Kriterium

Eine Folge ${\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }=a_{1},a_{2},\ldots }$ reeller oder komplexer Zahlen konvergiert gegen einen Grenzwert in den reellen bzw. komplexen Zahlen, wenn es zu jedem ${\displaystyle \varepsilon >0}$ einen Index ${\displaystyle N}$ gibt, sodass der Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab diesem Index kleiner als ${\displaystyle \varepsilon }$ ist. Formal lässt sich die Cauchy-Eigenschaft dadurch beschreiben, dass

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad \left|a_{m}-a_{n}\right|<\varepsilon }$

gilt.

Das Cauchy-Kriterium besitzt für die Analysis eine fundamentale Bedeutung. Eine Folge reeller oder komplexer Zahlen konvergiert nämlich genau dann gegen einen Grenzwert, wenn sie eine Cauchy-Folge ist. Diese sogenannte Vollständigkeit der reellen oder komplexen Zahlen ist eine grundlegende Eigenschaft dieser Zahlbereiche.

Das Beispiel ${\displaystyle a_{n}=\ln(n)}$ zeigt, dass es im Cauchy-Kriterium wirklich auf den Abstand zweier beliebiger Folgenglieder ab dem Index ${\displaystyle N}$ ankommt und nicht nur auf den Abstand aufeinanderfolgender Folgenglieder.

Beispiel

Die Folge reeller Zahlen ${\displaystyle (a_{n})}$ sei rekursiv durch

${\displaystyle a_{n+1}={\tfrac {1}{2}}(1-a_{n}^{2})}$

gegeben, wobei ${\displaystyle a_{0}=0}$ ist. Um die Konvergenz dieser Folge mit dem Cauchy-Kriterium zu zeigen, berechnet man zunächst

${\displaystyle |a_{n+1}-a_{n}|=|{\tfrac {1}{2}}(1-a_{n}^{2})-{\tfrac {1}{2}}(1-a_{n-1}^{2})|={\tfrac {1}{2}}|a_{n}^{2}-a_{n-1}^{2}|={\tfrac {1}{2}}|a_{n}+a_{n-1}|\,|a_{n}-a_{n-1}|\leq {\tfrac {1}{2}}|a_{n}-a_{n-1}|}$,

wobei die letzte Abschätzung aus der Dreiecksungleichung

${\displaystyle |a_{n}+a_{n-1}|\leq |a_{n}|+|a_{n-1}|\leq 1}$

folgt, da die einzelnen Folgenglieder durch ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ beschränkt sind. Wendet man die Ungleichung ${\displaystyle n}$-mal an, erhält man mit ${\displaystyle q={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle |a_{n+1}-a_{n}|\leq q^{n}|a_{1}-a_{0}|=q^{n+1}}$.

Allgemein gilt nun für ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle |a_{m}-a_{m-1}|\leq q|a_{m-1}-a_{m-2}|\leq \cdots \leq q^{m-n-1}|a_{n+1}-a_{n}|}$

und durch wiederholte Anwendung der Dreiecksungleichung sowie der geometrischen Summenformel

${\displaystyle |a_{m}-a_{n}|\leq \sum _{i=0}^{m-n-1}q^{i}|a_{n+1}-a_{n}|\leq {\frac {1-q^{m-n}}{1-q}}q^{n+1}\leq {\frac {1}{1-q}}q^{n+1}=2q^{n+1}=q^{n}<\varepsilon }$

für alle ${\displaystyle n,m>N={\tfrac {\ln \varepsilon }{\ln q}}}$. Damit ist die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ eine Cauchy-Folge und somit konvergent.

Beweis

Der Beweis des Cauchy-Kriteriums kann mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß als Axiom für die Vollständigkeit der reellen oder komplexen Zahlen erfolgen. Ist ${\displaystyle (a_{n})}$ eine Cauchy-Folge, dann kann man zu ${\displaystyle \varepsilon =1}$ einen Index ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ finden, sodass

${\displaystyle |a_{n}|=|a_{n}-a_{N}+a_{N}|\leq |a_{n}-a_{N}|+|a_{N}|\leq 1+|a_{N}|}$

für alle ${\displaystyle n\geq N}$ ist. Also ist die Cauchy-Folge durch

${\displaystyle \max\{|a_{1}|,|a_{2}|,\ldots ,|a_{N-1}|,1+|a_{N}|\}}$

beschränkt. Der Satz von Bolzano-Weierstraß besagt nun, dass die Folge ${\displaystyle (a_{n})}$ einen Häufungspunkt ${\displaystyle a}$ besitzt. Bezeichnet ${\displaystyle (a_{n_{i}})_{i\in \mathbb {N} }}$ eine Teilfolge, die gegen ${\displaystyle a}$ konvergiert, ergibt sich mit

${\displaystyle |a_{n}-a|\leq |a_{n}-a_{n_{i}}|+|a_{n_{i}}-a|}$,

dass ${\displaystyle a}$ der Grenzwert der gesamten Folge sein muss.

