Binomischer Lehrsatz

Der binomische Lehrsatz ist ein Satz der Mathematik, der es in seiner einfachsten Form ermöglicht, die Potenzen eines Binoms $x+y$ , also einen Ausdruck der Form

(x+y)^{n},\quad n\in \mathbb {N}

als Polynom $n$ -ten Grades in den Variablen $x$ und $y$ auszudrücken.

In der Algebra gibt der binomische Lehrsatz an, wie ein Ausdruck der Form $(x+y)^{n}$ auszumultiplizieren ist.

Binomischer Lehrsatz für natürliche Exponenten

Für alle Elemente $x$ und $y$ eines kommutativen unitären Rings und für alle natürlichen Zahlen $n\in \mathbb {N} _{0}$ gilt die Gleichung:

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\quad (1)

Insbesondere gilt dies für reelle oder komplexe Zahlen $x$ und $y$ (mit der Konvention $0^{0}=1$ ).

Die Koeffizienten dieses Polynomausdrucks sind die Binomialkoeffizienten

{\binom {n}{k}}={\frac {n\cdot (n-1)\dotsm (n-k+1)}{1\cdot 2\dotsm k}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot {k!}}}

,

die ihren Namen aufgrund ihres Auftretens im binomischen Lehrsatz erhalten haben. Mit $n!=1\cdot 2\dotsm n$ ist hierbei die Fakultät von $n$ bezeichnet.

Bemerkung

Die Terme ${\tbinom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}$ sind dabei als Skalarmultiplikation der ganzen Zahl ${\tbinom {n}{k}}$ an das Ringelement $x^{n-k}y^{k}$ aufzufassen, d. h. hier wird der Ring in seiner Eigenschaft als $\mathbb {Z}$ -Modul benutzt.

Spezialisierung

Der binomische Lehrsatz für den Fall $n=2$ heißt erste binomische Formel.

Verallgemeinerungen

Der binomische Lehrsatz gilt auch für Elemente $x$ und $y$ in beliebigen unitären Ringen, sofern nur diese Elemente miteinander kommutieren, d. h. $x\cdot y=y\cdot x$ gilt.
Auch die Existenz der Eins im Ring ist verzichtbar, sofern man den Lehrsatz in folgende Form umschreibt:

(x+y)^{n}=x^{n}+\left[\sum _{k=1}^{n-1}{\binom {n}{k}}x^{n-k}y^{k}\right]+y^{n}

.

Für mehr als zwei Summanden gibt es das Multinomialtheorem.

Beweis

Der Beweis für jede beliebige natürliche Zahl $n$ kann unter Ausnutzung der algebraischen Eigenschaften von Binomialkoeffizienten durch vollständige Induktion erbracht werden. Anhand der kombinatorischen Deutung der Binomialkoeffizienten ergibt sich auch ein einfacher Abzählbeweis. Für jedes konkrete $n$ kann man diese Formel auch durch Ausmultiplizieren erhalten.

Beispiele

(x+y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}y+{\binom {3}{2}}\,xy^{2}+{\binom {3}{3}}\,y^{3}=x^{3}+3\,x^{2}y+3\,xy^{2}+y^{3}

(x-y)^{3}={\binom {3}{0}}\,x^{3}+{\binom {3}{1}}\,x^{2}(-y)+{\binom {3}{2}}\,x(-y)^{2}+{\binom {3}{3}}\,(-y)^{3}=x^{3}-3\,x^{2}y+3\,xy^{2}-y^{3}

{\big (}a+ib{\big )}^{n}=\sum \limits _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}b^{k}i^{k}=\sum _{k=0, \atop k{\text{ gerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k}{2}}a^{n-k}b^{k}+\mathrm {i} \sum _{k=1, \atop k{\text{ ungerade}}}^{n}{\binom {n}{k}}(-1)^{\frac {k-1}{2}}a^{n-k}b^{k}

, wobei

i

die imaginäre Einheit ist.

Binomische Reihe, Lehrsatz für komplexe Exponenten

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf beliebige reelle Exponenten $\alpha$ mittels unendlicher Reihen ist Isaac Newton zu verdanken. Dieselbe Aussage ist aber auch gültig, wenn $\alpha$ eine beliebige komplexe Zahl ist.

Der binomische Lehrsatz lautet in seiner allgemeinen Form:

(x+y)^{\alpha }=x^{\alpha }\left(1+{\tfrac {y}{x}}\right)^{\alpha }=x^{\alpha }\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}\left({\frac {y}{x}}\right)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{k}}x^{\alpha -k}y^{k}\quad (2)

.

Diese Reihe heißt binomische Reihe und konvergiert für alle $x,y\in \mathbb {R}$ mit $x>0$ und $\left|{\tfrac {y}{x}}\right|<1$ .

Im Spezialfall $\alpha \in \mathbb {N}$ geht Gleichung (2) in (1) über und ist dann sogar für alle $x,y\in \mathbb {C}$ gültig, da die Reihe dann abbricht.

Die hier gebrauchten verallgemeinerten Binomialkoeffizienten sind definiert als

{\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\dotsm (\alpha -k+1)}{k!}}

Im Fall $k=0$ entsteht ein leeres Produkt, dessen Wert als 1 definiert ist.

Für $\alpha =-1$ und $x=1$ ergibt sich aus (2) als Sonderfall die geometrische Reihe.

Literatur

M. Barner, F. Flohr: Analysis I, de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-016778-6, S. 26
Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55
Thomas Koshy: Catalan Numbers with Applications. Oxford University Press, 2009, ISBN 9780195334548, S. 28-36
Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31

Weblinks

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Binomischer Lehrsatz – Lern- und Lehrmaterialien

Wikibooks: Beweisarchiv: Algebra: Ringe: Binomischer Lehrsatz – Lern- und Lehrmaterialien

Binomischer Lehrsatz (Eigenschaften von Binomiakoeffizoenten und Beweis des Satzes per Induktion)
Binomischer Lehrsatz (Video, kombinatorischer Beweis)
Eric W. Weisstein: Binomial Theorem. In: MathWorld (englisch).
The Binomial Theorem bei Khan Academy (Video, englisch)

Einzelnachweise

↑ Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31
↑ Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55

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[1] Stefan Hildebrandt: Analysis. Springer, 2013, ISBN 9783662056943, S. 29-31

[2] Stasys Jukna: Crashkurs Mathematik: für Informatiker. Springer, 2007, ISBN 9783835102163, S. 52-55