Analytischer Index

Da der elliptische Differentialoperator ${\displaystyle D}$ eine Pseudoinverse hat, ist er ein Fredholm-Operator. Jeder Fredholm-Operator hat einen Index, definiert als Differenz der (endlichen) Dimensionen des Kerns von ${\displaystyle D}$ (also der Lösungen der homogenen Gleichung ${\displaystyle Df=0}$) und des Kokerns von ${\displaystyle D}$ (der einschränkenden Bedingungen an die rechte Seite (inhomogene Gleichungen wie ${\displaystyle Df=g}$), oder äquivalent: der Kern des adjungierten Operators ${\displaystyle D^{*}}$), also

${\displaystyle \operatorname {index} _{\,analytisch}\,(D)=\dim \operatorname {Kern} (D)-\dim \operatorname {Cokern} (D)=\dim \operatorname {Kern} (D)-\dim \operatorname {Kern} (D^{*}).}$

Beispiel für ${\displaystyle n=1}$: Angenommen, die Mannigfaltigkeit sei ein Kreis (als ${\displaystyle \mathbb {R} /\mathbb {Z} }$ gedacht), und ${\displaystyle D}$ der Operator ${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}-2\pi i\lambda }$ für eine komplexe Konstante ${\displaystyle \lambda }$. (Das ist das einfachste Beispiel eines elliptischen Operators). Dann ist der Kern von ${\displaystyle D}$, also der auf null abgebildete Teil, gleich dem von allen Termen der Form ${\displaystyle \exp(i2\pi \,\lambda \,x)}$ aufgespannte Raum, falls ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} }$, und gleich 0 in den anderen Fällen. Beim Kern des adjungierten Operators wird ${\displaystyle \lambda }$ einfach durch sein Komplex-konjugiertes ersetzt.

Bei diesem Beispiel hat ${\displaystyle D}$ also den Index 0, wie bei selbstadjungierten Operatoren, obwohl der Operator nicht selbstadjungiert ist. Das Beispiel zeigt aber zugleich, dass Kern und Kokern eines elliptischen Operators unstetig springen können, falls man den elliptischen Operator so variiert, dass die oben erwähnten „anderen Fälle“ erfasst werden. Es gibt also selbst bei diesem einfachen Beispiel keine durch topologische Größen ausgedrückte schöne Formel für den Index. Da die Sprünge in den Dimensionen von Kern und Kokern aber gleich sind, ist ihre Differenz, der Index, zwar nicht null, ändert sich aber stetig und kann durch topologische Größen ausgedrückt werden.

Topologischer Index

Im Folgenden sei die kompakte Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ zusätzlich ${\displaystyle n}$-dimensional und orientierbar und ${\displaystyle TX}$ bezeichne ihr Tangentialbündel. Ferner seien ${\displaystyle p_{1}\colon E\to X}$ und ${\displaystyle p_{2}\colon F\to X}$ zwei hermitesche Vektorbündel.

Der topologische Index des elliptischen Differentialoperators ${\displaystyle D\colon \Gamma (X,E)\to \Gamma (X,F)}$ zwischen den Schnitten der glatten Vektorbündel ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ ist durch

${\displaystyle ({\overline {\operatorname {ch} }}(D)\operatorname {Td} (X))[X]}$

gegeben. Mit anderen Worten, es handelt sich um den Wert der höchstdimensionalen Komponente der gemischten Kohomologieklasse (mixed cohomology class) ${\displaystyle \operatorname {ch} (D)\operatorname {Td} (X)}$ auf der fundamentalen Homologieklasse von ${\displaystyle X.}$ Dabei ist:

• ${\displaystyle {\operatorname {Td} (X):=\operatorname {Td} (TX\otimes \mathbb {C} ):=1+c_{1}(TX)\cdot {\tfrac {1}{2}}+(c_{1}^{2}+c_{2})(TX\otimes \mathbb {C} )\cdot {\tfrac {1}{12}}+(c_{1}c_{2})(TX\otimes \mathbb {C} )\cdot {\tfrac {1}{24}}+\ldots }}$ die sog. Todd-Klasse von ${\displaystyle X}$. Mit ${\displaystyle c_{i}(TX\otimes \mathbb {C} )}$ wird die i-te Chern-Klasse des Bündels ${\displaystyle TX\otimes \mathbb {C} }$ bezeichnet. Ferner seien

