De-Sitter-Raum

In Mathematik und Physik ist ein $n$ -dimensionaler De-Sitter-Raum (nach Willem de Sitter), notiert $dS_{n}$ , die lorentzsche Mannigfaltigkeit analog zu einer n-Sphäre (mit ihrer kanonischen riemannschen Mannigfaltigkeit); er ist maximal symmetrisch, hat eine konstante positive Krümmung und ist einfach zusammenhängend für $n\geq 3$ .

Im vierdimensionalen Minkowski-Raum (3 Raumdimensionen plus die Zeit) bzw. in der Raumzeit ist der De-Sitter-Raum das Analogon zu einer Kugel im gewöhnlichen euklidischen Raum.

In der Sprache der allgemeinen Relativitätstheorie ist der De-Sitter-Raum die maximal symmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit einer positiven (repulsiven) kosmologischen Konstanten $\Lambda$ (entsprechend einer positiven Vakuumenergiedichte und negativem Druck) und damit ein kosmologisches Modell für das physikalische Universum; siehe De-Sitter-Modell.

Der De-Sitter-Raum wurde 1917 von Willem de Sitter entdeckt und gleichzeitig – unabhängig von de Sitter – von Tullio Levi-Civita.

Definition

Der De-Sitter-Raum kann definiert werden als Untermannigfaltigkeit eines Minkowski-Raumes einer höheren Dimension.

Betrachtet man also den Minkowski-Raum $\mathbb {R} ^{1,n}$ mit dem üblichen metrischen Tensor

{\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}{\textrm {d}}x_{i}^{2}.

Dann ist der De-Sitter-Raum die Untermannigfaltigkeit, die durch das einschalige Hyperboloid

\alpha ^{2}=-x_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2},

beschrieben wird, wobei $\alpha$ eine positive Konstante ist mit der Dimension einer Länge. Der metrische Tensor des De-Sitter-Raumes ist derjenige, der vom metrischen Tensor des Minkowski-Raumes erzeugt wird. Man kann überprüfen, dass die erzeugte Metrik nicht-entartet ist und eine Signatur der Form (1,k,0) hat. (Wenn in obiger Definition $\alpha ^{2}$ durch $-\alpha ^{2}$ ersetzt wird, erhält man ein zweischaliges Hyperboloid. In diesem Fall ist die erzeugte Metrik positiv definit, und jede der beiden Schalen ist eine Kopie einer hyperbolischen n-Geometrie.)

Der De-Sitter-Raum kann auch definiert werden als Quotient ${\tfrac {\mathrm {O} (1,n)}{\mathrm {O} (1,n-1)}}$ zweier Lorentz-Gruppen, was zeigt, dass er ein nicht-Riemannscher symmetrischer Raum ist.

Topologisch ist der De-Sitter-Raum von der Form $\mathbb {R} \times S^{n-1}$ .

Eigenschaften

Die Isometriegruppe des De-Sitter-Raumes ist die Lorentz-Gruppe $\mathrm {O} (1,n)$ . Daher hat die Metrik ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ unabhängige Killing-Vektoren und ist maximal symmetrisch. Jeder maximal symmetrische Raum hat konstante Krümmung. Der Riemannsche Krümmungstensor $R_{\rho \sigma \mu \nu }$ des De-Sitter-Raumes ist

R_{\rho \sigma \mu \nu }={1 \over \alpha ^{2}}(g_{\rho \mu }g_{\sigma \nu }-g_{\rho \nu }g_{\sigma \mu }).

Der De-Sitter-Raum ist eine Einstein-Mannigfaltigkeit, da der Ricci-Tensor $R_{\mu \nu }$ proportional zur Metrik $g_{\mu \nu }$ ist:

R_{\mu \nu }={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot g_{\mu \nu }.

Das heißt, der De-Sitter-Raum ist eine Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen mit kosmologischer Konstante

\Lambda ={\frac {n-1}{\alpha ^{2}}}\cdot {\frac {n-2}{2}}.

Das Krümmungsskalar dieses Raumes ist

R={\frac {n(n-1)}{\alpha ^{2}}}={\frac {2n}{n-2}}\Lambda .

Für n = 4 ergibt sich Λ = 3/α² und R = 4Λ = 12/α².

Statische Koordinaten

Für den De-Sitter-Raum lassen sich statische Koordinaten (Zeit $t$ , Radius $r$ , …) wie folgt einführen:

x_{0}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \sinh(t/\alpha )

x_{1}={\sqrt {\alpha ^{2}-r^{2}}}\cdot \cosh(t/\alpha )

x_{i}=rz_{i}

mit

2\leq i\leq n,

wobei $z_{i}$ die Standard-Einbettung der Sphäre $S^{n-2}$ in Rⁿ⁻¹ darstellt.

In diesen Koordinaten nimmt die De-Sitter-Metrik folgende Form an:

{\textrm {d}}s^{2}=-\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right){\textrm {d}}t^{2}+\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\right)^{-1}{\textrm {d}}r^{2}+r^{2}{\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}.

Zu beachten: es gibt einen kosmologischen Horizont bei $r=\alpha$ .