Verallgemeinerung

Allgemeiner kann das Cauchy-Kriterium auch zur Untersuchung der Konvergenz von Folgen von Elementen eines vollständigen metrischen Raums ${\displaystyle (X,d)}$ verwendet werden. Eine Folge ${\displaystyle (x_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ von Elementen ${\displaystyle x_{i}\in X}$ konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in der Menge ${\displaystyle X}$, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m,n\geq N\colon \quad d(x_{m},x_{n})<\varepsilon }$

gilt, wenn sie also eine Cauchy-Folge bezüglich der Metrik ${\displaystyle d}$ ist. In einem nicht vollständigen metrischen Raum bildet das Cauchy-Kriterium nur eine notwendige Bedingung für die Konvergenz einer Folge, das heißt: ist eine gegebene Folge keine Cauchy-Folge, so divergiert sie.

Kriterium

Eine Reihe

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}=a_{1}+a_{2}+\ldots }$

mit reellen oder komplexen Summanden ${\displaystyle a_{i}}$ konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in den reellen bzw. komplexen Zahlen, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m>n\geq N\colon \quad |a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots +a_{m}|<\varepsilon }$

gilt.

Beispiele

Die Reihe ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{9}}+{\tfrac {1}{16}}+\ldots }$ konvergiert, da

${\displaystyle \left|\sum _{i=n+1}^{m}{\frac {1}{i^{2}}}\right|<\left|\sum _{i=n+1}^{m}{\frac {1}{i(i-1)}}\right|=\left|\sum _{i=n+1}^{m}\left({\frac {1}{i-1}}-{\frac {1}{i}}\right)\right|={\frac {1}{n}}-{\frac {1}{m}}<{\frac {1}{n}}\leq {\frac {1}{N}}<\varepsilon }$,

wenn ${\displaystyle N>{\tfrac {1}{\varepsilon }}}$ gewählt wird, was aufgrund des archimedischen Axioms immer möglich ist.

Hingegen divergiert die harmonische Reihe ${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+\ldots }$, denn wählt man ${\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle N}$ beliebig, ${\displaystyle n\geq N}$ und ${\displaystyle m=2n}$, dann gilt immer

${\displaystyle \left|\sum _{i=n+1}^{m}{\frac {1}{i}}\right|=\left|{\frac {1}{n+1}}+\ldots +{\frac {1}{2n}}\right|\geq n\cdot {\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}\geq \varepsilon }$.

Beweis

Es ist nachzuweisen, dass die Folge ${\displaystyle (s_{n})}$ der Partialsummen

${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}}$

konvergiert. Nach dem Cauchy-Kriterium für Folgen muss also für jedes ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ein Index ${\displaystyle N}$ so existieren, dass für Indizes ${\displaystyle m,n\geq N}$ die Ungleichung ${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon }$ gilt. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man hierbei ${\displaystyle m>n}$ annehmen. Nach Voraussetzung gilt dann

${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|=|(a_{1}+\ldots +a_{m})-(a_{1}+\ldots +a_{n})|=|a_{n+1}+\ldots +a_{m}|<\varepsilon }$

und somit konvergiert die Partialsummenfolge gegen einen Grenzwert und damit die gesamte Reihe.

Verallgemeinerung

Allgemeiner lässt sich das Cauchy-Kriterium auch für Reihen von Vektoren aus einem vollständigen normierten Raum ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)}$ fassen. Eine Reihe von Vektoren ${\displaystyle v_{i}\in V}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }v_{i}}$

konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert in dem Vektorraum ${\displaystyle V}$, wenn

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N\in \mathbb {N} \quad \forall m>n\geq N\colon \quad \|v_{n+1}+v_{n+2}+\ldots +v_{m}\|<\varepsilon }$

gilt, wobei ${\displaystyle \|\cdot \|}$ die Norm des Banachraums ist.