Erwartungswert

Der Erwartungswert berechnet sich zu

${\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {p}{p+q}}}$.

Modus

Der Modus, also die Maximalstelle der Dichtefunktion ${\displaystyle f}$, ist für ${\displaystyle p>1}$, ${\displaystyle q>1}$

${\displaystyle \left(1+{\frac {q-1}{p-1}}\right)^{-1}={\frac {p-1}{p+q-2}}}$.

Varianz

Die Varianz ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}$.

Standardabweichung

Für die Standardabweichung ergibt sich

${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\frac {pq}{(p+q+1)(p+q)^{2}}}}}$.

Variationskoeffizient

Aus Erwartungswert und Varianz erhält man unmittelbar den Variationskoeffizienten

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {q}{p(p+q+1)}}}}$.

Schiefe

Die Schiefe ergibt sich zu

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {2(q-p){\sqrt {p+q+1}}}{(p+q+2){\sqrt {pq}}}}}$.

Höhere Momente

Aus der momenterzeugenden Funktion ergibt sich für die k-ten Momente

${\displaystyle \operatorname {E} (X^{k})=\prod _{r=0}^{k-1}{\frac {p+r}{p+q+r}}}$.

Symmetrie

Die Beta-Verteilung ist für ${\displaystyle p=q}$ symmetrisch um ${\displaystyle x={\frac {1}{2}}}$ mit der Schiefe ${\displaystyle \operatorname {v} (X)=0}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion einer betaverteilten Zufallsgröße lautet

${\displaystyle M_{X}(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {p+k}{p+q+k}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}}$.

Mit der hypergeometrischen Funktion ${\displaystyle _{1}F_{1}}$ erhält man die Darstellung

${\displaystyle M_{X}(t)={}_{1}F_{1}(p;q;t)}$.

Charakteristische Funktion

Analog zur momenterzeugenden Funktion erhält man die charakteristische Funktion

${\displaystyle \varphi _{X}(t)={}_{1}F_{1}(p;q;it)}$.

Spezialfälle

• Für ${\displaystyle p=q=1}$ ergibt sich als Spezialfall die stetige Gleichverteilung.
• Für ${\displaystyle p=q={\frac {1}{2}}}$ ergibt sich als Spezialfall die Arcsin-Verteilung.

Grenzfälle

• Für ${\displaystyle p\rightarrow 0}$ und konstantes ${\displaystyle q}$ geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Ber} \left(0\right)}$ über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert null). Dasselbe gilt für ${\displaystyle q\rightarrow \infty }$ bei konstantem ${\displaystyle p}$.
• Für ${\displaystyle q\rightarrow 0}$ und konstantes ${\displaystyle p}$ geht die Beta-Verteilung in eine Bernoulli-Verteilung ${\displaystyle \operatorname {Ber} \left(1\right)}$ über (eine entsprechende Zufallsgröße hat dann fast sicher den Wert eins). Dasselbe gilt für ${\displaystyle p\rightarrow \infty }$ bei konstantem ${\displaystyle q}$.

Beides sieht man leicht durch entsprechende Grenzwertbildungen der Formeln für Erwartungswert und Varianz: Der Erwartungswert geht gegen null bzw. eins, die Varianz beide Male gegen null.

Beziehung zur Gammaverteilung

Wenn ${\displaystyle X\sim \gamma (p_{1},b)}$ und ${\displaystyle Y\sim \gamma (p_{2},b)}$ unabhängige gammaverteilte Zufallsvariablen sind mit den Parametern ${\displaystyle p_{1},b}$ bzw. ${\displaystyle p_{2},b}$, dann ist die Größe ${\displaystyle {\tfrac {X}{X+Y}}}$ betaverteilt mit Parametern ${\displaystyle p_{1}}$ und ${\displaystyle p_{2}}$, kurz

${\displaystyle \operatorname {Beta} (p_{1},p_{2})\sim {\frac {\gamma (p_{1},b)}{\gamma (p_{1},b)+\gamma (p_{2},b)}}.}$

Beziehung zur stetigen Gleichverteilung

Sind ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dotsc ,X_{n}}$ unabhängige auf ${\displaystyle [0,1]}$ stetig gleich verteilte Zufallsvariable, dann sind die Ordnungsstatistiken ${\displaystyle X_{(1)},X_{(2)},\dotsc ,X_{(n)}}$ betaverteilt. Genauer gilt

${\displaystyle X_{(k)}\sim \operatorname {Beta} (k,n-k+1)}$

für ${\displaystyle k=1,\dotsc ,n}$.

Mischverteilungen

Eine Binomialverteilung, deren Parameter ${\displaystyle p}$ betaverteilt ist, nennt man Beta-Binomialverteilung. Dies ist ein spezieller Fall einer Mischverteilung.

