In der linearen Algebra ist die Determinante eine Zahl (ein Skalar), die einer quadratischen Matrix zugeordnet wird und aus ihren Einträgen berechnet werden kann. Sie gibt an, wie sich das Volumen bei der durch die Matrix beschriebenen linearen Abbildung ändert, und ist ein nützliches Hilfsmittel bei der Lösung linearer Gleichungssysteme. Allgemeiner kann man jeder linearen Selbstabbildung (Endomorphismus) eine Determinante zuordnen. Übliche Schreibweisen für die Determinante einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ sind ${\displaystyle \det(A)}$, ${\displaystyle \det A}$ oder ${\displaystyle |A|}$.

Zum Beispiel kann die Determinante einer ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&c\\b&d\end{pmatrix}}}$

mit der Formel

${\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad-bc}$

berechnet werden.

Mit Hilfe von Determinanten kann man beispielsweise feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, und kann die Lösung mit Hilfe der Cramerschen Regel explizit angeben. Das Gleichungssystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich null ist. Entsprechend ist eine quadratische Matrix mit Einträgen aus einem Körper genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.

Schreibt man ${\displaystyle n}$ Vektoren im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ als Spalten einer quadratischen Matrix, so kann die Determinante dieser Matrix gebildet werden. Bilden bei dieser Festlegung die ${\displaystyle n}$ Vektoren eine Basis, so kann das Vorzeichen der Determinante dazu verwendet werden, die Orientierung von euklidischen Räumen zu definieren. Der Absolutbetrag dieser Determinante entspricht zugleich dem Volumen des n-Parallelotops (auch Spat genannt), das durch diese Vektoren aufgespannt wird.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ durch die Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, dann folgt, dass das Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \left|\det A\right|\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist.

Wird die lineare Abbildung ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}$ durch die ${\displaystyle m\times n}$-Matrix ${\displaystyle A}$ repräsentiert und ist ${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ eine beliebige messbare Teilmenge, so gilt im Allgemeinen, dass das ${\displaystyle m}$-dimensionale Volumen von ${\displaystyle f(S)}$ durch ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\det(A^{T}A)}}\cdot \operatorname {Volumen} (S)}$ gegeben ist, siehe Gramsche Determinante.

Das Konzept der Determinante ist von Interesse für ${\displaystyle (n\times n)}$-Matrizen mit ${\displaystyle n>1}$. Für ${\displaystyle n=1}$ verkommt es zur Trivialität ${\displaystyle \det a=a}$: So besteht ein lineares Gleichungssystem für den Fall ${\displaystyle n=1}$ aus einer Gleichung ${\displaystyle ax=b}$. Lösbarkeitskriterium und -strategie für diese Gleichung sind bekannt: Falls ${\displaystyle a\neq 0}$, setze ${\displaystyle x:=a^{-1}b}$.

Definition

Es gibt mehrere Möglichkeiten die Determinante zu definieren (s. unten). Die gebräuchlichste ist die folgende rekursive Definition.

Entwicklung der Determinante nach einer Spalte oder Zeile:

Für n=2:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}}$

Für n=3: Entwicklung nach der 1. Spalte

${\displaystyle |A|={\begin{vmatrix}{\color {red}a_{11}}&a_{12}&a_{13}\\{\color {blue}a_{21}}&a_{22}&a_{23}\\{\color {red}a_{31}}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}={\color {red}a_{11}}\,{\begin{vmatrix}\Box &\Box &\Box \\\Box &a_{22}&a_{23}\\\Box &a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {blue}a_{21}}\,{\begin{vmatrix}\Box &a_{12}&a_{13}\\\Box &\Box &\Box \\\Box &a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {red}a_{31}}\,{\begin{vmatrix}\Box &a_{12}&a_{13}\\\Box &a_{22}&a_{23}\\\Box &\Box &\Box \end{vmatrix}}}$

${\displaystyle ={\color {red}a_{11}}\,{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}-{\color {blue}a_{21}}\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}+{\color {red}a_{31}}\,{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}}$

Entsprechend für n=4,....

