Erwartungswert

Die Bernoulli-Verteilung mit Parameter ${\displaystyle p}$ hat den Erwartungswert:

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X\right)=p}$

Dies hat den Grund, dass für eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable ${\displaystyle X}$ mit ${\displaystyle P(X=1)=p}$ und ${\displaystyle P(X=0)=q}$ gilt:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=P(X=1)\cdot 1+P(X=0)\cdot 0=p\cdot 1+q\cdot 0=p}$

Varianz und weitere Streumaße

Die Bernoulli-Verteilung besitzt die Varianz

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=p\cdot (1-p)=pq}$

denn es ist ${\displaystyle \operatorname {E} (X^{2})=p\cdot 1^{2}+q\cdot 0^{2}=p}$ und damit

${\displaystyle \operatorname {E} \left(X^{2}\right)-\operatorname {E} (X)^{2}=p-p^{2}=p\cdot (1-p)=pq}$.

Damit ist die Standardabweichung

${\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {pq}}}$

und der Variationskoeffizient

${\displaystyle \operatorname {VarK} (X)={\sqrt {\frac {q}{p}}}}$.

Symmetrie

Für den Parameter ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ist die Bernoulli-Verteilung symmetrisch um den Punkt ${\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}}$.

Schiefe

Die Schiefe der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {1-2p}{\sqrt {pq}}}}$.

Dies kann folgendermaßen gezeigt werden. Eine standardisierte Zufallsvariable ${\displaystyle {\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}}$ mit ${\displaystyle X}$ Bernoulli-verteilt nimmt den Wert ${\displaystyle {\frac {q}{\sqrt {pq}}}}$ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$ an und den Wert ${\displaystyle -{\frac {p}{\sqrt {pq}}}}$ mit Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle q}$. Damit erhalten wir für die Schiefe

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {v} (X)&=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}\right)^{3}\right]\\&=p\cdot \left({\frac {q}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}+q\cdot \left(-{\frac {p}{\sqrt {pq}}}\right)^{3}\\&={\frac {1}{{\sqrt {pq}}^{3}}}\left(pq^{3}-qp^{3}\right)\\&={\frac {pq}{{\sqrt {pq}}^{3}}}(q-p)\\&={\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}\end{aligned}}}$

Wölbung und Exzess

Der Exzess der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle \gamma (X)={\frac {1-6pq}{pq}}}$

und damit ist die Wölbung

${\displaystyle \beta _{2}(X)={\frac {1-3pq}{pq}}}$.

Momente

Alle k-ten Momente ${\displaystyle m_{k}}$ sind gleich und es gilt

${\displaystyle m_{k}=p}$.

Es ist nämlich

${\displaystyle m_{k}=\operatorname {E} \left(X^{k}\right)=p\cdot 1^{k}+q\cdot 0^{k}=p}$.

Entropie

Die Entropie der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle \mathrm {H} =-q\log _{2}(q)-p\log _{2}(p)}$

gemessen in Bit.

Modus

Der Modus der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle x_{D}={\begin{cases}0&{\text{falls }}\quad q>p\\0;1&{\text{falls }}\quad q=p\\1&{\text{falls }}\quad q<p\end{cases}}}$.

Median

Der Median der Bernoulli-Verteilung ist

${\displaystyle {\tilde {m}}_{X}={\begin{cases}0&{\text{falls }}\quad q>p,\\1&{\text{falls }}\quad q<p,\end{cases}}}$

falls ${\displaystyle p=q}$ gilt, ist jedes ${\displaystyle {\tilde {m}}_{X}\in [0,1]}$ ein Median.

Kumulanten

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\ln(pe^{t}+q)}$.

Damit sind die ersten Kumulanten ${\displaystyle \kappa _{1}=p,\kappa _{2}=pq}$ und es gilt die Rekursionsgleichung

${\displaystyle \kappa _{n+1}=p(1-p){\frac {d\kappa _{n}}{dp}}.}$

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ist

${\displaystyle m_{X}(t)=1-p+pt}$.

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion ist

${\displaystyle \varphi _{X}(t)=1-p+pe^{\mathrm {i} t}}$.

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion ist

${\displaystyle M_{X}(t)=1-p+pe^{t}}$.

Beziehung zur Binomialverteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Binomialverteilung für ${\displaystyle n=1}$. Mit anderen Worten, die Summe von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen mit identischem Parameter ${\displaystyle p}$ genügt der Binomialverteilung, demnach ist die Bernoulli-Verteilung nicht reproduktiv. Die Binomialverteilung ist die ${\displaystyle n}$-fache Faltung der Bernoulli-Verteilung bei gleichem Parameter ${\displaystyle p}$ bzw. mit gleicher Wahrscheinlichkeit ${\displaystyle p}$.

Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung

Die Summe von ${\displaystyle n}$ voneinander unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen, die alle einen unterschiedlichen Parameter ${\displaystyle p_{i}}$ besitzen, ist verallgemeinert binomialverteilt.

Beziehung zur Poisson-Verteilung

Die Summe von Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt für ${\displaystyle n\to \infty }$, ${\displaystyle p_{n}\to 0}$ und ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }np_{n}=\lambda >0}$ einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter ${\displaystyle \lambda }$. Dies folgt direkt daraus, dass die Summe binomialverteilt ist und für die Binomialverteilung die Poisson-Approximation gilt.

Beziehung zur Zweipunktverteilung

Die Bernoulli-Verteilung ist ein Spezialfall der Zweipunktverteilung mit ${\displaystyle a=0,b=1}$. Umgekehrt ist die Zweipunktverteilung eine Verallgemeinerung der Bernoulli-Verteilung auf beliebige zweielementige Punktmengen.

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Sowohl die Bernoulli-Verteilung mit ${\displaystyle p=q=0{,}5}$ als auch die Rademacher-Verteilung modellieren einen fairen Münzwurf (oder eine faire, zufällige Ja/Nein-Entscheidung). Der Unterschied besteht lediglich darin, dass Kopf (Erfolg) und Zahl (Misserfolg) unterschiedlich codiert werden.

Beziehung zur geometrischen Verteilung

Bei Hintereinanderausführung von Bernoulli-verteilten Experimenten ist die Wartezeit auf den ersten Erfolg (oder letzten Misserfolg, je nach Definition) geometrisch verteilt.

Beziehung zur diskreten Gleichverteilung

Die Bernoulli-Verteilung mit ${\displaystyle p=q={\frac {1}{2}}}$ ist eine diskrete Gleichverteilung auf ${\displaystyle \{0,1\}}$.

Urnenmodell

Die Bernoulli-Verteilung lässt sich auch aus dem Urnenmodell erzeugen, wenn ${\displaystyle p={\frac {k}{n}}}$ mit ${\displaystyle k,n\in \mathbb {N} }$ ist. Dann entspricht dies dem einmaligen Ziehen aus einer Urne mit ${\displaystyle n}$ Kugeln, von denen genau ${\displaystyle k}$ rot sind und alle anderen eine andere Farbe besitzen. Die Wahrscheinlichkeit, eine rote Kugel zu ziehen, ist dann ${\displaystyle p}$.