Deutung als Wirkung von Vakuumfluktuationen

Die Casimir-Kraft zwischen leitenden Platten kann berechnet werden, wenn angenommen wird, dass das Vakuum ein Raum voller virtueller Teilchen ist, die als Vakuumfluktuation bezeichnet werden. Solchen Teilchen kann eine De-Broglie-Wellenlänge zugeordnet werden. Außerhalb der Platten sind alle möglichen Wellenlängen zulässig; es existiert ein Kontinuum an virtuellen Teilchen, die jeden beliebigen Impuls

${\displaystyle p=\hbar k}$

annehmen können (also ein kontinuierliches Spektrum aufweisen) mit

• ${\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}$: reduzierte Planck-Konstante
• ${\displaystyle k}$: Kreiswellenzahl.

Die Anregungen des diskreten Impulsspektrums lassen sich als stehende Wellen zwischen beiden Platten auffassen. Dabei muss der Abstand der beiden Platten einem Vielfachen der halben Wellenlänge der virtuellen Teilchen entsprechen. Alle anderen Zustände virtueller Teilchen sind dort „verboten“, da sie nicht den Randbedingungen des Wellenfeldes genügen. Von außen stoßen mehr („erlaubte“) virtuelle Teilchen an als im Zwischenraum der Platten, und es entsteht eine Druckdifferenz. Die Teilchen sind virtuell, die Druckdifferenz jedoch real. Dieser Casimir-„Druck“ ${\displaystyle p_{c}}$ wirkt als Kraft ${\displaystyle F_{c}}$ auf die Platten der jeweiligen Fläche ${\displaystyle A}$ und drückt sie zusammen. Er wird angegeben als „Unterdruck“ (Minuszeichen) zwischen den Platten und beträgt für perfekt leitende Platten im Vakuum:

${\displaystyle p_{c}=-{\frac {F_{c}}{A}}=-{\frac {\pi ^{2}\hbar c}{240}}\cdot {\frac {1}{d^{4}}}}$

mit den Größen

• ${\displaystyle c}$: Lichtgeschwindigkeit
• ${\displaystyle d}$: Abstand zwischen beiden Platten.

Nach dieser Formel ergibt der Abstand von 190 nm einen Unterdruck von 1 Pa, bei 11 nm erreicht man 100 kPa (1 bar).

Die sehr genaue Übereinstimmung der Messungen mit diesem Ergebnis ist kein Beweis für die Existenz von Vakuumfluktuationen, obwohl das einige Physiker behaupten.

Deutung als Van-der-Waals-Kraft zwischen makroskopischen Objekten

Die Casimir-Kraft kann auch gedeutet werden als Summe von Anziehungskräften zwischen Atomen über einen Spalt hinweg (die Wirkung dieser Kräfte ist nicht an das Bestehen eines Vakuums gebunden).

Wechselwirkungen zwischen Atomen/Molekülen (Van-der-Waals-Kräfte) hatte schon Fritz London betrachtet. Casimir und Polder berechneten mit Hilfe retardierter van-der-Waals Potentiale die Kraft, die eine perfekt leitende Platte auf ein einzelnes Atom ausübt, und kamen unter der Verwendung gewisser Näherungen zu einer einfachen Formel. Das wenig später von Casimir veröffentlichte Ergebnis, das über die Annahme von Vakuumfluktuationen zwischen zwei Metallplatten gewonnen wurde, stimmte sehr gut damit überein.

1956 berechnete J. M. Lifschitz in aller Allgemeinheit die Kraft zwischen zwei sich gegenüberstehenden dielektrischen Materieblöcken mit planparallelen Oberflächen.

Die Spezialisierung auf zwei perfekt leitende parallele Metallplatten erbrachte genau das Ergebnis von Casimir.

Also kann der Casimir-Effekt erklärt werden ohne einen Bezug auf Vakuumfluktuationen.

