Ing Mathematik: Differentiation im Komplexen

Existiert der Grenzwert ${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}}$, so ist ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle z_{0}}$ differenzierbar.

Beispiel: Ist ${\displaystyle f(z)=z^{n}}$ in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ stetig differenzierbar?

${\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(h)}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {(z+h)^{n}-h^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}z^{n-k}h^{k}-h^{n}}{h}}=\lim _{h\to 0}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}z^{n-k}h^{k-1}={\binom {n}{1}}z^{n-1}=nz^{n-1}}$

holo ... ganz; morph ... Gestalt

Eine komplexwertige Funktion ${\displaystyle w=f(z)}$ mit Definitionsbereich ${\displaystyle U}$ heißt holomorph (analytisch, regulär), falls sie an jeder Stelle von ${\displaystyle U}$ komplex differenzierbar ist.

• ${\displaystyle (f+g)'=f'+g'}$
• ${\displaystyle (fg)'=f'g+fg'}$
• ${\displaystyle \left({\frac {f}{g}}\right)={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}}$
• ${\displaystyle (f\circ g)'=(f'\circ g)g'}$

• Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) französischer Mathematiker
• Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866) deutscher Mathematiker

Sei ${\displaystyle z=x+iy;\quad w=f(z)=u+iv}$

Dann heißen

${\displaystyle u_{x}=v_{y};\quad u_{y}=-v_{x}}$

die cauchy-riemannschen Dgln. Gelten diese Dgln. im gesamten Definitionsbereich, so ist w holomorph.

Beispiel: Ist ${\displaystyle f(z)=\sin x\sin y-i\cos x\cos y}$ holomorph?

${\displaystyle u=\sin x\sin y;\quad v=-\cos x\cos y}$

${\displaystyle u_{x}=\cos x\sin y;\quad u_{y}=\sin x\cos y;\quad v_{x}=\sin x\cos y;\quad v_{y}=\cos x\sin y}$

${\displaystyle u_{y}=-v_{x}}$ gilt nicht allgemein! ${\displaystyle \quad \sin x\cos y\neq -\sin x\cos y}$, außer für ${\displaystyle \sin x\cos y=0}$

Die Funktion ist nicht holomorph!

Übung: Sind folgende Funktionen holomorph?

• ${\displaystyle w=x^{3}-3xy^{2}+i(3x^{2}y-y^{3})}$
• ${\displaystyle w=|z|}$
• ${\displaystyle w=\Re (z)}$
• ${\displaystyle w=\Im (z)}$
• ${\displaystyle w=\sin(z)}$
• ${\displaystyle w=z}$
• ${\displaystyle w={\bar {z}}}$