Werte der ersten Partialsummen

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{1}&=&1\\\\H_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\H_{3}&=&{\frac {11}{6}}&=&1{,}8{\overline {3}}\\\\H_{4}&=&{\frac {25}{12}}&=&2{,}08{\overline {3}}\\\\H_{5}&=&{\frac {137}{60}}&=&2{,}28{\overline {3}}\\\\\end{matrix}}\qquad \qquad {\begin{matrix}H_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\H_{7}&=&{\frac {363}{140}}&=&2{,}59{\overline {285714}}\\\\H_{8}&=&{\frac {761}{280}}&=&2{,}717{\overline {857142}}\\\\H_{9}&=&{\frac {7129}{2520}}&=&2{,}828{\overline {968253}}\\\\H_{10}&=&{\frac {7381}{2520}}&=&2{,}928{\overline {968253}}\\\\\end{matrix}}}$

Der Nenner von ${\displaystyle H_{n}}$ ist durch jede Primzahlpotenz ${\displaystyle p^{k}}$ mit ${\displaystyle n/2<p^{k}\leq n}$ teilbar, also auch durch ${\displaystyle 2^{k}}$ mit ${\displaystyle 2^{k}\leq n}$ und für ${\displaystyle n>2}$ nach dem Bertrandschen Postulat durch mindestens eine ungerade Primzahl. Insbesondere ist ${\displaystyle H_{n}}$ für ${\displaystyle n>1}$ keine ganze Zahl (Theisinger 1915). Allgemeiner gilt, dass keine Differenz ${\displaystyle H_{m}-H_{n}}$ für ${\displaystyle m\neq n}$ eine ganze Zahl ist (Kürschák 1918), dies ist wiederum ein Spezialfall eines Satzes von Nagell 1923.

Ist ${\displaystyle p\geq 5}$ eine Primzahl, so ist der Zähler von ${\displaystyle H_{p-1}}$ nach dem Satz von Wolstenholme durch ${\displaystyle p^{2}}$ teilbar, ist ${\displaystyle p}$ eine Wolstenholme-Primzahl, dann sogar durch ${\displaystyle p^{3}}$.

Divergenz

Die harmonische Reihe divergiert gegen unendlich, wie zuerst Nikolaus von Oresme (14. Jh.) bewies. Man sieht dies durch Vergleich mit einer Reihe, die in jedem Glied kleiner oder gleich ist (Minorantenkriterium):

${\displaystyle {\begin{matrix}H_{n}&=\ 1\ +\ 1/2&+&(1/3+1/4)&+&(1/5+1/6+1/7+1/8)&+\ \cdots \ +\ 1/n\\&\geq \ 1\ +\ 1/2&+&(1/4+1/4)&+&(1/8+1/8+1/8+1/8)&+\ \cdots \ +\ 1/n\\&=\ 1\ +\ 1/2&+&1/2&+&1/2&+\ \cdots \ +\ 1/n\end{matrix}}}$

Die Summe der letzten Zeile übersteigt jeden Wert, wenn ${\displaystyle n}$ genügend groß ist. Genauer erhält man die Abschätzung

${\displaystyle H_{2^{\ell }}\geq 1+\ell /2}$   für   ${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots }$

Asymptotische Entwicklung

Es gilt die asymptotische Entwicklung:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}&=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-{\frac {1}{252n^{6}}}+{\frac {1}{240n^{8}}}-{\frac {1}{132n^{10}}}+{\mathcal {O}}\!\left({\frac {1}{n^{12}}}\right)\\&=\ln n+\gamma +{\mathcal {O}}\!\left({\frac {1}{n}}\right),\quad n\to \infty \end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \ln n}$ den natürlichen Logarithmus, und das Landau-Symbol ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ beschreibt das Verhalten des Restterms der Entwicklung für ${\displaystyle n\to \infty }$. Die mathematische Konstante ${\displaystyle \gamma }$ (gamma) heißt Euler-Mascheroni-Konstante und ihr numerischer Wert beträgt 0,5772156649…

Des Weiteren gilt ${\displaystyle H_{n}<\ln n+1}$, falls ${\displaystyle n\geq 2}$.