Temperaturabhängigkeit

Brevik, Ellingsen und Milton berechneten mit Hilfe der temperaturabhängigen Greenschen Funktion den Casimir-Effekt für beliebige absolute Temperaturen ${\displaystyle T}$. Sie fanden für die Anziehungskraft zwischen den Platten pro Fläche (den „Casimir-Druck“) ${\displaystyle P(T)}$ einen analytischen Ausdruck, aus dem sie die Grenzwerte für sehr hohe und sehr niedrige Temperaturen ableiteten:

${\displaystyle P(T)\to \mathrm {-} {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{4\pi \hbar cd^{3}}}\zeta (3)\mathrm {-} {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2\pi \hbar cd^{3}}}\left(1+t+{\frac {t^{2}}{2}}\right)\mathrm {e} ^{-t}\qquad {\text{für}}\qquad {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}\ll {\frac {4\pi }{\hbar c}}\cdot d}$

${\displaystyle P(T)\to \mathrm {-} {\frac {\pi ^{2}\hbar c}{240d^{4}}}\left[1+{\frac {16}{3}}\cdot {\left({\frac {k_{\mathrm {B} }Td}{\hbar c}}\right)}^{4}\mathrm {-} {\frac {240}{\pi }}\cdot {\frac {k_{\mathrm {B} }Td}{\hbar c}}\mathrm {e} ^{-\left({\frac {\pi \hbar c}{k_{\mathrm {B} }Td}}\right)}\right]\qquad {\text{für}}\qquad {\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}\gg {\frac {4\pi }{\hbar c}}\cdot d}$

Hierbei ist ${\displaystyle t={\frac {4\pi k_{\mathrm {B} }}{\hbar c}}\cdot d\cdot T}$,

• ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$: die Boltzmann-Konstante,
• ${\displaystyle T}$ die absolute Temperatur,
• ${\displaystyle d}$ der Plattenabstand,
• ${\displaystyle \zeta (3)=1{,}2020569\dots }$ eine numerische Konstante (Zetafunktion ${\displaystyle \zeta (z)}$ für ${\displaystyle z=3}$).

Für große ${\displaystyle T}$ steigt die Anziehungskraft mit der Temperatur linear an, für ${\displaystyle T\to 0}$ erhält man das Ergebnis von Casimir.

Für reale Metalle müssen Materialeigenschaften (u. a. endlich große Leitfähigkeit) einbezogen werden und thermodynamische Betrachtungen erfolgen.

Reverser Casimir-Effekt

Es gibt spezielle Fälle, in denen der Casimir-Effekt Abstoßungskräfte zwischen (nicht geladenen) Objekten hervorrufen kann. Dies war bereits 1956 von Jewgeni M. Lifschitz vorhergesagt worden. Die Abstoßungskräfte sollten am leichtesten in Flüssigkeiten auftreten. Nachdem geeignete Metamaterialien vorlagen, wurde der Effekt erneut von Eyal Buks und Michael L. Roukes im Jahr 2002 vorhergesagt. Im Jahre 2007 haben Physiker um Ulf Leonhardt von der Universität St Andrews theoretisch vorhergesagt, dass es unter Zuhilfenahme von Metamaterial mit negativem Brechungsindex möglich wäre, den Casimir-Effekt umzukehren, also eine Abstoßung der Platten zu erreichen. Dies wird reverser oder repulsiver Casimir-Effekt oder auch Quanten-Levitation genannt.

Eine experimentelle Demonstration der von Lifschitz vorhergesagten Abstoßung aufgrund der Umkehrung des Casimir-Effektes wurde von Munday et al. 2009 durchgeführt, die den Effekt ebenfalls als Quantenlevitation bezeichneten.

