Statische Bestimmtheit

Bei statisch bestimmt gelagerten Balken lassen sich die Auflagerkräfte und Schnittgrößen aus den Gleichgewichtsbedingungen bestimmen. Bei statisch überbestimmten Balken sind zusätzlich zu den Gleichgewichtsbedingungen auch Verträglichkeitsbedingungen zu erfüllen, um die Auflagerkräfte und Schnittgrößen bestimmen zu können. Im einfachsten Fall wird ein Balken anhand der Gleichung der Biegelinie, einer linearen inhomogenen Differentialgleichung, berechnet. Sie stellt einen Zusammenhang zwischen der Durchbiegung ${\displaystyle w}$ (in ${\displaystyle z}$-Richtung) und der Querbelastungen (Streckenlast ${\displaystyle q}$, Einzellast quer zum Träger, Einzelmoment, …) als Funktion der Koordinate ${\displaystyle x}$ entlang der Balkenachse her.

${\displaystyle (EI(x)\,w''(x))''=q(x)}$.

Biegesteifigkeit

Die Biegesteifigkeit gibt an, wie groß das Biegemoment im Verhältnis zur Krümmung ist. Für homogene Querschnitte ergibt sie sich als Produkt ${\displaystyle EI}$ aus dem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$ des Materials und dem geometrischen Flächenträgheitsmoment ${\displaystyle I}$ des gegebenen Querschnitts. Letzteres berechnet sich als

${\displaystyle I_{y}=\int z^{2}{\rm {d}}A=\iint z^{2}{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z\quad }$ wobei ${\displaystyle y}$ und ${\displaystyle z}$ die orthogonalen Koordinaten vom Schwerpunkt weg gemessen sind.

Für einen Balken mit rechteckigem Querschnitt ${\displaystyle b\cdot h}$ (in ${\displaystyle y}$- respektive ${\displaystyle z}$-Richtung) ist

${\displaystyle I_{y}(x)=\int _{-h(x)/2}^{h(x)/2}\int _{-b(x)/2}^{b(x)/2}z^{2}{\rm {d}}y\,{\rm {d}}z={\left(h(x)\right)^{3}\cdot b(x) \over 12}}$.

Rand- und Übergangsbedingungen ergeben sich aus der Art der Auflager und bestehen aus kinematischen Randbedingungen und aus dynamischen (Kräfte und Momente betreffenden) Randbedingungen.

Für die dynamischen Randbedingungen ist relevant, welcher Zusammenhang zwischen der Durchbiegung und den Schnittlasten besteht, nämlich

Biegemoment:

${\displaystyle M(x)=-EI(x)\,w''(x)}$

Querkraft:

${\displaystyle Q(x)=-(EI(x)\,w''(x))'}$

Biegespannung

Das Biegemoment setzt sich aus Biegespannungen zusammen, dies sind in axialer Richtung wirkende Spannungen mit einer über den Stab veränderlichen Verteilung von Normalspannungen:

Im einfachsten Fall geht man in der Balkentheorie von der Bernoullitheorie aus, welche Ebenbleiben der Querschnitte voraussetzt, in Kombination mit einem linear elastischen Materialverhalten. Diese Vereinfachung führt zu der Formel:

${\displaystyle \sigma _{B}(x,y,z)=-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{y}(x)+M_{y}(x)\cdot I_{yz}(x)}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz}(x))^{2}}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{z}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}(x)}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz}(x))^{2}}}\cdot z}$

Falls das Deviationsmoment I_yz gleich Null ist folgt für den Spannungsanteil zufolge Biegung:

${\displaystyle \sigma _{B}(x,y,z)={\frac {M_{y}(x)}{I_{y}(x)}}z-{\frac {M_{z}(x)}{I_{z}(x)}}y}$

Darin ist ${\displaystyle I}$ das Flächenträgheitsmoment des Querschnitts um die Achse, um die das Biegemoment dreht. Den Kennwert ${\displaystyle I/z}$ beim maximalen ${\displaystyle z}$ (an der äußersten Faser des Querschnitts) nennt man auch Widerstandsmoment ${\displaystyle W}$. Daraus folgt ein recht bekanntes Ergebnis: die Tragfähigkeit eines Balkens ist proportional zu ${\displaystyle I/h\propto b\cdot h^{2}}$.

