Affine Lie-Algebra

Eine affine Lie-Algebra ist in der Mathematik eine unendlichdimensionale Lie-Algebra, die auf kanonische Weise aus einer endlichdimensionalen Lie-Algebra konstruiert wird. Dies ermöglicht die Konstruktion affiner Kac-Moody-Algebren.

Definition

Sei ${\mathfrak {g}}$ eine endlich-dimensionale Lie-Algebra. Dann ist die zugehörige affine Lie-Algebra ${\hat {\mathfrak {g}}}$ definiert als der Vektorraum

{\hat {\mathfrak {g}}}={\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]\oplus \mathbb {C} c

mit der Kommutator-Relation

\left[a\otimes t^{n}+\alpha c,b\otimes t^{m}+\beta c\right]=\left[a,b\right]\otimes t^{n+m}+\langle a,b\rangle n\delta _{m+n,0}c

für $a,b\in {\mathfrak {g}},\alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,n,m\in \mathbb {Z}$ . Hierbei bedeutet $\left[a,b\right]$ die Lie-Klammer in ${\mathfrak {g}}$ , $\langle a,b\rangle$ die Killing-Form von ${\mathfrak {g}}$ und $\mathbb {C} [t,t^{-1}]$ ist die assoziative Algebra der Laurent-Polynome.

$c$ ist ein Element des Zentrums der Liealgebra und $\mathbb {C} c$ ist daher ein zentrales Ideal. Weiter hat man eine kurze exakte Sequenz

0\rightarrow \mathbb {C} c\rightarrow {\hat {\mathfrak {g}}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\otimes \mathbb {C} [t,t^{-1}]\rightarrow 0

von Lie-Algebren.

Erweiterte affine Lie-Algebra

Wir definieren durch die Formeln

d(c):=0

d(a\otimes f):=a\otimes (t{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}})(f),\quad a\in {\mathfrak {g}},f\in \mathbb {C} [t,t^{-1}]

eine Derivation auf ${\hat {\mathfrak {g}}}$ . Beachte dazu, dass durch den Differentialoperator $t{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}$ eine Derivation auf $\mathbb {C} [t,t^{-1}]$ erklärt ist. Die erweiterte affine Lie-Algebra ${\tilde {\mathfrak {g}}}$ entsteht aus ${\hat {\mathfrak {g}}}$ durch Adjunktion dieser Derivation, das heißt

{\tilde {\mathfrak {g}}}:=\mathbb {C} d\ltimes {\hat {\mathfrak {g}}}

,

wobei $\ltimes$ für die semidirekte Summe steht. Die so konstruierte Algebra ${\tilde {\mathfrak {g}}}$ heißt die zu ${\mathfrak {g}}$ gehörige erweiterte affine Lie-Algebra oder einfach erweiterte affine Algebra.

Kac-Moody-Algebren affinen Typs

Aus den bekannten endlich-dimensionalen einfachen Lie-Algebren A_n, B_n, C_n, D_n, E₆, E₇, E₈, F₄, G₂ kann man mittels obiger Konstruktion die Kac-Moody-Algebren affinen Typs konstruieren, genauer die ungetwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Weitere treten als Fixpunktalgebren gewisser Automorphismen auf, man spricht dann von getwisteten Kac-Moody-Algebren affinen Typs. Wir konstruieren im Folgenden sämtliche Kac-Moody-Algebren affinen Typs, die von unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen herrühren. Dies sind sogenannte Realisierungen der abstrakt definierten Kac-Moody-Algebren, das heißt man erhält zu jeder Kac-Moody-Algebra affinen Typs mit unzerlegbarer, verallgemeinerter Cartan-Matrix einen konkreten Vektorraum mit einer Lie-Klammer wie oben angegeben, so dass diese Lie-Algebra der entsprechenden Isomorphieklasse angehört.

Ungetwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs

Für ${\mathfrak {g}}$ wählen wir in obiger Konstruktion die endlichendimensionalen einfachen Lie-Algebren $A_{n}$ , $B_{n}$ , $C_{n}$ , $D_{n}$ , $E_{6}$ , $E_{7}$ , $E_{8}$ , $F_{4}$ , $G_{2}$ , wobei die angegebenen Typen die einfache Lie-Algebra bis auf Isomorphie charakterisieren. Dann bezeichnet man die erweiterten affinen Lie-Algebren daraus mit ${\tilde {A}}_{n}$ , ${\tilde {B}}_{n}$ , ${\tilde {C}}_{n}$ , ${\tilde {D}}_{n}$ , ${\tilde {E}}_{6}$ , ${\tilde {E}}_{7}$ , ${\tilde {E}}_{8}$ , ${\tilde {F}}_{4}$ , ${\tilde {G}}_{2}$ . Es handelt sich um Kac-MoodyAlgebren affinen Typs mit unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen. Wir geben neben diesen auch die zugehörigen Dynkin-Diagramme an.

Typ	Verallgemeinerte Cartan-Matrix	Dynkin-Diagramm
${\tilde {A}}_{n},\,n\geq 1$	${\begin{pmatrix}2&-1&&&&&-1\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&.&&&\\&&.&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\-1&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {B}}_{n},\,n\geq 3$	${\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&2&-1&&&\\&&-1&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-2&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {C}}_{n},\,n\geq 2$	${\begin{pmatrix}2&-1&&&&&\\-2&2&-1&&&&\\&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {D}}_{n},\,n\geq 4$	${\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&-1\\&&&&-1&2&\\&&&&-1&&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {E}}_{6}$	${\begin{pmatrix}2&&&&-1&&\\&2&-1&&&&\\&-1&2&-1&&&\\&&-1&2&-1&-1&\\-1&&&-1&2&&\\&&&-1&&2&-1\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {E}}_{7}$	${\begin{pmatrix}2&&&&&&&-1\\&2&-1&&&&&\\&-1&2&-1&&&&\\&&-1&2&-1&&&\\&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&-1&2&&\\&&&&-1&&2&-1\\-1&&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {E}}_{8}$	${\begin{pmatrix}2&-1&&&&&&&\\-1&2&-1&&&&&&\\&-1&2&-1&&&&&\\&&-1&2&-1&&&&\\&&&-1&2&-1&&&\\&&&&-1&2&-1&-1&\\&&&&&-1&2&&\\&&&&&-1&&2&-1\\&&&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {F}}_{4}$	${\begin{pmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&-1&2&-1&\\&&-2&2&-1\\&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {G}}_{2}$	${\begin{pmatrix}2&-1&\\-1&2&-1\\&-3&2\\\end{pmatrix}}$

Beachte, dass die Matrixgröße, das heißt die Zeilen- bzw. Spaltenzahl, um eins größer ist als der Index des Typnamens. Genauso verhält es sich mit der Anzahl der Knoten des zugehörigen Dynkin-Diagramms.

Getwistete Kac-Moody-Algebren affinen Typs

Die weiteren Kac-Moody-Algebren affinen Typs können als Unteralgebren ungetwisteter Kac-Moody-Algebren konstruiert werden, genauer als Fixpunktalgebra eines Automorphismus. Im Folgenden sei ${\displaystyle \sigma$ der Automorphismus, der zu einem der nebenstehend abgebildeten Graphautomorphismen der Dynkin-Diagramme zu $A_{n}$ , $D_{n}$ und $E_{6}$ gehört. Eine Besonderheit tritt bei $D_{4}$ auf, hier gibt es einen zusätzliche Automorphismus der Ordnung 3, alle anderen Automorphismen haben offenbar die Ordnung 2. Dazu konstruieren wir nun Automorphismen $\tau$ auf den erweiterten affinen Lie-Algebren, indem wir definieren:

\tau (a\otimes t^{m})=e^{2\pi \mathrm {i} m/\mathrm {ord} (\sigma )}\cdot \sigma (a)\otimes t^{m}

