Darstellungen der Lie-Algebra

Die Darstellungstheorie der sl(2,C) zeigt, dass jede ${\displaystyle \mathbb {C} }$-lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ eine sogenannte Spin-${\displaystyle m}$-Darstellung für ein ${\displaystyle m\in {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} }$ ist. Diese Darstellung ist ${\displaystyle (2m+1)}$-dimensional und es gibt für jeden ganz- oder halbzahligen Wert von ${\displaystyle m}$ eine bis auf Isomorphismus eindeutige irreduzible Darstellung ${\displaystyle \pi _{m}}$.

Es folgt dann, dass jede ${\displaystyle \mathbb {R} }$-lineare, irreduzible und endlich-dimensionale Darstellung von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {so}}(3,1)}$ von der Form ${\displaystyle \pi _{m,n}:=\pi _{m}\otimes {\overline {\pi }}_{n}}$ mit ganz- oder halbzahligen Werten ${\displaystyle m,n\in {\tfrac {1}{2}}\mathbb {Z} }$ ist. Hierbei ist das Tensorprodukt zweier Lie-Algebra-Darstellungen definiert durch

${\displaystyle \pi _{m,n}(X):=I_{2m+1}\otimes {\overline {\pi }}_{n}(X)+\pi _{m}(X)\otimes I_{2n+1}}$

und ${\displaystyle {\overline {\pi }}_{n}}$ bezeichnet die zu ${\displaystyle \pi _{n}}$ komplex konjugierte Darstellung. (Die entsprechende Lie-Gruppen-Darstellung ist das Tensorprodukt der ersten Lie-Gruppen-Darstellung mit dem komplex konjugierten der zweiten.)

Die Darstellung ${\displaystyle \pi _{m,n}}$ ist ${\displaystyle (2m+1)(2n+1)}$-dimensional und irreduzibel.

Projektive Darstellungen

Jede Lie-Algebren-Darstellung ${\displaystyle \pi _{m,n}}$ bestimmt (nach dem Zweiten Lie'schen Satz) eine (reelle) Darstellung von ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ und damit eine projektive Darstellung ${\displaystyle \rho _{m,n}}$ von ${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(3,1)}$.

Falls ${\displaystyle m=n}$ ist, kann ${\displaystyle \rho _{m,n}}$ zu einer projektiven Darstellung der gesamten Lorentz-Gruppe ${\displaystyle {\text{O}}(3,1)}$ fortgesetzt werden.

Dies ist nicht möglich für ${\displaystyle m\not =n}$, aber jedenfalls kann dann noch ${\displaystyle \rho _{m,n}\oplus \rho _{n,m}}$ zu einer irreduziblen projektiven Darstellung von ${\displaystyle {\text{O}}^{+}(3,1)}$ fortgesetzt werden.

Darstellungen

${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ ist eine zweifache Überlagerung von ${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(3,1)}$, wobei ${\displaystyle I_{2}}$ und ${\displaystyle -I_{2}}$ auf das neutrale Element ${\displaystyle I_{4}\in {\text{SO}}^{+}(3,1)}$ abgebildet werden. Eine Darstellung von ${\displaystyle {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ entspricht also genau dann einer Darstellung (und nicht nur einer projektiven Darstellung) von ${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(3,1)}$, wenn auch ${\displaystyle -I_{2}=\left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)\in {\text{SL}}(2,\mathbb {C} )}$ auf die Einheitsmatrix abgebildet wird.

Man prüft leicht nach, dass das für die Darstellungen ${\displaystyle \rho _{m,n}}$ genau dann der Fall ist, wenn ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ ganze Zahlen sind.

Wenn ${\displaystyle m=n\in \mathbb {Z} }$, dann erhält man eine Darstellung der vollen Lorentz-Gruppe ${\displaystyle O(3,1)}$.

Beispiele

Im Folgenden bezeichne ${\displaystyle (m,n)}$ die ${\displaystyle (2m+1)(2n+1)}$-projektive Darstellung ${\displaystyle \rho _{m,n}}$ von ${\displaystyle SO^{+}(3,1)}$.

• (0, 0) ist die in relativistischen Skalarfeld-Theorien verwendete skalare Lorentz-Darstellung.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}},0\right)}$ ist die projektive Darstellung der linkshändigen Weyl-Spinoren, ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)}$ die der rechtshändige Weyl-Spinoren. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe ${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(3,1)}$.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\tfrac {1}{2}}\right)}$ ist die Bispinor-Darstellung.
• ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}$ ist die Vierervektor-Darstellung. Der Viererimpuls eines Teilchens transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
• ${\displaystyle (1,0)}$ ist die projektive Darstellung im Raum der selbstdualen 2-Formen und ${\displaystyle (0,1)}$ die projektive Darstellung im Raum der anti-selbstdualen 2-Formen. Diese beiden Darstellungen sind keine linearen Darstellungen der Gruppe ${\displaystyle {\text{SO}}^{+}(3,1)}$.
• (1, 0) ⊕ (0, 1) ist die Darstellung eines Paritäts-invarianten Feldes von 2-Formen (d. h. von Krümmungsformen). Das elektromagnetische Tensorfeld transformiert sich entsprechend dieser Darstellung.
•  ${\displaystyle \left(1,{\tfrac {1}{2}}\right)\oplus \left({\tfrac {1}{2}},1\right)}$ entspricht dem Rarita–Schwinger-Feld.
• (1, 1) ist die Spin-2-Darstellung eines spurlosen symmetrischen Tensorfelds.