Entwicklungsabbildung

Fixiere einen Basispunkt ${\displaystyle x_{0}\in M}$ und eine Karte ${\displaystyle \left(U_{0},\phi _{0}\right)}$ mit ${\displaystyle x_{0}\in U_{0}}$. Sei

${\displaystyle \pi$ :{\widetilde {M}}\rightarrow M}

die universelle Überlagerung. Diese Daten legen eine Abbildung (die sogenannte Entwicklungsabbildung)

${\displaystyle dev:{\widetilde {M}}\rightarrow X}$

fest, die für jeden Weg mit der analytischen Fortsetzung entlang des Weges übereinstimmt.

Für anders gewählte Ausgangsdaten ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle \left(U_{0},\phi _{0}\right)}$ ändert sich die Entwicklungsabbildung nur um die Anwendung eines Elementes aus ${\displaystyle G}$.

Vollständigkeit

Die Entwicklungsabbildung ist ein lokaler Homöomorphismus. Eine ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeit heißt vollständig, wenn ihre Entwicklungsabbildung surjektiv ist. Falls ${\displaystyle X}$ einfach zusammenhängend ist, ist dann jede vollständige ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeit von der Form ${\displaystyle M=\Gamma \backslash X}$ für eine diskrete Untergruppe ${\displaystyle \Gamma \subset G}$.

Es wirke ${\displaystyle G}$ durch analytische Diffeomorphismen mit kompakten Stabilisatoren auf ${\displaystyle X}$. Dann gibt es auf jeder ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle G}$-invariante Riemannsche Metrik und die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

• ${\displaystyle M}$ ist ein vollständiger metrischer Raum.
• Es gibt ein ${\displaystyle \epsilon >0}$, so dass alle abgeschlossenen ${\displaystyle \epsilon }$-Kugeln kompakt sind.
• Alle abgeschlossenen Kugeln sind kompakt.
• Es gibt eine Familie kompakter Mengen ${\displaystyle \left\{S_{t}:t\in \mathbb {R} \right\}}$ mit ${\displaystyle M=\cup _{t}S_{t}}$, so dass für alle ${\displaystyle a,t}$ die ${\displaystyle a}$-Umgebung von ${\displaystyle S_{t}}$ in ${\displaystyle S_{t+a}}$ enthalten ist.

Insbesondere sind in diesem Fall abgeschlossene ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeiten stets vollständig.

Holonomie

Für

${\displaystyle \sigma \in \pi _{1}\left(M,x_{0}\right)}$

gibt analytische Fortsetzung entlang eines ${\displaystyle \sigma }$ repräsentierenden geschlossenen Weges eine mit ${\displaystyle \phi _{0}}$ vergleichbare Karte ${\displaystyle \phi _{0}^{\sigma }}$, denn beide sind auf einer Teilmenge von ${\displaystyle U_{0}}$ definiert. Sei

${\displaystyle g_{\sigma }\in G}$,

so dass

${\displaystyle \phi _{0}^{\sigma }=g_{\sigma }\phi _{0}}$.

Die Abbildung

${\displaystyle H:\pi _{1}\left(M,x_{0}\right)\rightarrow G}$

${\displaystyle H\left(\sigma \right)=g_{\sigma }}$

ist ein Gruppenhomomorphismus und heißt die Holonomie der ${\displaystyle (G,X)}$-Struktur.

Nach Konstruktion ist die Entwicklungsabbildung äquivariant bzgl. des Holonomie-Homomorphismus, d. h. es gilt

${\displaystyle dev(\sigma x)=H(\sigma )dev(x)\ \forall x\in {\widetilde {M}},\sigma \in \pi _{1}(M,x_{0})}$.

Für anders gewählte Ausgangsdaten ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle \left(U_{0},\phi _{0}\right)}$ ändert sich die Holonomie nur um Konjugation mit einem Element aus ${\displaystyle G}$. Man hat also eine Abbildung

${\displaystyle hol:\left\{(G,X)-{\mbox{Strukturen auf}}\ M\right\}\to Hom(\pi _{1}M,G)/conj}$.

Modellgeometrien

Eine Modellgeometrie ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ mit einer differenzierteren Wirkung einer Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$, die den folgenden Bedingungen genügt:

• ${\displaystyle X}$ ist zusammenhängend und einfach zusammenhängend
• ${\displaystyle G}$ wirkt transitiv mit kompakten Stabilisatoren (insbesondere gibt es auf ${\displaystyle X}$ eine ${\displaystyle G}$-invariante Riemannsche Metrik)
• ${\displaystyle G}$ ist maximal unter Gruppen, die durch Diffeomorphismen mit kompakten Stabilisatoren auf ${\displaystyle X}$ wirken
• es gibt mindestens eine kompakte ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeit.

Aus der letzten Bedingung folgt insbesondere, dass ${\displaystyle G}$ unimodular sein muss. Es gibt zahlreiche Paare ${\displaystyle (G,X)}$, die alle Bedingungen mit Ausnahme der letzten erfüllen, zum Beispiel ${\displaystyle G=X=Aff(\mathbb {R} ^{2})}$, die Lie-Gruppe der affinen Abbildungen der euklidischen Ebene.

Affine Mannigfaltigkeiten

Affine Mannigfaltigkeiten sind ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeiten für ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle G}$ die Gruppe der affinen Abbildungen. Die (für n=3 von Fried und Goldman bewiesene) Auslander-Vermutung besagt, dass die Fundamentalgruppe kompakter affiner Mannigfaltigkeiten polyzyklisch ist.

Konforme Mannigfaltigkeiten

Eine konforme Struktur ist eine ${\displaystyle (G,X)}$-Struktur mit ${\displaystyle X=S^{n}=\partial _{\infty }H^{n}}$ und ${\displaystyle G=O^{+}(n+1,1)}$.

Projektive Mannigfaltigkeiten

Projektive Mannigfaltigkeiten sind ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeiten für ${\displaystyle (G,X)=(PGL(n+1,\mathbb {R} ),\mathbb {R} P^{n})}$. In diesem Fall entsprechen die ${\displaystyle (G,X)}$-Strukturen den flachen projektiven Zusammenhängen.

Komplex projektive Mannigfaltigkeiten sind ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeiten für ${\displaystyle (G,X)=(PGL(n+1,\mathbb {C} ),\mathbb {C} P^{n})}$.

Fahnenstruktur

Eine Fahnenstruktur ist eine ${\displaystyle (G,X)}$-Struktur mit ${\displaystyle G=GL(n,\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle X=G/P}$ die Fahnenmannigfaltigkeit, d. h. der Raum der vollständigen Fahnen im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, mit der kanonischen Wirkung von ${\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )}$ und Stabilisator ${\displaystyle P}$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen.

Hierarchien von Geometrien

Wenn ${\displaystyle \iota \colon G\to G^{\prime }}$ ein Homomorphismus und ${\displaystyle j\colon X\to X^{\prime }}$ ein ${\displaystyle \iota }$-äquivarianter lokaler Diffeomorphismus ist, dann ist jede ${\displaystyle (G,X)}$-Mannigfaltigkeit automatisch auch eine ${\displaystyle (G^{\prime },X^{\prime })}$-Mannigfaltigkeit.

Zum Beispiel zeigt das Beltrami-Klein-Modell der hyperbolischen Geometrie, dass jede hyperbolische Mannigfaltigkeit automatisch auch eine projektive Mannigfaltigkeit ist. Auch die anderen 3-dimensionalen Thurston-Geometrien mit Ausnahme von ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle H^{2}\times \mathbb {R} }$ lassen sich als Teilmenge der projektiven Geometrie interpretieren.