Geometrische Bedeutung

Wenn ein Flugkörper, der sich auf einer Kreisbahn um einen Planeten befindet, einen Geschwindigkeitsschub in Flugrichtung erhält, so verformt sich seine Flugbahn zu einer Ellipse. Wird die Geschwindigkeit weiter erhöht, steigt die Exzentrizität der Ellipse an. Das geht so lange, bis der ferne Brennpunkt der Ellipse unendlich weit weg ist. Ab dieser Geschwindigkeit ist der Körper nicht mehr auf einer geschlossenen Bahn, sondern die Ellipse öffnet sich zu einer Parabelbahn. Dies geschieht genau dann, wenn der Flugkörper die zweite kosmische Geschwindigkeit erreicht.

Während sich der Körper von dem Planeten entfernt, wird er von dessen Gravitation weiterhin abgebremst, sodass er erst in unendlicher Entfernung zum Stillstand kommt. Wird hingegen die zweite kosmische Geschwindigkeit überschritten, so nimmt die Flugbahn die Form eines Hyperbel-Asts an – in diesem Fall bleibt im Unendlichen eine Geschwindigkeit übrig, die als hyperbolische Exzessgeschwindigkeit oder hyperbolische Überschussgeschwindigkeit bezeichnet wird und die Energie der Hyperbelbahn charakterisiert. Sie berechnet sich aus der Summe der Energien, also der Quadrate der Geschwindigkeiten, analog zur Berechnung im Folgeabschnitt. Ebenfalls üblich ist die Angabe des Quadrates der Geschwindigkeit (also Energie pro Masse), häufig mit dem Formelzeichen c₃.

Fluchtgeschwindigkeit von einem Schwarzen Loch

In der allgemeinen Relativitätstheorie berechnet sich die radiale Fluchtgeschwindigkeit wie nach Newton, ist aber richtungsabhängig. Zudem ist die Kreisbahngeschwindigkeit höher als nach Newton, um den Faktor ${\displaystyle \textstyle {1/{\sqrt {1-{\frac {r_{s}}{r}}}}}}$, mit ${\displaystyle r_{s}=2GM/c^{2}}$. Erst mit steigendem Abstand vom Schwerpunkt konvergiert das Verhältnis von Flucht- und Kreisbahngeschwindigkeit gegen ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Das hat seinen Grund darin, dass im Gravitationsfeld der Raum nicht euklidisch ist und der Umfang eines Kreises weniger als ${\displaystyle 2\pi r}$ beträgt. Während die Fluchtgeschwindigkeit erst am Ereignishorizont des schwarzen Loches, bei ${\displaystyle r=r_{s}}$, die Lichtgeschwindigkeit ${\displaystyle c}$ erreicht, ist die Kreisbahngeschwindigkeit schon bei ${\displaystyle r=1{,}5r_{s}}$ (an der sogenannten Photonensphäre) gleich ${\displaystyle c}$ und bis ${\displaystyle 2r_{s}}$ größer als die radiale Fluchtgeschwindigkeit.

Fluchtgeschwindigkeiten von weiteren Objekten

Als dritte kosmische Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{3}}$ gilt die minimale Startgeschwindigkeit von der Erdoberfläche, mit der (bei Ausnutzen der Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne, aber ohne Ausnutzen ihrer Eigenrotation und ohne Swing-by-Manöver an Planeten) das Sonnensystem verlassen werden kann. Der Flugkörper muss also das gemeinsame Gravitationsfeld von Erde und Sonne überwinden. Nach dem Start mit ${\displaystyle v_{3}>v_{2}(\oplus )}$ = 11,2 km/s und Verlassen der Einflusssphäre der Erde hat der Körper noch die hyperbolische Exzessgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {ex} }}$. Diese muss zusammen mit der Bahngeschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {Bahn} }}$ der Erde die Fluchtgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{2}(\odot )}$ aus dem Sonnensystem im Abstand ${\displaystyle r_{\mathrm {Bahn} }}$ = 1 AE ergeben,

${\displaystyle v_{\mathrm {ex} }=v_{2}(\odot )-v_{\mathrm {Bahn} }=42{,}1\,\mathrm {km/s} -29{,}8\,\mathrm {km/s} =12{,}3\,\mathrm {km/s} }$.

Die zum Erreichen dieser Geschwindigkeit nötige Startgeschwindigkeit ${\displaystyle v_{3}}$ ergibt sich dann aus

${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv_{\mathrm {ex} }^{2}={\frac {1}{2}}mv_{3}^{2}-{\frac {GM_{\oplus }m}{r_{\oplus }}}={\frac {1}{2}}mv_{3}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{2}(\oplus )^{2}}$

bzw.

${\displaystyle v_{3}={\sqrt {v_{\mathrm {ex} }^{2}+v_{2}(\oplus )^{2}}}={\sqrt {(12{,}3\,\mathrm {km/s} )^{2}+(11{,}2\,\mathrm {km/s} )^{2}}}=16{,}6\,\mathrm {km/s} }$.

Die Masse des Mondes und der anderen Planeten ist hier vernachlässigt worden; das Ergebnis würde sich kaum ändern.

Im Fall der Fluchtgeschwindigkeit aus der Milchstraße ist das Gravitationsfeld jedoch sehr deutlich kein Zentralfeld und ein beträchtlicher Teil der Masse liegt außerhalb der Bahn der Sonne um das galaktische Zentrum. Eine numerische Berechnung, die auch ein Modell für die Verteilung der Dunklen Materie berücksichtigt, ergibt eine Fluchtgeschwindigkeit von ${\displaystyle v_{\mathrm {esc} }=533_{-41}^{+54}\,{\text{km/s}}}$. Das ist erwartungsgemäß weit mehr als das ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$-fache der Bahngeschwindigkeit der Sonne von rund 220 km/s.