Vergleich einiger Partialsummen mit Werten der Näherungsformel H_n ≈ ln n + γ

n	Hn (gerundet)	Näherung (gerundet)	Genauigkeit (gerundet)
5	2,28	2,19	95,77 %
10	2,93	2,88	98,32 %
20	3,60	3,57	99,31 %
50	4,50	4,49	99,78 %
100	5,19	5,18	99,90 %
500	6,79	6,79	1 − 1·10−4
1000	7,49	7,48	1 − 7·10−5
10000	9,79	9,79	1 − 5·10−6

Integraldarstellung

Für alle natürlichen Zahlen n gilt diese Formel:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1-y^{n}}{1-y}}\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}(1+y+\cdots +y^{n-1})\ \mathrm {d} y=1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=H_{n}}$

Diese Darstellung verallgemeinert die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl auf komplexe Werte für ${\displaystyle n}$ mit ${\displaystyle \operatorname {Re} (n)>-1}$ und bildet somit die harmonische Reihenfunktion:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=H_{x}}$

Dieser Begriff ist nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen harmonischen Funktion mit Laplace-Operator Null.

Für alle reellen Zahlen x > −1 konvergiert diese Integralformel:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)(x\in \mathbb {R} >-1)=\int _{0}^{1}{\frac {1-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} y}$

Eine Definition der harmonischen Reihenfunktion für alle reellen Zahlen x ist über folgende Summe möglich:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}}$

Identisch mit dieser Formel sind folgende Definitionsformeln:

${\displaystyle \Pi (x)=\Gamma (x+1)}$

${\displaystyle \Pi (x)=\exp(-\,\gamma \,x)\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{-1}\exp(x/n)}$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\gamma +{\frac {1}{\Pi (x)}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)}$

Beziehung zur Digamma-Funktion

Die ${\displaystyle n}$-te harmonische Zahl lässt sich durch die Digamma-Funktion ${\displaystyle \psi }$ ausdrücken und auf komplexe Werte für ${\displaystyle n}$ fortsetzen (falls ${\displaystyle n}$ keine negative ganze Zahl ist):

${\displaystyle H_{n}=\psi (n+1)-\psi (1)={\frac {\Gamma '(n)}{\Gamma (n)}}+{\frac {1}{n}}+\gamma }$.

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \Gamma }$ die Gammafunktion, ${\displaystyle \Gamma '}$ ihre Ableitung und ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Ableitung

Die Ableitung der Harmonischen Reihenfunktion kann mit der Trigammafunktion dargestellt werden:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\mathrm {H} (x)=\psi _{1}(x+1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(x+n)^{2}}}}$

Die erste Ableitung der harmonischen Reihenfunktion hat an der Stelle x = 0 und somit am Koordinatenursprung den Zetafunktionswert ζ(2):

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {H} (x)\,(x=0)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\int _{0}^{1}{\frac {1-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} y(x=0)=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,{\frac {1-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} y\,(x=0)=\int _{0}^{1}\ln(y)\,{\frac {-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} y\,(x=0)=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\ln(y)\,{\frac {-1}{1-y}}\,\mathrm {d} y={\biggl [}-\mathrm {Li} _{2}(1-y){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\mathrm {Li} _{2}(1)=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}$

Integration von Null bis Eins

Die Harmonische Reihenfunktion kann mit den genannten Definitionen integriert werden:

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}\,\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}{\bigl (}{\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+x}}{\bigr )}\,\mathrm {d} x=}$

${\displaystyle =\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {x}{n}}-\ln(n+x){\biggr ]}_{x=0}^{x=1}\mathrm {d} x=\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {1}{n}}-\ln {\bigl (}{\frac {n+1}{n}}{\bigr )}{\biggr ]}=\gamma }$

${\displaystyle \mathrm {H} (x)=\gamma +{\frac {1}{\Pi (x)}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\Pi (x)}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x={\biggl \{}\gamma \,x+\ln {\bigl [}\Pi (x){\bigr ]}{\biggr \}}_{x=0}^{x=1}=\gamma }$

Vergleichsrechnung über die zuvor genannte Integraldefinition:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\mathrm {H} (x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1-y^{x}}{1-y}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-y}}+{\frac {1}{\ln(y)}}\,\mathrm {d} y=\gamma }$

Exponentieller Stammfunktionsausdruck

Folgender Exponentialfunktionsausdruck kann für die Ursprungsstammfunktion der harmonischen Reihenfunktion aufgestellt werden:

Gegeben ist diese Gleichung:

${\displaystyle \operatorname {H} (x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {1-\exp(-x\,y)}{\exp(y)-1}}\,\mathrm {d} y}$

Folgende Gleichung kommt durch Bildung der Ursprungsstammfunktion bezüglich x bei der soeben genannten Formel hervor:

${\displaystyle \gamma \,x+\ln {\bigl [}\Gamma (x+1){\bigr ]}=\int _{0}^{\infty }{\frac {\exp(-x\,y)+x\,y-1}{y\,{\bigl [}\exp(y)-1{\bigr ]}}}\,\mathrm {d} y}$

Erzeugende Funktion

Entwickelt man die Funktion ${\displaystyle {\tfrac {1}{1-x}}\ln {\tfrac {1}{1-x}}}$ um den Entwicklungspunkt 0 in eine Taylorreihe, so erhält man die harmonischen Zahlen als Koeffizienten:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}\ln {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}x^{n},\quad |x|<1}$

Dies sieht man leicht ein, indem man das Cauchy-Produkt der für ${\displaystyle |x|<1}$ absolut konvergenten Reihen von folgenden beiden Funktionen bildet:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\dotsb }$

${\displaystyle \ln {\frac {1}{1-x}}=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\dotsb }$

Wenn bei der Summe der genannten erzeugenden Funktion die Summanden noch durch die betroffenen Indices geteilt werden, dann wird die Reihe für die Summe aus Dilogarithmus und Hälfte vom Quadrat des Monologarithmus hervorgebracht:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n}}\,x^{n}=\mathrm {Li} _{2}(x)+{\frac {1}{2}}\ln {\bigl (}{\frac {1}{1-x}}{\bigr )}^{2}=\mathrm {Li} _{2}(x)+{\frac {1}{2}}\,\mathrm {Li} _{1}(x)^{2},\quad |x|<1}$

Das nun genannte Resultat entsteht dadurch, dass die genannte erzeugende Funktion durch x geteilt wird und daraus dann die Ursprungsstammfunktion aufgestellt wird. Diese Integrationskette kann mit dem zuvor gezeigten Muster noch weitergeführt werden. Dann entsteht eine Summe, die den Trilogarithmus enthält:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}\,x^{n}=2\operatorname {Li} _{3}(x)+\operatorname {Li} _{3}{\bigl (}{\frac {x}{x-1}}{\bigr )}-\ln(1-x)\operatorname {Li} _{2}(x)-{\frac {1}{6}}\ln(1-x)^{3}=}$

${\displaystyle =2\operatorname {Li} _{3}(x)+\operatorname {Li} _{3}{\bigl (}{\frac {x}{x-1}}{\bigr )}+\operatorname {Li} _{1}(x)\operatorname {Li} _{2}(x)+{\frac {1}{6}}\operatorname {Li} _{1}(x)^{3}\quad |x|<1}$

Reihen über harmonische Zahlen

Es gilt für die harmonischen Zahlen:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{2}}}=2\,\zeta (3)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {\pi ^{4}}{72}}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{4}}}=3\,\zeta (5)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\zeta (3)}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{5}}}={\frac {\pi ^{6}}{540}}-{\frac {1}{2}}\,\zeta (3)^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{6}}}=4\,\zeta (7)-{\frac {\pi ^{2}}{6}}\,\zeta (5)-{\frac {\pi ^{4}}{90}}\,\zeta (3)}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle \zeta (s)}$ die Riemannsche Zetafunktion.

Kraftvektoren

Gleichartige Klötze sollen so gestapelt werden, dass der oberste Klotz möglichst weit über den untersten ragt.

Das Bild zeigt eine Anwendung der harmonischen Reihe. Werden die horizontalen Abstände der Klötze – von oben nach unten vorgehend – gemäß der harmonischen Reihe gewählt, so ist der Stapel gerade noch stabil. Auf diese Weise bekommt der Abstand zwischen dem obersten und untersten Klotz den größtmöglichen Wert. Die Klötze haben eine Länge ${\displaystyle l_{0}}$. Der oberste Baustein liegt mit seinem Schwerpunkt auf dem zweiten Stein an der Position ${\displaystyle 1/2\cdot l_{0}=1/2\cdot 1\cdot l_{0}}$. Der gemeinsame Schwerpunkt von Stein 1 und Stein 2 liegt bei ${\displaystyle 1/2\cdot 1/2\cdot l_{0}}$, der von Stein 1, Stein 2 und Stein 3 bei ${\displaystyle 1/2\cdot 1/3\cdot l_{0}}$, der des ${\displaystyle n}$-ten Steins bei ${\displaystyle 1/2\cdot 1/n\cdot l_{0}}$. Die Gesamtlänge ${\displaystyle L}$ des Auslegers beträgt somit:

${\displaystyle L={\frac {l_{0}}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}$

Jeder zusätzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe. Da die harmonische Reihe beliebig große Werte annehmen kann, wenn man sie nur weit genug fortführt, gibt es keine prinzipielle Grenze, wie weit der oberste Stein überhängen kann. Die Zahl der nötigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Überhang. Für einen Überhang in 2,5-facher Steinlänge werden etwa 100 Steine benötigt werden. Bei einem realen Aufbau würde dies bereits hohe Anforderungen an die Maßhaltigkeit der Steine stellen.