• ${\displaystyle [X]}$ die Fundamentalklasse von ${\displaystyle X}$ und

• ${\displaystyle {\overline {\operatorname {ch} }}(D):=\phi ^{-1}(\operatorname {ch} (d(p_{1}^{*}E,p_{2}^{*}F,\sigma (D))))}$,

wobei ${\displaystyle \phi \colon H^{k}(X,\mathbb {Q} )\to H^{n+k}(B(X)/S(X),\mathbb {Q} )}$ der Thom-Isomorphismus, ${\displaystyle B(X):=\{\xi \in T^{*}X|\|\xi \|\leq 1\}}$ das Einheitsball-Bündel des Kotangentialbündels, ${\displaystyle S(X)}$ dessen Rand, ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ der Chern-Charakter von der topologischen K-Theorie ${\displaystyle K(X)}$ auf dem rationalen Kohomologiering ${\displaystyle H(X,\mathbb {Q} )}$, ${\displaystyle d(p_{1}^{*}E,p_{2}^{*}F,\sigma (D))}$ das Differenz-Element („difference element“) von ${\displaystyle K(B(X)/S(X))}$ zu den zwei Vektorbündeln ${\displaystyle p^{*}E\to B(X)}$ und ${\displaystyle p^{*}F\to B(X)}$ und dem Hauptsymbol ${\displaystyle \sigma (D)}$, das ein Isomorphismus auf dem Unterraum ${\displaystyle S(X)}$ ist. Das Objekt ${\displaystyle {\overline {\operatorname {ch} }}(D)}$ kann äquivalent auch als der Chern-Charakter des Indexbündels verstanden werden.

Eine andere Methode der Definition des topologischen Index nutzt systematisch die K-Theorie. Wenn ${\displaystyle X}$ eine kompakte Untermannigfaltigkeit von ${\displaystyle Y}$ ist, gibt es eine pushforward-Operation von ${\displaystyle K(TX)}$ nach ${\displaystyle K(TY)}$. Der topologische Index eines Elements von ${\displaystyle K(TX)}$ ist als Bild dieser Operation definiert, wobei ${\displaystyle Y}$ ein euklidischer Raum ist, für den ${\displaystyle K(TY)}$ auf natürliche Weise mit den ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ identifiziert werden kann. Der Index ist unabhängig von der Einbettung von ${\displaystyle X}$ in den euklidischen Raum.

Euler-Poincaré-Charakteristik

Die Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ sei kompakt und orientierbar. ${\displaystyle E}$ sei die Summe der geraden äußeren Produkte des Kotangentialbündels, ${\displaystyle F}$ die Summe der ungeraden äußeren Produkte, ${\displaystyle D}$ sei ${\displaystyle d+d^{*}}$, eine Abbildung von ${\displaystyle E}$ nach ${\displaystyle F}$. Dann ist der topologische Index von ${\displaystyle D}$ die Euler-Poincaré-Charakteristik von ${\displaystyle X}$ und der analytische Index ergibt sich aus dem Indexsatz als alternierende Summe der Dimensionen der De-Rham-Kohomologiegruppen.

Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch

Sei ${\displaystyle X}$ eine komplexe Mannigfaltigkeit mit einem komplexen Vektorbündel ${\displaystyle V\to M}$. Die Vektorbündel ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle F}$ sind die Summen der Bündel der Differentialformen mit Koeffizienten in ${\displaystyle V}$ vom Typ (0,i), wobei ${\displaystyle i}$ gerade oder ungerade ist. Der Differentialoperator ${\displaystyle D}$ sei die Summe

${\displaystyle D:={\overline {\partial }}+{\overline {\partial }}^{*}}$

eingeschränkt auf ${\displaystyle E}$, wobei ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ der Dolbeault-Operator und ${\displaystyle {\overline {\partial }}^{*}}$ sein adjungierter Operator ist. Dann ist der analytische Index von ${\displaystyle D}$ die holomorphe Euler-Poincaré-Charakteristik von ${\displaystyle V}$:

${\displaystyle \operatorname {index} _{a}(D)=\sum _{p}(-1)^{p}\dim(H^{p}(X,V))}$

Der topologische Index von ${\displaystyle D}$ ist durch

${\displaystyle \operatorname {index} _{t}(D)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {Td} (X)[X]}$

gegeben als Produkt des Chern-Charakters von ${\displaystyle V}$ und der Todd-Klasse von ${\displaystyle X}$, berechnet auf der Fundamentalklasse von ${\displaystyle X.}$

Gleichsetzen von topologischem und analytischem Index liefert den Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch, der den Satz von Riemann-Roch verallgemeinert. Tatsächlich bewies Hirzebruch den Satz nur für projektive komplexe Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle X,}$ in obiger Form gilt er allgemein für komplexe Mannigfaltigkeiten.