Im Falle unsymmetrischer Querschnitte muss das Koordinatensystem in Richtung der Hauptträgheitsachsen gedreht werden, damit man die Biegung in beiden Richtungen getrennt voneinander berechnen kann. Beispiel: wenn ein L-Profil von oben belastet wird, biegt es sich im Allgemeinen direkt proportional auch zur Seite hin durch. Nur in Richtung einer der beliebigen Hauptträgheitsachsen biegt sich ein Balken ausschließlich in Richtung der Belastung.

Wie stark sich ein Balken verbiegt, hängt ferner sehr stark von der Position der Auflager ab; bei gleichmäßiger Belastung ${\displaystyle q(x)}$=const erhält man aus der Differentialgleichung als optimale Lagerpositionen die Bessel-Punkte.

Die Biegespannung im Besonderen beschreibt die Kraft, welche auf den Querschnitt (z. B. eines Balkens) wirkt, der senkrecht zu seiner Ausdehnungsrichtung belastet wird.

Die Normalspannung im Balkenquerschnitt ist:

${\displaystyle \sigma (x,y,z)={\frac {N(x)}{A(x)}}-{\frac {M_{z}(x)\cdot I_{y}(x)+M_{y}(x)\cdot I_{yz}(x)}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz}(x))^{2}}}\cdot y+{\frac {M_{y}(x)\cdot I_{z}(x)+M_{z}(x)\cdot I_{yz}(x)}{I_{y}(x)\cdot I_{z}(x)-(I_{yz}(x))^{2}}}\cdot z}$

Wenn die Deviationsmomente Null sind und man eine einfache Biegung in z-Richtung ohne Normalkraft hat, folgt:

${\displaystyle \sigma (x,z)\,={\frac {M_{y}(x)}{I_{y}(x)}}\cdot z}$

Ist das Moment M_y positiv, treten bei reiner Biegebeanspruchung durch M_y für ${\displaystyle z}$ > 0 Zug- und für ${\displaystyle z}$ < 0 Druckspannungen auf. Die betragsmäßig größte Spannung tritt bei reiner Biegebeanspruchung durch M_y demnach in der äußersten Faser ${\displaystyle |z|_{\mathrm {max} }}$ auf.

Das Widerstandsmoment ${\displaystyle W}$ ist ein reiner Querschnittswert und gibt das Verhältnis vom angreifenden Moment zur zugehörigen Spannung ${\displaystyle \sigma \,}$ in der „kritischen“ Faser an

${\displaystyle W_{u}(x)={\frac {I_{y}(x)}{z_{\mathrm {max} }(x)}}\,,\quad W_{o}(x)={\frac {I_{y}(x)}{z_{\mathrm {min} }(x)}}}$

Dabei beschreibt ${\displaystyle I}$ das Flächenträgheitsmoment. Für die maximale Biegespannung ergibt sich:

${\displaystyle |\sigma |_{\mathrm {max} }(x)={\frac {|M(x)|}{|W(x)|_{\mathrm {min} }}}}$

Je größer der Betrag des Widerstandsmomentes ist, desto kleiner ist der Betrag der Biegespannung in der Randfaser.

Beim Biegen eines Balkens werden seine auf der Zugseite liegenden Längsfasern (vorne im nebenstehenden Bild, linkes Teilbild) gedehnt und seine auf der Druckseite liegenden gestaucht (hinten im nebenstehenden Bild, linkes Teilbild). In den gedehnten Fasern entstehen Zugspannungen, in den gestauchten Druckspannungen. Der Spannungsverlauf von den außen maximalen Zug- zu den innen maximalen Druckspannungen ist i. d. R. nichtlinear, jedoch ist die lineare Verteilung eine häufige Annahme.

