Die Bobkow-Ungleichung ist in der Stochastik eine funktionale isoperimetrische Ungleichung für das kanonische gaußsche Maß. Sie verallgemeinert die gaußsche isoperimetrische Ungleichung von Boris Tsirelson, Vladimir Sudakow und Christer Borell aus den 1970ern.

Die Gleichung wurde 1997 von dem russischen Mathematiker Sergey Bobkow bewiesen.

Bobkow-Ungleichung

Notation:

Sei

• ${\displaystyle \gamma ^{n}(dx)=(2\pi )^{-n/2}e^{-\|x\|^{2}/2}d^{n}x,}$ das kanonische gaußsche Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ bezüglich des Lebesgue-Maßes.
• ${\displaystyle \phi (x)=(2\pi )^{-1/2}e^{-x^{2}/2}}$ die eindimensionale kanonische gaußsche Dichte.
• ${\displaystyle \Phi (t)=\int _{-\infty }^{t}\phi (x)dx}$ die Verteilungsfunktion von ${\displaystyle \gamma ^{1}}$, das bedeutet ${\displaystyle \Phi (t):\mathbb {R} \to [0,1]}$.

Nun definieren wir die Funktion ${\displaystyle I(t):[0,1]\to [0,1]}$ durch

${\displaystyle I(t)=\phi (\Phi ^{-1}(t)).}$

Diese Funktion verschwindet an den Endpunkten

${\displaystyle \lim \limits _{t\to 0}I(t)=\lim \limits _{t\to 1}I(t)=0.}$

Verallgemeinerungen

Es existiert eine Verallgemeinerung von Dominique Bakry und Michel Ledoux.

Einzelnachweise

1. ↑ Sergey G. Bobkov: An isoperimetric inequality on the discrete cube, and an elementary proof of the isoperimetric inequality in Gauss space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 25, Nr. 1, 1997, S. 206 - 214, doi:10.1214/aop/1024404285. 
2. ↑ Sergey G. Bobkov: An isoperimetric inequality on the discrete cube, and an elementary proof of the isoperimetric inequality in Gauss space. In: Institute of Mathematical Statistics (Hrsg.): The Annals of Probability. Band 25, Nr. 1, 1997, S. 209, doi:10.1214/aop/1024404285 (Korollar 1). 
3. ↑ Eric Carlen und James Kerce: On the case of equality in Bobkov's inequality and Gaussian rearrangement. In: Calculus of Variations. Band 13, 2001, S. 2, doi:10.1007/PL00009921. 
4. ↑ Bakry, Dominique & Ledoux, Michel. (1996). Lévy–Gromov’s isoperimetric inequality for an infinite dimensional diffusion generator. Inventiones Mathematicae. 123. 259-281. 10.1007/s002220050026.