Definition

Die allgemeine Beta-Verteilung ist definiert durch die Wahrscheinlichkeitsdichte

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{B(a,b,p,q)}}(x-a)^{p-1}(b-x)^{q-1},}$

wobei ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ die obere und untere Grenze des Intervalls sind. Entsprechend ergibt sich die Berechnung von ${\displaystyle B}$ zu

${\displaystyle B(a,b,p,q)=\int _{a}^{b}(u-a)^{p-1}(b-u)^{q-1}\mathrm {d} u={\frac {\Gamma (p)\Gamma (q)}{\Gamma (p+q)}}(b-a)^{p+q-1}.}$

Eigenschaften

Ist ${\displaystyle X}$ betaverteilt auf dem Intervall ${\displaystyle (0,1)}$ mit Parametern ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, dann ist

${\displaystyle Y=(b-a)X+a}$

betaverteilt auf dem Intervall ${\displaystyle (a,b)}$ mit den gleichen Parametern ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$. Ist umgekehrt ${\displaystyle Y}$ betaverteilt auf ${\displaystyle (a,b)}$, dann ist

${\displaystyle X={\frac {Y-a}{b-a}}}$

betaverteilt auf ${\displaystyle (0,1)}$.

Beispiel

Im Dreieckstest werden drei Proben im gleichseitigen Dreieck angeordnet, wobei eine Ecke des gedachten Dreiecks nach oben zeigt. Zwei der drei Proben gehören zum Produkt A und eine Probe gehört zum Produkt B oder umgekehrt. Die Aufgabe des Probanden besteht nun darin, dasjenige Produkt zu finden, das nur einmal vorkommt. Die Wahrscheinlichkeit durch bloßes Raten die richtige Antwort zu geben beträgt ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten variieren je nach sensorischen Fähigkeiten. Unter der Annahme, dass kein Proband absichtlich eine falsche Antwort gibt, liegt die Erfolgswahrscheinlichkeit bei niemandem unter ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$. Bei Feinschmeckern oder großen Geschmacksunterschieden kann diese theoretisch bis auf 100 % ansteigen. Im Folgenden wird für beliebige Rate-Erfolgswahrscheinlichkeiten ${\displaystyle c}$ mit ${\displaystyle 0<c<1}$ die Beta-Verteilung auf ${\displaystyle (c,1)}$ hergeleitet. Aus den eben genannten Gründen modelliert diese Wahrscheinlichkeitsdichte die Erfolgswahrscheinlichkeiten der Probanden realistischer als eine Beta-Verteilung auf ${\displaystyle (0,1)}$.

Die Erfolgswahrscheinlichkeiten ${\displaystyle \pi _{i}}$ der einzelnen Probanden ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ seien zunächst betaverteilt auf ${\displaystyle (0,1)}$ mit Parametern ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle \beta }$. Die korrigierten Erfolgswahrscheinlichkeiten auf ${\displaystyle (c,1)}$ ergeben sich aus ${\displaystyle p_{i}=c+(1-c)\pi _{i}}$. Die Wahrscheinlichkeitsdichte von ${\displaystyle p_{i}}$ lässt sich über den Transformationssatz für Dichten bestimmen. Die Beta-Verteilung von ${\displaystyle \pi _{i}}$ hat eine positive Dichte im Intervall ${\displaystyle (0,1)}$. Die Transformation ${\displaystyle u\colon (0,1)\rightarrow (c,1)}$ mit ${\displaystyle u(\pi )=c+(1-c)\pi =p}$ ist ein Diffeomorphismus. Daraus erhält man die Umkehrfunktion ${\displaystyle u^{-1}(p)={\frac {p-c}{1-c}}}$. Für die gesuchte Dichtefunktion von ${\displaystyle p}$ erhält man

${\displaystyle f_{p}(p)=f_{\pi }(u^{-1}(p))\left|{\frac {\partial }{\partial p}}u^{-1}(p)\right|=f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}\right)\left|{\frac {1}{1-c}}\right|={\frac {1}{1-c}}f_{\pi }\left({\frac {p-c}{1-c}}|\alpha ,\beta \right)}$.

Diese Wahrscheinlichkeitsdichte von ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle (c,1)}$ wird in Abhängigkeit von der Wahrscheinlichkeitsdichte von ${\displaystyle \pi }$ auf ${\displaystyle (0,1)}$ dargestellt. In der nebenstehenden Grafik ist beispielhaft eine Beta-Verteilung auf ${\displaystyle ({\tfrac {1}{3}},1)}$ mit Parametern ${\displaystyle \alpha =0{,}5}$ und ${\displaystyle \beta =4}$ eingezeichnet. Der Erwartungswert beträgt ${\displaystyle 40{,}7\,\%}$. Die durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit liegt damit ${\displaystyle 7{,}4\,\%}$ über der Rate-Erfolgswahrscheinlichkeit von ${\displaystyle 33{,}3\,\%}$.