Der Laplacesche Entwicklungssatz (s. unten) sagt:

• Man darf eine Determinante nach einer beliebigen Spalte oder Zeile entwickeln, solange man das schachbrettartige Vorzeichenmuster einhält:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}{\color {red}+}&{\color {blue}-}&{\color {red}+}&\cdots \\{\color {blue}-}&{\color {red}+}&{\color {blue}-}&\cdots \\{\color {red}+}&{\color {blue}-}&{\color {red}+}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{vmatrix}}}$

Formal lässt sich das so schreiben:

${\displaystyle \det A=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle j}$-ten Spalte)

${\displaystyle \det A=\sum _{j=1}^{n}(-1)^{i+j}\cdot a_{ij}\cdot \det A_{ij}}$ (Entwicklung nach der ${\displaystyle i}$-ten Zeile),

wobei ${\displaystyle A_{ij}}$ die ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$-Untermatrix von ${\displaystyle A}$ ist, die durch Streichen der ${\displaystyle i}$-ten Zeile und ${\displaystyle j}$-ten Spalte entsteht.

Beispiel:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}0&1&2\\3&2&1\\1&1&0\end{vmatrix}}=0\cdot {\begin{vmatrix}2&1\\1&0\end{vmatrix}}-3\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}}+1\cdot {\begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix}}}$

${\displaystyle =0\cdot (2\cdot 0-1\cdot 1)-3\cdot (1\cdot 0-1\cdot 2)+1\cdot (1\cdot 1-2\cdot 2)=0+6-3=3}$

Eigenschaften (Zusammenfassung, s. unten)

1. ${\displaystyle \det E=1}$ für Einheitsmatrix ${\displaystyle E}$
2. ${\displaystyle \det \left(A^{\textsf {T}}\right)=\det(A)}$, wobei ${\displaystyle A^{\textsf {T}}}$ die transponierte Matrix von ${\displaystyle A}$ ist.
3. ${\displaystyle \det \left(A^{-1}\right)={\frac {1}{\det(A)}}.}$
4. Für quadratische Matrizen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ gleicher Größe gilt der Determinantenmultiplikationssatz:

   ${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).}$

5. ${\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)}$, für eine ${\displaystyle n\times n}$ Matrix ${\displaystyle A}$ und eine Zahl ${\displaystyle c}$.
6. Für eine Dreiecksmatrix ${\displaystyle A}$ gilt ${\displaystyle \ \det(A)=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\ .}$
7. Besteht eine Reihe oder Spalte aus Nullen ist die Determinante 0.
8. Sind zwei Spalten (Zeilen) gleich ist die Determinante 0.
9. Vertauscht man zwei Spalten (Zeilen) so ändert eine Determinante ihr Vorzeichen.
10. Sind ${\displaystyle v_{1},...,v_{n}}$ die Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) einer Matrix und ${\displaystyle c}$ eine Zahl, so gilt:

    a1) ${\displaystyle \det(v_{1}+{\color {red}w},v_{2},...v_{n})=\det(v_{1},v_{2},...,v_{n})+\det({\color {red}w},v_{2},...,v_{n})}$

    a2) ${\displaystyle \det({\color {red}c}v_{1},v_{2},...v_{n})={\color {red}c}\det(v_{1},v_{2},...v_{n})}$,

    entsprechend für die anderen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren).

    b) ${\displaystyle \det(v_{1},...v_{n})}$ ist das (orientierte) Volumen (Flächeninhalt im Fall n=2) des von den Vektoren ${\displaystyle v_{1},...v_{n}}$ aufgespannten Polytopes (Parallelogramm).

11. Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile) ändert eine Determinante nicht. Man kann also eine Determinante mit einem abgeschwächten Gauss-Algorithmus zu einer Dreiecks-Determinante umformen und Eigenschaft 6. zur Berechnung der Determinante verwenden. Man beachte Eigenschaft 9. und 10.a2).
12. Nur für ${\displaystyle 3\times 3}$-Determinanten gilt die Regel von Sarrus:

Beispiel, Anwendung der Regeln 11, 10, 8:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}1&2&3\\3&3&3\\6&6&6\end{vmatrix}}=2{\begin{vmatrix}1&2&3\\3&3&3\\3&3&3\end{vmatrix}}=0}$

Axiomatische Beschreibung

Eine Abbildung ${\displaystyle \det \colon K^{n\times n}\to K}$ vom Raum der quadratischen Matrizen in den zugrunde liegenden Körper ${\displaystyle K}$ bildet jede Matrix auf ihre Determinante ab, wenn sie folgende drei Eigenschaften (Axiome nach Karl Weierstraß) erfüllt, wobei eine quadratische Matrix spaltenweise als ${\displaystyle A=(v_{1},\dotsc ,v_{n})}$ geschrieben wird:

• Sie ist multilinear, d. h. linear in jeder Spalte:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n},w\in K^{n}}$ gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i}+w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\\&=\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})+\det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},w,v_{i+1},\ldots ,v_{n})\end{aligned}}}$

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle r\in K}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},r\cdot v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})=r\cdot \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{n})}$

• Sie ist alternierend, d. h., wenn in zwei Spalten das gleiche Argument steht, ist die Determinante gleich 0:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i},v_{i+1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1}\ldots ,v_{n})=0}$

Hieraus folgt, dass sich das Vorzeichen ändert, wenn man zwei Spalten vertauscht:

Für alle ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in K^{n}}$ und alle ${\displaystyle i,j\in \{1,\ldots ,n\},i\neq j}$ gilt:

${\displaystyle \det(v_{1},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{n})=-\det(v_{1},\ldots ,v_{j},\ldots ,v_{i},\ldots ,v_{n})}$

Oft wird diese Folgerung zur Definition von alternierend verwendet. Im Allgemeinen ist diese jedoch nicht zur obigen äquivalent. Wird alternierend nämlich auf die zweite Weise definiert, gibt es keine eindeutige Determinantenform, wenn der Körper, über dem der Vektorraum gebildet wird, ein von 0 verschiedenes Element ${\displaystyle x}$ mit ${\displaystyle x=-x}$ besitzt (Charakteristik 2).

• Sie ist normiert, d. h., die Einheitsmatrix hat die Determinante 1:

${\displaystyle \det E_{n}=1}$

Es lässt sich beweisen (und Karl Weierstraß hat dies 1864 oder sogar früher getan), dass es eine und nur eine solche normierte alternierende Multilinearform auf der Algebra der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über dem zugrundeliegenden Körper gibt – nämlich diese Determinantenfunktion ${\displaystyle \det }$ (Weierstraßsche Determinantenkennzeichnung). Auch die schon erwähnte geometrische Interpretation (Volumeneigenschaft und Orientierung) folgt daraus.

Leibniz-Formel

Für eine ${\displaystyle n\times n}$-Matrix wurde die Determinante von Gottfried Wilhelm Leibniz durch die heute als Leibniz-Formel bekannte Formel für die Determinante einer Matrix ${\displaystyle A=(a_{ij})\in K^{n\times n}}$ definiert:

${\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in S_{n}}\left(\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}$

Die Summe wird über alle Permutationen ${\displaystyle \sigma }$ der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{n}}$ vom Grad n berechnet. ${\displaystyle \operatorname {sgn} (\sigma )}$ bezeichnet das Signum der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ (+1, falls ${\displaystyle \sigma }$ eine gerade Permutation ist, und −1, falls sie ungerade ist) und ${\displaystyle \sigma (i)}$ ist der Funktionswert der Permutation ${\displaystyle \sigma }$ an der Stelle ${\displaystyle i}$.

Beispielsweise für die ${\displaystyle 3\times 3}$ Matrix:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{\text{11}}&a_{\text{12}}&a_{\text{13}}\\a_{\text{21}}&a_{\text{22}}&a_{\text{23}}\\a_{\text{31}}&a_{\text{32}}&a_{\text{33}}\end{pmatrix}}}$

Für ${\displaystyle n=3}$ enthält die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{3}}$ alle ${\displaystyle 3!=6}$ Permutationen in welchen die Zahlen 1, 2 und 3 angeordnet werden können: ${\displaystyle (1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1)}$.

Für jede dieser Permutationen wird die Parität berechnet, welche negativ ist, wenn die Anzahl ihrer Fehlstände ungerade ist und positiv wenn nicht.
Dann wird das Produkt der Einträge der Matrix von ${\displaystyle i=1,...,n}$ berechnet, wobei der erste Index ${\displaystyle i}$, der zweite Index die Zahl ist, auf den der ${\displaystyle i}$-te Eintrag der Permutation abbildet.

