Verallgemeinerte Cartan-Matrizen

Eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ heißt verallgemeinerte Cartan-Matrix, falls

• Alle Koeffizienten sind ganzzahlig, das heißt ${\displaystyle A_{i,j}\in \mathbb {Z} }$ für alle ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle A_{i,i}=2}$ für alle ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle A_{i,j}\leq 0}$ für alle ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j}$
• Aus ${\displaystyle A_{i,j}=0}$ folgt stets ${\displaystyle A_{j,i}=0}$ für alle ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$.

Offenbar sind Cartan-Matrizen Beispiele für verallgemeinerte Cartan-Matrizen.

Zwei verallgemeinerte ${\displaystyle n\times n}$-Cartan-Matrizen ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ und ${\displaystyle A'=(A'_{i,j})}$ heißen äquivalent, wenn es eine Permutation ${\displaystyle \sigma }$ auf ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ gibt mit ${\displaystyle A'_{i,j}=A_{\sigma (i),\sigma (j)}}$ gibt.

Eine verallgemeinerte Cartan-Matrix heißt zerlegbar, wenn sie zu einer Matrix der Form

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{pmatrix}}}$

mit Untermatrizen ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ äquivalent ist, sonst unzerlegbar.

Realisierungen einer Matrix

Zu einer vorgegebenen verallgemeinerten ${\displaystyle n\times n}$-Cartan-Matrix ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ gibt es

• einen endlichdimensionalen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Vektorraum ${\displaystyle H}$
• eine linear unabhängige Teilmenge ${\displaystyle \Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\}\subset H}$,
• eine linear unabhängige Teilmenge ${\displaystyle \Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\}\subset H^{*}}$, wobei ${\displaystyle H^{*}}$ der Dualraum von ${\displaystyle H}$ ist,

so dass ${\displaystyle A_{i,j}=\alpha _{j}(h_{i})}$ für alle ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n}$

Die Daten ${\displaystyle (H,\Pi ^{\vee },\Pi )}$ nennt man eine Realisierung von ${\displaystyle A}$. Man kann zeigen, dass die Dimension von ${\displaystyle H}$ mindestens ${\displaystyle 2n-\mathrm {rang} (A)}$ ist, wobei ${\displaystyle \mathrm {rang} (A)}$ der Rang der Matrix ist, dass dieses Minimum angenommen wird, und dass es zu je zwei Realisierungen ${\displaystyle (H_{1},\Pi _{1}^{\vee },\Pi _{1})}$ und ${\displaystyle (H_{2},\Pi _{2}^{\vee },\Pi _{2})}$ minimaler Dimension einen Vektorraumisomorphismus ${\displaystyle \varphi :H_{1}\rightarrow H_{2}}$ gibt, der ${\displaystyle \Pi _{1}^{\vee }}$ auf ${\displaystyle \Pi _{2}^{\vee }}$ abbildet und dessen duale Abbildung ${\displaystyle \Pi _{2}}$ auf ${\displaystyle \Pi _{1}}$ abbildet. Diese sogenannten minimalen Realisierungen sind also bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Eine Lie-Algebra aus Erzeugern und Relationen

Bislang haben wir zu einer verallgemeinerten ${\displaystyle n\times n}$-Cartan-Matrix ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ eine minimale Realisierung ${\displaystyle (H,\Pi ^{\vee }=\{h_{1},\ldots ,h_{n}\},\Pi =\{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}\})}$ konstruiert. Diese Daten verwenden wir nun, um eine Lie-Algebra ${\displaystyle {\tilde {L}}(A)}$ aus Erzeugern und Relationen zu definieren. Die Menge der Erzeuger ist

${\displaystyle X=\{e_{1},\ldots ,e_{n},f_{1},\ldots ,f_{n}\}\cup \{{\tilde {x}}\mid x\in H\}}$.

Die Elemente sind nur Symbole, lediglich die Matrizengröße ${\displaystyle n}$ und der Vektorraum ${\displaystyle H}$ gehen hier ein. Die Relationen sind

• ${\displaystyle {\tilde {x}}-\lambda {\tilde {y}}-\mu {\tilde {z}}}$   für alle ${\displaystyle x,y,z\in H,\,\lambda ,\mu \in \mathbb {C} }$   mit ${\displaystyle x=\lambda x+\mu z}$
• ${\displaystyle [{\tilde {x}}{\tilde {y}}]}$   für alle   ${\displaystyle x,y\in H}$
• ${\displaystyle [e_{i}f_{i}]-{\tilde {h_{i}}}}$   für alle   ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$
• ${\displaystyle [e_{i}f_{j}]}$   für alle   ${\displaystyle i,j=1,\ldots ,n,\,i\not =j}$
• ${\displaystyle [{\tilde {x}}e_{i}]-\alpha _{i}(x)}$   für alle   ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\,x\in H}$
• ${\displaystyle [{\tilde {x}}f_{i}]+\alpha _{i}(x)}$   für alle   ${\displaystyle i=1,\ldots ,n,\,x\in H}$

Bezeichnet ${\displaystyle R}$ die Menge dieser Relationen, so setzen wir

${\displaystyle {\tilde {L}}(A):=L(X;R)}$, wobei letztere die durch die Erzeuger ${\displaystyle X}$ und Relationen ${\displaystyle R}$ definierte Lie-Algebra sei.

