z_{0})^{n}=(z_{0}+{\text{e}}^{it}-z_{0})^{n}={\text{e}}^{int}}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\text{e}}^{int}i{\text{e}}^{it}=i\int _{0}^{2\pi }{\text{e}}^{i(n+1)t}=i\int _{0}^{2\pi }[\cos(n+1)t+i\sin(n+1)t]{\text{d}}t}$

Für ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} ;n\neq -1}$ gilt:

${\displaystyle i\int _{0}^{2\pi }\dots ={\frac {i}{1+n}}\left[\underbrace {\sin(n+1)2\pi } _{0}-i\underbrace {\cos(n+1)2\pi } _{1}-\underbrace {sin0} _{0}+i\underbrace {\cos 0} _{1}\right]=0}$

Für ${\displaystyle n=-1}$ gilt:

${\displaystyle i\int _{0}^{2\pi }\dots =i\int _{0}^{2\pi }\left(\underbrace {\cos 0} _{1}+i\underbrace {\sin 0} _{0}\right){\text{d}}t=i\int _{0}^{2\pi }{\text{d}}t=2\pi i}$

Berechne ${\displaystyle \int _{C}z{\text{d}}z}$ von ${\displaystyle 1}$ über ${\displaystyle i}$ nach ${\displaystyle -1}$ (siehe Skizze)

Mittels Stammfunktion: ${\displaystyle \int _{1}^{-1}z{\text{d}}z=\left[{\frac {z^{2}}{2}}\right]_{1}^{-1}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}=0}$

Mittels allgemeinem Kurvenintegral: ${\displaystyle \int _{C}z{\text{d}}z=\int _{a}^{b}z(t)z'(t){\text{d}}t}$

${\displaystyle C_{1}:\ z=1+t(i-1);\quad 0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle z'=i-1}$

${\displaystyle C_{2}:\ z=i+t(-1-i);\quad 0\leq t\leq 1}$

${\displaystyle z'=-1-i}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(1+ti-t)(i-1){\text{d}}t+\int _{0}^{1}(i-t-ti)(-1-i){\text{d}}t}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}(i-t-ti-1-ti+t-i+t+ti+1+ti-t){\text{d}}t=0}$

Man sieht, dass die Auswertung mittels Stammfunktionen wesentlich einfacher und schneller vonstatten geht.

Gegeben sei die Funktion ${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$. ${\displaystyle C}$ sei ein positiv orientierter Vollkreis mit Radius ${\displaystyle r}$ um den Ursprung. Berechnen Sie das Integral ${\displaystyle \int _{C}f(z){\text{d}}z}$.