Grundkonzepte aus der projektiven Geometrie

Ein endlichdimensionaler projektiver Raum bestimmt die Menge ${\displaystyle S}$ seiner echten projektiven Unterräume (einschließlich der Menge seiner Punkte, aber hier ohne die leere Menge und den Gesamtraum). Jedem Element von ${\displaystyle S}$ kann durch eine „Typisierungsfunktion“ ${\displaystyle t:S\rightarrow \Delta }$ ein „Typ“ aus einem Indexvorrat ${\displaystyle \Delta }$ (hier etwa seine jeweilige projektive Dimension) zugeordnet werden. Die Menge dieser Typen kann durch eine endliche Menge, zum Beispiel ${\displaystyle \Delta =\{{\text{Punkt, Gerade, Ebene,}}\ldots \}}$ beschrieben werden. Die Anzahl der tatsächlich auftretenden Typen ${\displaystyle |t(S)|}$ ist dann die projektive Dimension (oder der „Rang“) des Gesamtraumes. Auf der Menge ${\displaystyle S}$ der „Elemente“ (echten Unterräume) ist durch die symmetrisierte Teilraumrelation ${\displaystyle UIV\leftrightarrow \left(U\leq V\lor V\leq U\right)}$ eine Inzidenzrelation gegeben.

Eine Fahne in einer solchen projektiven Geometrie ist eine durch die antisymmetrische Inzidenz (hier: die nicht symmetrisierte Unterraumrelation) total geordnete Teilmenge von ${\displaystyle S}$. Eine solche Fahne ist auch für einen unendlichen projektiven Raum endlich, sofern nur die Dimension dieses Raumes endlich ist und die Länge der Fahne ist nicht größer als diese projektive Dimension des Raumes.

Geometrie

Sei ${\displaystyle \Delta }$ eine Menge, ihre Elemente und Teilmengen werden als Typen bezeichnet. Eine (Diagramm)-Geometrie ${\displaystyle \Gamma }$ über ${\displaystyle \Delta }$ besteht aus einem Tripel ${\displaystyle \Gamma =(S,I,t)}$, wobei ${\displaystyle S}$ eine Menge, ${\displaystyle I}$ eine symmetrische und reflexive Relation auf ${\displaystyle S}$, die Inzidenzrelation ist, ${\displaystyle t}$ eine surjektive Funktion ${\displaystyle t:S\rightarrow \Delta }$, die Typisierungsfunktion, wenn das folgende Axiom (TP=transversality property) erfüllt ist:

(TP) Ist ${\displaystyle M\subseteq S}$ eine maximale Menge von paarweise inzidenten Elementen, dann ist die Einschränkung der Typisierungsfunktion ${\displaystyle t}$ auf ${\displaystyle M}$ eine Bijektion ${\displaystyle t|_{M}:\;M\leftrightarrow \Delta }$.

Fahne, Zimmer, Residuum, Rang

Sei ${\displaystyle \Gamma =(S,I,t)}$ eine Geometrie über ${\displaystyle \Delta }$.

• Eine Fahne von ${\displaystyle \Gamma }$ ist eine (möglicherweise leere) Menge ${\displaystyle F}$ paarweise inzidenter Elemente von ${\displaystyle S}$.
• Zwei Fahnen ${\displaystyle F_{1},F_{2}}$ heißen inzident, wenn auch ${\displaystyle F_{1}\cup F_{2}}$ eine Fahne ist.
• Maximale Fahnen heißen Zimmer (engl. chambers).
• Die Menge aller Zimmer von ${\displaystyle \Gamma }$ wird als ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Cham} } (\Gamma )}$ notiert.
• Der Typ einer Fahne ${\displaystyle F}$ ist die Menge ${\displaystyle t(F)}$.
• Für eine Teilmenge der Typmenge ${\displaystyle A\subseteq \Delta }$ wird jede Fahne vom Typ ${\displaystyle A}$ auch als ${\displaystyle A}$-Fahne bezeichnet.
• Der Kotyp einer Fahne ${\displaystyle F}$ ist die Menge ${\displaystyle \Delta \setminus t(F)}$.
• Das Residuum einer Fahne ${\displaystyle F}$ in ${\displaystyle \Gamma }$ ist die Geometrie ${\displaystyle \Gamma _{F}=(S_{F},I_{F},t_{F})}$ über ${\displaystyle \Delta _{F}=t(S_{F})=\Delta \setminus t(F)}$, die durch

${\displaystyle S_{F}=\{x\in S\setminus F|\forall y\in F:xIy\}}$ und die Einschränkung ${\displaystyle I_{F}}$ der Inzidenzrelation ${\displaystyle I}$ auf ${\displaystyle S_{F}}$ und der Typisierungsfunktion ${\displaystyle t_{F}=t|_{F}}$ gegeben ist.

• Der Rang ${\displaystyle r(\Gamma )}$ von ${\displaystyle \Gamma }$ ist die Mächtigkeit von ${\displaystyle \Delta }$, also die Anzahl ${\displaystyle |t(s)|}$ der Typen, die in ${\displaystyle \Gamma }$ vertreten sind.
• Der Rang einer Fahne ${\displaystyle F}$ ist die Anzahl der Elemente von ${\displaystyle F}$, ihr Korang ist der Rang von ${\displaystyle \Gamma _{F}}$.

Grunddiagramm einer Geometrie

Sei ${\displaystyle \Gamma =(S,I,t)}$ eine Geometrie über ${\displaystyle \Delta }$. Ein Paar verschiedener Elemente („Typen“) ${\displaystyle (i,j)\in \Delta ^{2}}$ heißen verbunden das heißt, sie bilden eine Kante des Grunddiagramms, wenn mindestens eine Fahne mit dem Kotyp ${\displaystyle \{i,j\}}$ existiert, deren Residuum kein verallgemeinertes Zweieck ist.