Vergleichsdreiecke

Sei ${\displaystyle (X,d)}$ ein geodätischer metrischer Raum. Ein geodätisches Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ in ${\displaystyle X}$ ist ein Dreieck mit Ecken ${\displaystyle a,b,c\in X}$, dessen drei Seiten Geodäten sind. Zu jedem geodätischen Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ gibt es ein (bis auf Kongruenz eindeutiges) Vergleichsdreieck ${\displaystyle \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ mit

${\displaystyle d(a,b)=\lVert a^{\prime }-b^{\prime }\rVert ,\ d(a,c)=\lVert a^{\prime }-c^{\prime }\rVert ,\ d(b,c)=\lVert b^{\prime }-c^{\prime }\rVert }$.

Man hat dann eine Vergleichsabbildung

${\displaystyle f:\partial \Delta (a,b,c)\rightarrow \partial \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$,

die (zum Beispiel) jedem Punkt ${\displaystyle x}$ auf der Seite ${\displaystyle (a,b)}$ den entsprechenden Punkt ${\displaystyle x^{\prime }}$ auf der Seite ${\displaystyle (a^{\prime },b^{\prime })}$ (d. h. den eindeutigen Punkt mit ${\displaystyle \lVert x^{\prime }-a^{\prime }\rVert =d(x,a)}$) zuordnet, analog für die beiden anderen Seiten.

CAT(0)-Räume

Ein geodätischer metrischer Raum ${\displaystyle (X,d)}$ ist ein CAT(0)-Raum, wenn zu jedem geodätischen Dreieck ${\displaystyle \Delta (a,b,c)}$ in ${\displaystyle X}$ mit Vergleichsabbildung ${\displaystyle f:\partial \Delta (a,b,c)\rightarrow \partial \Delta (a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime })}$ die Ungleichung

${\displaystyle d(x,y)\leq \lVert f(x)-f(y)\rVert }$ für alle ${\displaystyle x,y\in \partial \Delta (a,b,c)}$ gilt.

Anschaulich: Jedes geodätische Dreieck ist mindestens so dünn wie sein Vergleichsdreieck.

Kegel-Topologie

Die Topologie auf ${\displaystyle (X,d)}$ lässt sich zu einer Topologie auf ${\displaystyle X\cup \partial _{\infty }X}$ erweitern, so dass gilt: Eine Folge ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ konvergiert gegen ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ genau dann, wenn (für beliebiges ${\displaystyle x_{0}\in X}$) die Folge der ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle x_{n}}$ verbindenden Geodäten lokal gleichmäßig gegen die ${\displaystyle x_{0}}$ und ${\displaystyle p}$ verbindende Geodäte konvergiert.

Diese Topologie wird als Kegel-Topologie bezeichnet.

Beispiel: Wenn ${\displaystyle (X,d)}$ eine einfach zusammenhängende, vollständige n-dimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeit nichtpositiver Schnittkrümmung ist, dann ist ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$ mit der Kegel-Topologie homöomorph zur (n-1)-dimensionalen Sphäre.

Tits-Metrik

Die Tits-Metrik (nach Jacques Tits) ${\displaystyle d_{T}:\partial _{\infty }X\times \partial _{\infty }X\rightarrow \mathbb {R} }$ ist für ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in \partial _{\infty }X}$ definiert durch

${\displaystyle d_{T}(p_{1},p_{2}):=\sup _{x\in X}\lim _{t\rightarrow \infty }\angle _{x}(\gamma _{1}(t),\gamma _{2}(t))}$,

wobei ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2}}$ zu ${\displaystyle p_{1},p_{2}}$ asymptotische Geodäten sind.

Hierbei ist (allgemein für ${\displaystyle x,a,b\in X}$) der Winkel ${\displaystyle \angle _{x}(a,b)}$ definiert als der Winkel bei ${\displaystyle x^{\prime }}$ des Vergleichsdreiecks ${\displaystyle \Delta (x^{\prime },a^{\prime },b^{\prime })}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.

Die Tits-Metrik induziert im Allgemeinen nicht die Kegel-Topologie auf ${\displaystyle \partial _{\infty }X}$.

Beispiele: Falls ${\displaystyle (X,d)}$ eine einfach zusammenhängende, vollständige Riemannsche Mannigfaltigkeit negativer Schnittkrümmung ist, dann ist ${\displaystyle d_{T}(p_{1},p_{2})=\pi }$ für alle ${\displaystyle p_{1},p_{2}\in \partial _{\infty }X}$, die Tits-Metrik induziert also die diskrete Topologie. Falls ${\displaystyle (X,d)=(\mathbb {R} ^{n},d_{eukl})}$ der euklidische Raum ist, dann ist ${\displaystyle (\partial _{\infty }X,d_{T})}$ homöomorph zur Sphäre.

Horosphären

Zu einem Punkt ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ und einer Geodäte ${\displaystyle \gamma$ :\left[0,\infty \right]\rightarrow X} mit ${\displaystyle \lim _{t\rightarrow \infty }\gamma (t)=p}$ definiert man die Busemann-Funktion ${\displaystyle b_{\gamma }:X\rightarrow \mathbb {R} }$ durch

${\displaystyle b_{\gamma }(x):=\lim _{t\rightarrow \infty }d(x,\gamma (t))-t}$.

Falls ${\displaystyle X}$ vollständig ist und ${\displaystyle \gamma _{1}}$ und ${\displaystyle \gamma _{2}}$ zwei zu ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ asymptotische Geodäten sind, dann ist ${\displaystyle b_{\gamma _{1}}-b_{\gamma _{2}}}$ konstant. Insbesondere hängt die Zerlegung von ${\displaystyle X}$ in die Niveaumengen von ${\displaystyle b_{\gamma }}$ nur von ${\displaystyle p\in \partial _{\infty }X}$ und nicht von der Wahl der zu ${\displaystyle p}$ asymptotischen Geodäte ${\displaystyle \gamma }$ ab. Die Niveaumengen von ${\displaystyle b_{\gamma }(x)}$ werden als Horosphären von ${\displaystyle p}$ bezeichnet.