Andere Wissenschaftler haben die Verwendung von laseraktiven Medien zur Erzielung eines ähnlichen Levitationseffekts vorgeschlagen, obwohl dies umstritten ist, da diese Materialien grundlegende Anforderungen an Kausalität und thermodynamisches Gleichgewicht (Kramers-Kronig-Beziehungen) zu verletzen scheinen. Casimir- und Casimir-Polder-Abstoßung kann aber tatsächlich bei ausreichend anisotropen elektrischen Körpern auftreten. Für einen Überblick über die mit der Abstoßung verbundenen Probleme siehe Milton et al. Mehr zum steuerbaren (englisch tunable) abstoßenden Casimir-Effekt siehe Qing-Dong Jiang et al. (2019).

Dynamischer Casimir-Effekt

Aus der Quantenfeldtheorie leitete der Physiker Gerald T. Moore 1970 her, dass virtuelle Teilchen, die sich in einem Vakuum befinden, real werden können, wenn sie von einem Spiegel reflektiert werden, der sich fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Dieser Effekt wurde später auch dynamischer Casimir-Effekt genannt. Der Experimentalphysiker Per Delsing und Kollegen von der Universität Göteborg konnten diesen Effekt 2011 nachweisen.

Casimir-Drehmoment

Neben der Casimir-Kraft zwischen parallelen Platten gibt es auch ein Casimir-Drehmoment. Dieses wurde 2018 durch die Verdrehung von Flüssigkristallen nachgewiesen. Die wirkenden Drehmomente lagen in der Größenordnung von einigen milliardstel Newtonmetern.

Bücher

• William M. R. Simpson, et al.: Forces of the quantum vacuum - an introduction to Casimir physics. World Scientific, New Jersey 2015, ISBN 978-981-4632-90-4.
• Michael Bordag et al.: Advances in the Casimir effect. Oxford Univ. Pr., Oxford 2009, ISBN 978-0-19-923874-3.
• Kimball A. Milton: The Casimir effect. World Scientific, Singapore 2001, ISBN 981-02-4397-9.
• Vladimir M. Mostepanenko, et al.: The Casimir effect and its applications. Clarendon Press, Oxford 1997, ISBN 0-19-853998-3.
• Frank S. Levin, David A. Micha: Long-range Casimir forces. Plenum Press, New York 1993. ISBN 0-306-44385-6.

Artikel

• Michael Bordag: The Casimir effect 50 years later. In: Proceedings of the 4th Workshop on Quantum Field Theory under the Influence of External Conditions. World Scientific, Singapore 1999, ISBN 981-02-3820-7
• G. Jordan Maclay, (et al.): Of some theoretical significance - implications of Casimir effects. European Journal of Physics, 22, S. 463–469, 2001 Abstract pdf bei arxiv
• Gerold Gründler: Nullpunktsenergie und Casimir-Effekt. Die wesentlichen Argumente für und gegen die Annahme einer physikalisch wirksamen Nullpunktsenergie. Astrophysikalisches Institut Neunhof. Mitteilung sd08011, Februar 2013. Online:
• Christopher Hertlein (et al.): Direct measurement of critical Casimir forces. In: Nature. 451, Nr. 7175, 172–175 (2008) Abstract
• J. N. Munday, F. Capasso, V. A. Parsegian: Measured long-range repulsive Casimir-Lifshitz forces. In: Nature 457, Letter, S. 170–173, 8. Januar 2009 online
• Steven K. Lamoreaux: The Casimir force: background, experiments, and applications. Rep. Prog. Phys., 68 (2005) 201–236, doi:10.1088/0034-4885/68/1/R04, pdf.

Video

• Was ist der Casimir-Effekt? aus der Fernseh-Sendereihe alpha-Centauri (ca. 15 Minuten). Erstmals ausgestrahlt am 1. Sep. 2004.
• Der experimentelle Nachweis des Kasimir-Effekts Video-Portrait über Marcus Sparnaay, mit Wolfgang Werner, 2007, ca. 12 min., abgerufen am 28. März 2011
• Peter Milonni: Casimir Effects Colloquium @Institute for Quantum Computing, University of Waterloo, Februar 2011, @youtube, abgerufen am 25. Mai 2012