Für die Permutation ${\displaystyle (1,2,3)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}}$

Für die Permutation ${\displaystyle (1,3,2)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}}$

Für die Permutation ${\displaystyle (2,1,3)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}}$

Für die Permutation ${\displaystyle (2,3,1)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}}$

Für die Permutation ${\displaystyle (3,1,2)}$ ergibt das ${\displaystyle +a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}}$

Für die Permutation ${\displaystyle (3,2,1)}$ ergibt das ${\displaystyle -a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}}$

Die Summe dieser Terme ergibt dann die Determinante der ${\displaystyle 3\times 3}$ Matrix:

${\displaystyle \det(A)=a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}-a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}-a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}+a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}+a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}-a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}}$

Durch eine Umordnung der Terme wird sichtlich, dass dies für eine ${\displaystyle 3\times 3}$ Matrix äquivalent mit der Regel von Sarrus ist.

${\displaystyle \det(A)=a_{\text{11}}a_{\text{22}}a_{\text{33}}+a_{\text{12}}a_{\text{23}}a_{\text{31}}+a_{\text{13}}a_{\text{21}}a_{\text{32}}-a_{\text{13}}a_{\text{22}}a_{\text{31}}-a_{\text{11}}a_{\text{23}}a_{\text{32}}-a_{\text{12}}a_{\text{21}}a_{\text{33}}}$

Die Leibniz-Formel enthält ${\displaystyle n!}$ Summanden und wird deshalb schnell umso unhandlicher, je größer ${\displaystyle n}$ ist. Sie eignet sich jedoch gut zum Beweis von Aussagen über Determinanten. Beispielsweise ist mit ihrer Hilfe die Stetigkeit der Determinantenfunktion ersichtlich.

Eine alternative Schreibweise der Leibniz-Formel verwendet das Levi-Civita-Symbol und die Einsteinsche Summenkonvention:

${\displaystyle \det A=\varepsilon _{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}a_{1i_{1}}a_{2i_{2}}\dots a_{ni_{n}}}$

Determinante eines Endomorphismus

Da ähnliche Matrizen die gleiche Determinante haben, kann man die Definition der Determinante von quadratischen Matrizen auf die durch diese Matrizen dargestellten linearen Selbstabbildungen (Endomorphismen) übertragen:

Die Determinante ${\displaystyle \det f}$ einer linearen Abbildung ${\displaystyle f\colon V\to V}$ eines Vektorraums ${\displaystyle V}$ in sich ist die Determinante ${\displaystyle \det A}$ einer Darstellungsmatrix ${\displaystyle A}$ von ${\displaystyle f}$ bezüglich einer Basis von ${\displaystyle V}$. Sie ist unabhängig von der Wahl der Basis.

Hierbei kann ${\displaystyle V}$ ein beliebiger endlichdimensionaler Vektorraum über einem beliebigen Körper ${\displaystyle K}$ sein. Allgemeiner kann man auch einen kommutativen Ring ${\displaystyle K}$ mit Einselement und einen freien Modul vom Rang ${\displaystyle n}$ über ${\displaystyle K}$ betrachten.

Die Definition lässt sich ohne Verwendung von Matrizen folgendermaßen formulieren: Es sei ${\displaystyle \omega }$ eine Determinantenfunktion. Dann ist ${\displaystyle \det f}$ bestimmt durch ${\displaystyle f^{*}\omega =\left(\det f\right)\omega }$, wobei ${\displaystyle f^{*}}$ der Rücktransport von Multilinearformen durch ${\displaystyle f}$ ist. Es sei ${\displaystyle \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}$ eine Basis von ${\displaystyle V}$. Dann gilt:

${\displaystyle \det f:={\frac {\omega \left(f\left(v_{1}\right),\dotsc ,f\left(v_{n}\right)\right)}{\omega \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}}}$

Es ist ${\displaystyle \det f}$ unabhängig von der Wahl von ${\displaystyle \omega \neq 0}$ und der Basis. Geometrisch interpretiert erhält man das Volumen des von ${\displaystyle \left(f\left(v_{1}\right),\dotsc ,f\left(v_{n}\right)\right)}$ aufgespannten Spates, indem man das Volumen des von ${\displaystyle \left(v_{1},\dotsc ,v_{n}\right)}$ aufgespannten Spates mit dem Faktor ${\displaystyle \det f}$ multipliziert.