Weitere Beispiele für die Anwendung der harmonischen Reihe sind das Sammler-Problem und das Problem der 100 Gefangenen.

Summenreihen

Im nun folgenden werden zwei Beispiele genannt, bei denen die betroffenen Summenformeln anschließend mit der harmonischen Reihenfunktion ausgedrückt werden sollen. Danach wird ein Allgemeinfall für diese beiden Beispiele präsentiert:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}+3m+1}}={\frac {1}{5}}{\sqrt {5}}{\bigl [}\mathrm {H} {\bigl (}{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}{\bigr )}-\mathrm {H} {\bigl (}{\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {5}}{\bigr )}{\bigr ]}}$

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2}+4m+2}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {2}}{\bigl [}\mathrm {H} {\bigl (}2+{\sqrt {2}}{\bigr )}-\mathrm {H} {\bigl (}2-{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigr ]}}$

Und so lautet der Allgemeinfall:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{a\,m^{2}+b\,m+c}}={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{\biggl [}\mathrm {H} {\biggl (}{\frac {b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\biggr )}-\mathrm {H} {\biggl (}{\frac {b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

Alternierende harmonische Reihe

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\pm \cdots =\ln 2=0{,}69314{\text{ }}71805{\text{ }}59945{\text{ }}30941\ldots }$

Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium, der Grenzwert lässt sich mit der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus und dem abelschen Grenzwertsatz berechnen. Es ist nämlich ${\displaystyle \textstyle \ln(1+x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {x^{k}}{k}}}$ und wenn man ${\displaystyle x=1}$ setzt, erhält man in der Reihenentwicklung die alternierende harmonische Reihe. Die Konvergenz der Reihe ist nicht absolut also damit lediglich bedingt.

Allgemeine harmonische Reihe

Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{\alpha }}}\ ,}$

sie divergiert für ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ und konvergiert für ${\displaystyle \alpha >1}$ (siehe Cauchysches Verdichtungskriterium). Deren n-te Partialsummen werden auch als ${\displaystyle H_{n}^{(\alpha )}}$ oder ${\displaystyle H^{(\alpha )}(n)}$ bezeichnet.

Beispiel für ${\displaystyle \alpha =2}$ (siehe Basler Problem):

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}=1{,}64493{\text{ }}40668{\text{ }}48226{\text{ }}43647\ldots }$

Beispiel für ${\displaystyle \alpha =4}$:

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}=1{,}08232{\text{ }}32337{\text{ }}11138{\text{ }}19151{\text{ }}\ldots }$

Beispiel für ${\displaystyle \alpha =2n}$:

${\displaystyle S=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}=1+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n-1}\,{\frac {(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}\,\mathrm {B} _{2n}=\zeta (2n),}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {B} _{2n}}$ die ${\displaystyle 2n}$-te Bernoulli-Zahl bezeichnet.

Lässt man für ${\displaystyle \alpha }$ auch komplexe Zahlen zu, gelangt man zur riemannschen Zetafunktion.

Subharmonische Reihen

Subharmonische Reihen entstehen dadurch, dass man bestimmte Summanden bei der Reihenbildung der harmonischen Reihe weglässt, etwa nur die Kehrwerte aller Primzahlen summiert:

${\displaystyle S=\sum _{k{\text{ prim}}}^{\infty }{\frac {1}{k}}}$

Diese Summe divergiert ebenfalls (Satz von Euler).

Eine konvergente Reihe entsteht, wenn man nur noch über die Primzahlzwillinge (oder gar Primzahldrillinge oder Primzahlvierlinge usw.) summiert; allerdings ist nicht bekannt, ob es sich dabei um unendliche Reihen handelt. Die Grenzwerte werden Brunsche Konstanten genannt.

Weitere subharmonische Reihen sind die ebenfalls konvergenten Kempner-Reihen.