Diese Ableitung des Satzes von Hirzebruch-Riemann-Roch kann auch „natürlicher“ unter Verwendung des Indexsatzes für elliptische Komplexe statt für elliptische Operatoren abgeleitet werden. Der Komplex sei durch

${\displaystyle 0\to V\to V\otimes \Lambda ^{0,1}T^{*}(X)\to V\otimes \Lambda ^{0,2}T^{*}(X)\ldots }$

mit dem Differential ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ gegeben. Dann ist die ${\displaystyle i}$-te Kohomologiegruppe gerade die kohärente Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{i}(X,V)}$, sodass der analytische Index dieses Komplexes die holomorphe Euler-Charakteristik ${\displaystyle \textstyle \sum _{i}(-1)^{i}\dim(H^{i}(X,V)}$ ist. Wie zuvor ist der topologische Index ${\displaystyle \operatorname {ch} (W)\operatorname {Td} (X)[X]}$.

Signatursatz von Hirzebruch

Sei ${\displaystyle X}$ eine orientierte kompakte glatte Mannigfaltigkeit der Dimension ${\displaystyle n:=4k}$. Der Signatur-Satz von Hirzebruch besagt, dass die Signatur ${\displaystyle \sigma (X)}$ der Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ durch das L-Geschlecht ${\displaystyle L(X)}$ von ${\displaystyle X}$ gegeben ist. Das folgt aus dem Atiyah-Singer-Indexsatz angewandt auf den Signatur-Operator. Der Atiyah-Singer-Indexsatz besagt also in diesem Spezialfall

${\displaystyle \sigma (M)=(\pi i)^{-{\frac {n}{2}}}\int _{M}L(M).}$

Diese Aussage wurde 1953 von Friedrich Hirzebruch mittels Kobordismustheorie bewiesen.

Â-Geschlecht und der Satz von Rochlin

Das Â-Geschlecht ist eine rationale Zahl definiert für eine beliebige Mannigfaltigkeit, aber im Allgemeinen keine ganze Zahl. Armand Borel und Friedrich Hirzebruch zeigten, dass sie für Spin-Mannigfaltigkeiten ganz ist und gerade, falls zusätzlich die Dimension kongruent 4 modulo 8 ist. Das lässt sich aus dem Indexsatz folgern, der dem Â-Geschlecht für Spin-Mannigfaltigkeiten den Index eines Dirac-Operators zuweist. Der Extrafaktor 2 in den Dimensionen, die kongruent 4 modulo 8 sind, kommt von der quaternionischen Struktur von Kern und Ko-Kern des Diracoperators in diesen Fällen. Als komplexe Vektorräume haben sie somit gerade Dimension, also ist auch der Index gerade.

In der Dimension 4 folgt daraus der Satz von Rochlin, dass die Signatur einer 4-dimensionalen Spin-Mannigfaltigkeit durch 16 teilbar ist, da dort die Signatur gleich dem (−8)-Fachen des Â-Geschlechts ist.

Pseudodifferentialoperatoren

Während zum Beispiel Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten im euklidischen Raum Fouriertransformationen der Multiplikationen mit Polynomen sind, sind die entsprechenden Pseudodifferentialoperatoren Fouriertransformationen der Multiplikation mit allgemeineren Funktionen. Viele Beweise des Indexsatzes benutzen solche Pseudodifferentialoperatoren, da es für viele Zwecke „nicht genug“ Differentialoperatoren gibt. Beispielsweise ist die Pseudoinverse eines elliptischen Differentialoperators fast nie ein Differentialoperator, wohl aber ein Pseudodifferentialoperator. Für die meisten Versionen des Indexsatzes gibt es so eine Erweiterung auf Pseudodifferentialoperatoren. Die Beweise werden durch die Verwendung dieser verallgemeinerten Differentialoperatoren flexibler.

Kobordismus

Der ursprüngliche Beweis basierte wie der des Hirzebruch-Riemann-Roch-Theorems durch Hirzebruch 1954 auf der Verwendung der Kobordismentheorie und benutzte außerdem Pseudodifferentialoperatoren.

