Verwendung

Die ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Größe wird benötigt, um den Kontingenzkoeffizienten ${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ zu ermitteln. Auch bei statistischen Tests findet die ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Größe Verwendung (siehe Chi-Quadrat-Test).

Beispiel

Es sei folgende Kontingenztafel aus einer Befragung entstanden:

	${\displaystyle {\textbf {Limousine}}}$	${\displaystyle {\textbf {Kombi}}}$	${\displaystyle {\textbf {Summe}}}$
${\displaystyle {\textbf {Arbeiter}}}$	${\displaystyle 19}$	${\displaystyle 18}$	${\displaystyle 37}$
${\displaystyle {\textbf {Angestellte}}}$	${\displaystyle 43}$	${\displaystyle 20}$	${\displaystyle 63}$
${\displaystyle {\textbf {Summe}}}$	${\displaystyle 62}$	${\displaystyle 38}$	${\displaystyle 100}$

Berechnung des ${\displaystyle \chi ^{2}}$-Koeffizienten:

${\displaystyle {\frac {\left(19-\displaystyle {\frac {37\cdot 62}{100}}\right)^{2}}{\displaystyle {\frac {37\cdot 62}{100}}}}+{\frac {\left(18-\displaystyle {\frac {37\cdot 38}{100}}\right)^{2}}{\displaystyle {\frac {37\cdot 38}{100}}}}+{\frac {\displaystyle \left(43-\displaystyle {\frac {63\cdot 62}{100}}\right)^{2}}{\displaystyle {\frac {63\cdot 62}{100}}}}+{\frac {\displaystyle \left(20-\displaystyle {\frac {63\cdot 38}{100}}\right)^{2}}{\displaystyle {\frac {63\cdot 38}{100}}}}=2{,}83}$

Korrigierter Kontingenzkoeffizient

Um zusätzlich zum Einfluss des Stichprobenumfangs auch den Einfluss der Dimension der betrachteten Kontingenztafel (der Anzahl der Merkmalsausprägungen) auf die Obergrenze des Koeffizienten auszuschalten und damit die Vergleichbarkeit von Ergebnissen zu gewährleisten, wird der korrigierte Kontingenzkoeffizient ${\displaystyle C_{\mathrm {korr} }}$ (häufig auch ${\displaystyle K^{*}}$) zur Messung des Zusammenhangs genutzt:

${\displaystyle C_{\mathrm {korr} }={\sqrt {\frac {k}{k-1}}}\cdot C={\sqrt {\frac {k}{k-1}}}\cdot {\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{n+\chi ^{2}}}}}$,

mit ${\displaystyle k}$ wie oben.

Es gilt ${\displaystyle 0\leq C_{\mathrm {korr} }\leq 1}$: Ein ${\displaystyle C_{\mathrm {korr} }\,}$ nahe ${\displaystyle 0}$ deutet dabei auf unabhängige Merkmale hin, ein ${\displaystyle C_{\mathrm {korr} }\,}$ nahe ${\displaystyle 1}$ auf ein hohes Maß an Abhängigkeit zwischen den Merkmalen.

Für das Beispiel ergibt sich ein korrigierter Kontingenzkoeffizient ${\displaystyle C_{\mathrm {korr} }={\sqrt {\frac {2}{2-1}}}\cdot 0{,}166=0{,}234}$.

Vorgehen

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{n\cdot (k-1)}}}}$.

${\displaystyle n}$: Gesamtzahl der Fälle (Stichprobenumfang)

${\displaystyle k=\min(I,J)}$ das Minimum der Anzahl ${\displaystyle I}$ der Zeilen und der Anzahl ${\displaystyle J}$ der Spalten der Kontingenztabelle

Interpretation

Cramérs ${\displaystyle V}$ liegt bei jeder Kreuztabelle – unabhängig von der Anzahl der Zeilen und Spalten – zwischen ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle 1}$. Er kann bei beliebig großen Kreuztabellen angewandt werden. Da Cramérs ${\displaystyle V}$ immer positiv ist, kann keine Aussage über die Richtung des Zusammenhangs getroffen werden.

Berechnung

Um die Vierfelderkorrelation zwischen zwei dichotomen Merkmalen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ zu schätzen, stellt man zuerst eine Kontingenztafel auf, die die gemeinsame Häufigkeitsverteilung der Merkmale enthält.

	${\displaystyle A=0}$	${\displaystyle A=1}$	${\displaystyle {\textbf {Summe}}}$
${\displaystyle B=0}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a+b}$
${\displaystyle B=1}$	${\displaystyle c}$	${\displaystyle d}$	${\displaystyle c+d}$
${\displaystyle {\textbf {Summe}}}$	${\displaystyle a+c}$	${\displaystyle b+d}$	${\displaystyle a+b+c+d}$

Mit den Daten aus der Tabelle kann man ${\displaystyle \phi \;}$ nach der Formel

${\displaystyle \phi ={\frac {a\cdot d-b\cdot c}{\sqrt {(a+b)\cdot (c+d)\cdot (a+c)\cdot (b+d)}}}}$

berechnen. Die Formel ergibt sich aus der allgemeineren Definition des Korrelationskoeffizienten ${\displaystyle \rho (A,B)}$ im Spezialfall zweier binärer Zufallsvariablen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$.

Beispiele

Messen der Assoziation zwischen …

• … Zustimmung zu oder Ablehnung einer Politikentscheidung und dem Geschlecht, …
• … Vorführung bzw. Nichtvorführung eines Werbespots und Kauf oder Nichtkauf eines Produkts.
• Anwendung von ${\displaystyle \phi }$ auf eine Konfusionsmatrix mit zwei Klassen.

Hinweis

Zwischen ${\displaystyle \phi \,}$ und ${\displaystyle \chi ^{2}\,}$ besteht der Zusammenhang ${\displaystyle \chi ^{2}=n\cdot \phi ^{2}}$  bzw.  ${\displaystyle \phi ^{2}={\frac {\chi ^{2}}{n}}}$, wobei ${\displaystyle n\,}$ die Anzahl der Beobachtungen bezeichnet. Damit ist ${\displaystyle \phi \,}$ die Quadratwurzel (das Vorzeichen spielt keine Rolle) aus der mittleren quadratischen Kontingenz (siehe oben).

Als Teststatistik verwendet ist ${\displaystyle n\cdot \phi ^{2}}$ unter der Annahme, dass ${\displaystyle \phi \,}$ gleich null ist, ${\displaystyle \chi ^{2}}$-verteilt mit einem Freiheitsgrad.

Phi als Maß für die Effektstärke

Wenn ein Maß zur Bestimmung der Effektstärke mit Orientierung auf Wahrscheinlichkeiten gesucht wird, kann dafür ${\displaystyle \phi }$ verwendet werden. Da bei Kreuztabellen, die nicht absolute Häufigkeiten, sondern Wahrscheinlichkeiten enthalten, an der Stelle, an der normalerweise die Fallzahl zu finden ist, immer ${\displaystyle 1}$ steht, wird ${\displaystyle \phi }$ identisch mit Cohens ${\displaystyle w}$:

${\displaystyle \phi ={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{n}}}={\sqrt {\frac {\chi ^{2}}{1}}}={\sqrt {\chi ^{2}}}=w}$

Dabei wird ${\displaystyle \chi ^{2}}$ nicht in Bezug auf absolute Häufigkeiten, sondern in Bezug auf Wahrscheinlichkeiten berechnet.