\tau (c)=c,\quad \tau (d)=d

Der skalare Faktor ist eine $\mathrm {ord} (\sigma )$ -te Einheitswurzel. Würde man statt dieser einfach 1 verwenden, so erhielte man auch Automorphismen, die aber nicht das Gewünschte leisten. Wegen der Einheitswurzel spricht man von getwisteten Automorphismen und nennt daher auch die Fixpunktalgebren

{\mathfrak {g}}^{\tau }:=\{x\in {\mathfrak {g}}\mid \tau (x)=x\}

getwistete Algebren. Mittels dieser Konstruktion können die restlichen Kac-Moody-Algebren affinen Typs mit den Standardbezeichnungen ${\tilde {B}}_{n}^{t}$ , ${\tilde {C}}_{n}^{t}$ , ${\tilde {F}}_{4}^{t}$ , ${\tilde {G}}_{2}^{t}$ , ${\tilde {A}}_{1}'$ , ${\tilde {C}}_{n}'$ konstruiert werden. Man verwendet dieselben Namen für die zugehörigen verallgemeinerten Cartan-Matrizen sowie für die zugehörigen Dynkin-Diagramme. Das hochgestellte t steht nicht für einen Automorphismus, sondern für Matrixtransposition.

Man erhält folgende Aufstellung:

Typ	Fixpunktalgebra	Verallgemeinerte Cartan-Matrix
${\tilde {B}}_{n}^{t},\,n\geq 3$	${\tilde {A}}_{2n-1}^{\tau }$	${\begin{pmatrix}2&&-1&&&&\\&2&-1&&&&\\-1&-1&.&.&&&\\&&-1&.&-1&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {C}}_{n}^{t},\,n\geq 2$	${\tilde {D}}_{n+1}^{\tau }$	${\begin{pmatrix}2&-2&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&-1&&&\\&&.&.&.&&\\&&&-1&.&-1&\\&&&&-1&2&-1\\&&&&&-2&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {F}}_{4}^{t}$	${\tilde {E}}_{6}^{\tau }$	${\begin{pmatrix}2&-1&&&\\-1&2&-1&&\\&-1&2&-2&\\&&-1&2&-1\\&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {G}}_{2}^{t}$	${\tilde {D}}_{4}^{\tau }$	${\begin{pmatrix}2&-1&\\-1&2&-3\\&-1&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {A}}_{1}'$	${\tilde {A}}_{2}^{\tau }$	${\begin{pmatrix}2&-1\\-4&2\\\end{pmatrix}}$
${\tilde {C}}_{n}',\,n\geq 2$	${\tilde {A}}_{2n}^{\tau }$	${\begin{pmatrix}2&-2&&&&&\\-1&2&-1&&&&\\&-1&.&-1&&&\\&&.&.&.&&\\&&&.&.&-1&\\&&&&-1&2&-2\\&&&&&-1&2\\\end{pmatrix}}$

Für die Größen der Matrizen und Dynkin-Diagramme gilt das für die ungetwisteten Algebren Gesagte. Ferner beachte, dass ${\tilde {D}}_{4}^{\tau }$ in obiger Liste zweimal vorkommt. Es handelt sich bei den zwei Fällen um verschiedene Automorphismen $\tau$ , für ${\tilde {G}}_{2}^{t}$ wird der Autorphismus des oben genannten Sonderfalls für $D_{4}$ verwendet, für ${\tilde {D}}_{n+1}^{\tau }$ mit $n=3$ ist es der Automorphismus, der nur die zwei Enden des Dynkin-Diagramms austauscht.

Einzelnachweise

↑ Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1989) ISBN 0-12-267065-5, Kapitel 1.6: Affine Lie Algebras
↑ Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 18: Realisations of affine Kac-Moody algebras

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[1] Igor Frenkel, James Lepowsky, Arne Meurman: Vertex Operator Algebras and the Monster, Academic Press, New York (1989) ISBN 0-12-267065-5, Kapitel 1.6: Affine Lie Algebras

[2] Roger Carter: Lie Algebras of Finite and Affine Type, Cambridge studies in advanced mathematics 96 (2005), ISBN 978-0-521-85138-1, Kapitel 18: Realisations of affine Kac-Moody algebras