Die Idee des Beweises war grob wie folgt: Man betrachte den durch die Paare ${\displaystyle (X,V)}$ erzeugten Ring, wo ${\displaystyle V}$ ein glattes Vektorbündel auf einer glatten, kompakten, orientierbaren Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ ist. Die Summe und das Produkt in diesem Ring sei durch die disjunkte Vereinigung und das Produkt von Mannigfaltigkeiten gegeben (mit entsprechenden Operationen auf den Vektorbündeln). Jede Mannigfaltigkeit, die Rand einer Mannigfaltigkeit ist, verschwindet in diesem Kalkül. Das Vorgehen ist wie in der Kobordismentheorie, nur dass hier die Mannigfaltigkeiten auch Vektorbündel tragen. Analytischer und Topologischer Index werden als Funktionen auf diesem Ring mit Werten in den ganzen Zahlen interpretiert. Nachdem man überprüft hat, ob die so interpretierten Indices Ring-Homomorphismen sind, muss man ihre Gleichheit nur noch für die Generatoren des Rings beweisen. Diese ergeben sich aus René Thoms Kobordismentheorie, z. B. komplexe Vektorräume mit dem trivialen Bündel und bestimmte Bündel über Sphären gerader Dimension. Der Indexsatz muss damit nur noch auf relativ einfachen Mannigfaltigkeiten betrachtet werden.

K-Theorie

Der erste veröffentlichte Beweis von Atiyah und Singer nutzte K-Theorie statt Kobordismen. Sei ${\displaystyle i}$ eine beliebige Inklusion kompakter Mannigfaltigkeiten von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle Y.}$ Dann kann man eine pushforward Operation ${\displaystyle i_{!}}$ von elliptischen Operatoren auf ${\displaystyle X}$ nach elliptischen Operatoren auf ${\displaystyle Y}$ definieren, die den Index erhält. Nimmt man ${\displaystyle Y}$ als in ${\displaystyle X}$ eingebettete Sphäre reduziert sich der Indexsatz auf den Fall von Sphären. Falls ${\displaystyle Y}$ eine Sphäre ist und ${\displaystyle X}$ ein in ${\displaystyle Y}$ eingebetteter Punkt, dann ist jeder elliptische Operator auf ${\displaystyle Y}$ unter ${\displaystyle i_{!}}$ das Bild eines elliptischen Operators auf dem Punkt. Das reduziert den Indexsatz auf den Fall eines Punktes, wo er trivial ist.

Wärmeleitungsgleichung

Atiyah, Raoul Bott und Vijay Kumar Patodi gaben einen neuen Beweis des Indexsatzes unter Verwendung der Wärmeleitungsgleichung.

Wenn ${\displaystyle D}$ ein Differentialoperator mit adjungiertem Operator ${\displaystyle D^{*}}$ ist, sind ${\displaystyle D^{*}D}$ und ${\displaystyle DD^{*}}$ selbstadjungierte Operatoren, deren nicht verschwindende Eigenwerte dieselbe Vielfachheit besitzen. Ihre Eigenräume zum Eigenwert null können aber verschiedene Vielfachheit besitzen, da diese die Dimensionen der Kerne von ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle D^{*}}$ sind. Der Index von ${\displaystyle D}$ ist daher durch

${\displaystyle \operatorname {Index} (D)=\dim \operatorname {Ker} (D)-\dim \operatorname {Ker} (D^{*})=\operatorname {Tr} (e^{-t\,D^{*}D})-\operatorname {Tr} (e^{-t\,DD^{*}})}$

gegeben, für beliebige positive ${\displaystyle t}$. Die rechte Seite der Gleichung ist durch die Spur der Differenz der Kerne von zwei Wärmeleitungsoperatoren gegeben. Ihre asymptotische Entwicklung für kleine positive ${\displaystyle t}$ kann genutzt werden, um den Grenzwert ${\displaystyle t}$ gegen 0 zu bestimmen und so einen Beweis des Atiyah-Singer-Indexsatzes zu liefern. Der Grenzwert kleiner ${\displaystyle t}$ ist auf den ersten Blick ziemlich kompliziert, da sich aber viele der Terme aufheben, können die führenden Terme explizit angegeben werden. Ein tieferer Grund dafür, dass sich viele der Terme aufheben, wurde später durch Methoden der theoretischen Physik geliefert, und zwar durch die sog. Supersymmetrie.