Die ersten beiden Gruppen von Relationen führen offensichtlich dazu, dass ${\displaystyle H\mapsto {\tilde {H}}:=\{{\tilde {x}}\mid x\in H\},\,x\mapsto {\tilde {x}}}$ ein Lie-Algebren-Homomorphismus zwischen abelschen Lie-Algebren ist. Man kann sogar zeigen, dass dieser ein Isomorphismus ist.

Definition der Kac-Moody-Algebren

Zu einer verallgemeinerten Cartan-Matrix ${\displaystyle A=(A_{i,j})}$ haben wir eine Lie-Algebra ${\displaystyle {\tilde {L}}(A)}$ mit einer darin enthaltenen abelschen Unteralgebra ${\displaystyle {\tilde {H}}}$ konstruiert. Man kann nun zeigen, dass

${\displaystyle I:=\sum \{J\mid \,J\subset {\tilde {L}}(A){\text{ Lie-Ideal mit }}J\cap {\tilde {H}}=\{0\}\}}$

wieder ein Ideal mit ${\displaystyle I\cap {\tilde {H}}=\{0\}}$ ist. Man nennt

${\displaystyle L(A):={\tilde {L}}(A)/I}$

die Kac-Moody-Algebra zur verallgemeinerten Cartan-Matrix ${\displaystyle A}$.

Man kann zeigen, dass die Isomorphieklasse von ${\displaystyle L(A)}$ nur von der Äquivalenzklasse der verallgemeinerten Cartan-Matrix abhängt, insbesondere nicht von der Wahl einer minimalen Realisierung. Ist ${\displaystyle A}$ sogar eine Cartan-Matrix, so ist die Kac-Moody-Algebra zu ${\displaystyle A}$ isomorph zur endlichdimensionalen halbeinfachen Lie-Algebra mit dieser Cartan-Matrix.

Kac-Moody-Algebren endlichen Typs

${\displaystyle A}$ und damit auch ${\displaystyle L(A)}$ hat endlichen Typ, falls

• ${\displaystyle \det(A)\not =0}$,
• Es gibt ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle Au>0}$,
• Aus ${\displaystyle Au\geq 0}$ folgt ${\displaystyle u>0}$ oder ${\displaystyle u=0}$.

Kac-Moody-Algebren affinen Typs

${\displaystyle A}$ und damit auch ${\displaystyle L(A)}$ hat affinen Typ, falls

• ${\displaystyle \mathrm {rang} (A)=n-1}$, das heißt der Korang ist 1,
• Es gibt ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle Au=0}$,
• Aus ${\displaystyle Au\geq 0}$ folgt ${\displaystyle Au=0}$.

Kac-Moody-Algebren indefiniten Typs

${\displaystyle A}$ und damit auch ${\displaystyle L(A)}$ hat indefiniten Typ, falls

• Es gibt ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ mit ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle Au<0}$,
• Aus ${\displaystyle Au\geq 0}$ und ${\displaystyle u\geq 0}$ folgt ${\displaystyle u=0}$.

Bemerkungen

Es ist nicht offensichtlich, dass dies tatsächlich eine Dreiteilung der unzerlegbaren verallgemeinerten Cartan-Matrizen darstellt. Alternativ kann man diese drei Typen für unzerlegbare verallgemeinerte Cartan-Matrizen wie folgt charakterisieren:

• ${\displaystyle A}$ hat endlichen Typ genau dann, wenn es ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ gibt mit ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle Au>0}$
• ${\displaystyle A}$ hat affinen Typ genau dann, wenn es ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ gibt mit ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle Au=0}$
• ${\displaystyle A}$ hat indefiniten Typ genau dann, wenn es ${\displaystyle u\in \mathbb {R} ^{n}}$ gibt mit ${\displaystyle u>0}$ und ${\displaystyle Au<0}$

Man kann zeigen, dass Kac-Moody-Algebren endlichen Typs genau die endlichdimensionalen einfachen Lie-Algebren sind. Die Kac-Moody-Algebren affinen oder indefiniten Typs sind weder halbeinfach, sie haben ein nicht-triviales Zentrum, noch endlichdimensional.