Slicing-Koordinaten

Flach

Ansatz:

x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )+r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha

x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )-r^{2}e^{t/\alpha }/2\alpha

x_{i}=e^{t/\alpha }y_{i}

mit

2\leq i\leq n,

wobei $r^{2}=\sum _{i}y_{i}^{2}.$

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes in $(t,y_{i})$ -Koordinaten:

{\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+e^{2t/\alpha }\cdot {\textrm {d}}y^{2}

mit ${\textrm {d}}y^{2}=\sum _{i}{\textrm {d}}y_{i}^{2}$ der flachen Metrik auf $y_{i}$ .

Geschlossen

Ansatz:

x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )

x_{i}=\alpha \cosh(t/\alpha )\cdot z_{i}

mit

1\leq i\leq n,

wobei die $z_{i}$ eine $S^{n-1}$ -Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

{\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\cosh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-1}^{2}.

Wird die Zeit-Variable $t$ geändert in die konforme Zeit $\eta$ :

{\begin{aligned}\tanh(t/\alpha )&=\tan(\eta )\\\Leftrightarrow \cosh(t/\alpha )&=1/\cos(\eta ),\end{aligned}}

so erhält man eine Metrik, die konform äquivalent zum statischen Einstein-Universum ist:

{\textrm {d}}s^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{\cos ^{2}\eta }}(-{\textrm {d}}\eta ^{2}+{\textrm {d}}\Omega _{n-1}^{2}).

Der De-Sitter-Raum und das Einstein-Universum haben deshalb das gleiche Penrose-Diagramm.

Offen

Ansatz:

x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi

x_{1}=\alpha \cosh(t/\alpha )

x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \cdot z_{i}

mit

2\leq i\leq n,

wobei $\sum _{i}z_{i}^{2}=1$ eine Sphäre $S^{n-2}$ formt mit der Standard-Metrik $\sum _{i}{\textrm {d}}z_{i}^{2}={\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}.$

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes

{\textrm {d}}s^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}H_{n-1}^{2},

mit ${\textrm {d}}H_{n-1}^{2}={\textrm {d}}\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-2}^{2}$ der Metrik eines hyperbolischen euklidischen Raumes.

DS

Ansatz:

x_{0}=\alpha \sinh(t/\alpha )\cosh \xi \sin(\chi /\alpha )

x_{1}=\alpha \cos(\chi /\alpha )

x_{2}=\alpha \cosh(t/\alpha )\sin(\chi /\alpha )

x_{i}=\alpha \sinh(t/\alpha )\sinh \xi \sin(\chi /\alpha )z_{i}

mit

3\leq i\leq n

wobei die $z_{i}$ eine $S^{n-3}$ -Sphäre beschreiben.

Dann lautet die Metrik des De-Sitter-Raumes:

{\textrm {d}}s^{2}={\textrm {d}}\chi ^{2}+\sin ^{2}(\chi /\alpha )\cdot {\textrm {d}}s_{dS,\alpha ,n-1}^{2},

wobei

{\textrm {d}}s_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-{\textrm {d}}t^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}(t/\alpha )\cdot {\textrm {d}}H_{n-2}^{2}

die Metrik eines $n-1$ -dimensionalen De-Sitter-Raumes in offenen Slicing-Koordinaten ist, mit Krümmungsradius $\alpha$ .

Die hyperbolische Metrik lautet:

{\textrm {d}}H_{n-2}^{2}={\textrm {d}}\xi ^{2}+\sinh ^{2}\xi \cdot {\textrm {d}}\Omega _{n-3}^{2}.

Dies ist die analytische Fortsetzung der offenen Slicing-Koordinaten

(t,\xi ,\theta ,\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n-3})\to (i\chi ,\xi ,it,\theta ,\phi _{1},\cdots ,\phi _{n-4})

und außerdem der Tausch von $x_{0}$ und $x_{2}$ , weil sie ihre zeit- bzw. raumartigen Eigenschaften verändern.

Sonstiges

Einige Autoren schlugen im Rahmen von Theorien der Quantengravitation anstelle des Minkowski-Raumes den De-Sitter-Raum als grundlegenden Raum für die spezielle Relativitätstheorie vor und nannten dies De-Sitter-Relativität.

Siehe auch

Literatur

W. de Sitter: On the relativity of inertia: Remarks concerning Einstein's latest hypothesis. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band 19, 1917, S. 1217–1225.
W. de Sitter: On the curvature of space. In: Proc. Kon. Ned. Acad. Wet. Band 20, 1917, S. 229–243.
Tullio Levi-Civita: Realtà fisica di alcuni spazî normali del Bianchi. In: Rendiconti, Reale Accademia Dei Lincei. Band 26, 1917, S. 519–31.
K. Nomizu: The Lorentz-Poincaré metric on the upper half-space and its extension. In: Hokkaido Mathematical Journal. Band 11, Nr. 3, 1982, S. 253–261.
H. S. M. Coxeter: A geometrical background for de Sitter's world. In: Mathematical Association of America (Hrsg.): American Mathematical Monthly. Band 50, Nr. 4, 1943, S. 217–228, doi:10.2307/2303924, JSTOR:2303924.
L. Susskind, J. Lindesay: An Introduction to Black Holes, Information and the String Theory Revolution: The Holographic Universe. 2005, S. 119 (11.5.25).
Qingming Cheng: De Sitter space. Springer.

Nachweise

↑ R. Aldrovandi, J. G. Pereira, de Sitter Relativity: a New Road to Quantum Gravity?, arxiv.org, 2007

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[1] R. Aldrovandi, J. G. Pereira, de Sitter Relativity: a New Road to Quantum Gravity?, arxiv.org, 2007