Bei relativ kleiner Biegung und keiner Normalkraft befindet sich die neutrale (spannungsfreie) Faser in der Mitte der Balkenhöhe. Die Zug- und die Druckspannungen in einer Querschnittsfläche sind betragsmäßig gleich groß, sofern keine Normalkraft vorliegt.

Biegelinie des Balkens

Die Durchbiegung (Auslenkung)  ${\displaystyle w}$  des Balkens an seiner Stelle  ${\displaystyle x}$  ist mit folgender linearen Differentialgleichung beschreibbar:

${\displaystyle w''(x)=-{M_{y}(x) \over EAI_{y}}\ .}$

Sie ist abhängig von der Belastung durch das Biegemoment  ${\displaystyle M_{y}(x)}$  , dem Flächenträgheitsmoment  ${\displaystyle I_{y}}$  des Balkenquerschnitts und dem Elastizitätsmodul  ${\displaystyle E}$  des Balkenmaterials (Index  ${\displaystyle _{y}}$ : Biegung um die Querachse ${\displaystyle y}$). Durch die erste Integration folgt die Neigung  ${\displaystyle w'}$  der Biegelinie aus ihrer Krümmung  ${\displaystyle w''}$ :

${\displaystyle w'(x)=-{{\int _{0}^{x}M_{y}(\xi )\,\mathrm {d} \xi +C_{1}} \over {EI_{y}}}\ .}$

Bei der zweiten Integration entsteht aus der Neigung der Biegelinie ihre Auslenkung ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle w(x)=-{{\int _{0}^{x}(\int _{0}^{x}M_{y}(\xi )\,\mathrm {d} \xi +C_{1})\,\mathrm {d} \xi +C_{2}} \over {EI_{y}}}\ .}$

Im Beispiel eines an seinen beiden Enden aufliegender Balken mit mittiger Einzellast (nebenstehendes Bild) hat der Verlauf des Biegemomentes eine Knickstelle. Die Integration wird in diesem Fall für den linken und den rechten Balkenteil üblicherweise getrennt durchgeführt. Der Zusammenschluss der beiden Ergebnisse zur stetig verlaufenden Biegelinie ergibt sich daraus, dass dort sowohl ihre Neigung als auch ihre Auslenkung für beide Teile gleich ist. Im Beispiel liegt Symmetrie (in der Biegelinie und Momentenlinie) vor. Die Integration z. B. der Differentialgleichung für die linke Hälfte genügt. Diese Hälfte lässt sich auch als in der Mitte eingespannter und am anderen Ende mit der Kraft  ${\displaystyle P/2}$ (durch das Auflager) belasteter Kragbalken ansehen.

Für  ${\displaystyle x\leq L/2}$  gelten:

${\displaystyle M(x)=Px/2\ ,}$

${\displaystyle w'(x)=-{Px^{2}/4+C_{1} \over EI_{y}}\ ,}$                                          bei  ${\displaystyle x=L/2}$  ist die Neigung  ${\displaystyle w'}$  gleich Null     →     ${\displaystyle C_{1}=-PL^{2}/16\ ,}$

${\displaystyle w(x)=-{Px^{3}/12-P\cdot L^{2}x/16+C_{2} \over EI_{y}}\ ,}$         bei  ${\displaystyle x=0}$  ist die Auslenkung ${\displaystyle w}$  gleich Null     →     ${\displaystyle C_{2}=0\ ,}$

${\displaystyle w(x)={P(L^{2}x/16-x^{3}/12) \over EI_{y}}}$,                               bei  ${\displaystyle x=L/2}$  ist die Auslenkung  ${\displaystyle w}$  gleich  ${\displaystyle {P\cdot L^{3} \over 48\cdot EI_{y}}\ .}$