Erwartungswert und Varianz

Der Erwartungswert ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}}$

und die Varianz zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{8}}}$.

Symmetrie

Die Arcsin-Verteilung ist symmetrisch um 0,5.

Arcsin-Gesetz von Paul Lévy

Die Zeitlängen, die ein eindimensionaler Standard-Wiener-Prozess ${\displaystyle (W_{t})_{t\in [0,1]}}$ positiv ist, sind arcsin-verteilt. Das heißt für

${\displaystyle U:=\lambda (\{t\in [0,1]\mid W_{t}>0\}),\ \ \ x\in [0,1]}$,

gilt

${\displaystyle P(U\leq x)=F(x),\ \ \ x\in [0,1]}$,

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das eindimensionale Lebesgue-Maß bezeichnet.

Arcsin-Gesetz von Paul Erdős und Mark Kac

Sei ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von eindimensionalen, unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen. Weiter wird angenommen, dass sie Erwartungswert 0 und Varianz 1 haben. Die fortlaufenden Anzahlen der Summen

${\displaystyle S_{k}:=X_{1}+\dotsb +X_{k},\ \ \ k\in \mathbb {N} }$,

die positiv sind, sind definiert durch

${\displaystyle N_{n}:=|\{k\in \{1,\dotsc ,n\}\mid S_{k}>0\}|,\ \ \ n\in \mathbb {N} }$.

Dann gilt die folgende Konvergenz in Verteilung

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left({\frac {N_{n}}{n}}\leq x\right)=F(x),\ \ \ x\in [0,1]}$.

Die Annahmen können variiert werden, sofern der Zentrale Grenzwertsatz weiterhin für ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ gilt.

Arcsin-Gesetz von Erik Sparre Andersen

Sei ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ eine Folge von Zufallsvariablen. Zu jeder Auswahl von endlich vielen Zufallsvariablen existieren die gemeinsamen Dichten und diese sind invariant bezüglich s-Permutationen. Eine s-Permutation besteht aus der Kompositionen einer Permutation und Vorzeichenwechsel in beliebigen Koordinaten. Dann gilt analog zum Arcsin-Gesetz von Erdős und Kac für die Summen ${\displaystyle S_{k},\ k\in \mathbb {N} ,}$ und die die Anzahl von positiven Zufallsvariablen ${\displaystyle N_{n},n\in \mathbb {N} ,}$ die folgende Konvergenz in Verteilung

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }P\left({\frac {N_{n}}{n}}\leq x\right)=F(x),\ \ \ x\in [0,1]}$.

Diskrete Arcsin-Verteilung

In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen, dass die sogenannte diskrete Arcsin-Verteilung von Bedeutung ist. Diese ist für jeden Parameter ${\displaystyle n\in \mathbb {N} \cup \{0\}}$ durch ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion

${\displaystyle g_{n}(m)=(-1)^{n}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{m}}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n-m}},\ \ \ m\leq n}$

und ihre Verteilungsfunktion

${\displaystyle G_{n}(x)=\sum \limits _{m=0}^{\lfloor x\rfloor }(-1)^{n}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{m}}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n-m}},\ \ \ x\in [0,n]}$

definiert.

Der Name ist durch ihr Konvergenzverhalten zur Arcsin-Verteilung begründet, so gilt die gleichmäßige Konvergenz

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\sup _{x\in [0,1]}\mid G_{n}(n\cdot x)-F(x)\mid =0}$.

Erik Sparre Andersen zeigte die entsprechende Konvergenz in Verteilung im gleichen Zug mit dem vorigen Arcsin-Gesetz.