Eine alternative Definition ist die folgende: Es sei ${\displaystyle n}$ die Dimension von ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$ die ${\displaystyle n}$-te äußere Potenz von ${\displaystyle V}$. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung ${\displaystyle \Lambda ^{n}f\colon \Lambda ^{n}V\to \Lambda ^{n}V}$, die durch

${\displaystyle v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}\mapsto f\left(v_{1}\right)\wedge \dotsb \wedge f\left(v_{n}\right)}$

festgelegt ist. (Diese Abbildung ${\displaystyle \Lambda ^{n}f}$ ergibt sich durch universelle Konstruktion als Fortsetzung von ${\displaystyle f}$ auf die äußere Algebra ${\displaystyle \Lambda V}$, eingeschränkt auf die Komponente vom Grad ${\displaystyle n}$.)

Da der Vektorraum ${\displaystyle \Lambda ^{n}V}$ eindimensional ist, ist ${\displaystyle \Lambda ^{n}f}$ einfach nur die Multiplikation mit einem Körperelement. Dieses Körperelement ist ${\displaystyle \det f}$. Es gilt also

${\displaystyle (\Lambda ^{n}f)(v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n})=(\det f)\,v_{1}\wedge \dotsb \wedge v_{n}}$.

Weitere Möglichkeiten zur Berechnung

Weitere Eigenschaften

Permanente

Die Permanente ist ein „vorzeichenloses“ Analogon zur Determinante, wird allerdings viel seltener verwendet.

Verallgemeinerung

Die Determinante kann auch auf Matrizen mit Einträgen in einem kommutativen Ring mit Eins definiert werden. Dies erfolgt mit Hilfe einer gewissen antisymmetrischen multilinearen Abbildung: Falls ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring ist und ${\displaystyle M=R^{n}}$ der ${\displaystyle n}$-dimensionale freie ${\displaystyle R}$-Modul, dann sei

${\displaystyle f\colon M^{n}\to R}$

die eindeutig bestimmte Abbildung mit den folgenden Eigenschaften:

• ${\displaystyle f}$ ist ${\displaystyle R}$-linear in jedem der ${\displaystyle n}$ Argumente.
• ${\displaystyle f}$ ist antisymmetrisch, d. h., falls zwei der ${\displaystyle n}$ Argumente gleich sind, so liefert ${\displaystyle f}$ Null.
• ${\displaystyle f\left(e_{1},\ldots ,e_{n}\right)=1}$, wobei ${\displaystyle e_{i}}$ das Element von ${\displaystyle M}$ ist, das eine 1 als ${\displaystyle i}$-te Koordinate hat und sonst Nullen.

Eine Abbildung mit den ersten beiden Eigenschaften wird auch als Determinantenfunktion, Volumen oder alternierende ${\displaystyle n}$-Linearform bezeichnet. Man erhält die Determinante, indem man ${\displaystyle M^{n}}$ auf natürliche Weise mit dem Raum der quadratischen Matrizen ${\displaystyle R^{n\times n}}$ identifiziert:

${\displaystyle \det \colon R^{n\times n}\cong M^{n}{\xrightarrow {f}}R}$

Spezielle Determinanten

• Wronski-Determinante
• Pfaffsche Determinante
• Vandermonde-Determinante
• Gramsche Determinante
• Funktionaldeterminante (auch Jacobi-Determinante genannt)
• Determinante (Knotentheorie)

Geschichte

Historisch hängen Determinanten (lat. determinare „abgrenzen“, „bestimmen“) und Matrizen sehr eng zusammen, was auch nach unserem heutigen Verständnis noch so ist. Allerdings wurde der Begriff der Matrix erst über 200 Jahre nach den ersten Überlegungen zu Determinanten geprägt. Ursprünglich wurde eine Determinante im Zusammenhang mit linearen Gleichungssystemen betrachtet. Die Determinante „determiniert“, ob das Gleichungssystem eine eindeutige Lösung besitzt (dies ist genau dann der Fall, wenn die Determinante ungleich null ist). Die ersten Betrachtungen dieser Art für ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen wurden von Gerolamo Cardano Ende des 16. Jahrhunderts durchgeführt. Zirka hundert Jahre später studierten Gottfried Wilhelm Leibniz und Seki Takakazu unabhängig voneinander Determinanten größerer linearer Gleichungssysteme. Seki, der mittels Determinanten versuchte, schematische Lösungsformeln für Gleichungssysteme anzugeben, fand für den Fall von drei Unbekannten eine Vorschrift, die der späteren sarrusschen Regel entsprach.

Im 18. Jahrhundert wurden Determinanten ein fester Bestandteil der Technik zum Lösen linearer Gleichungssysteme. Im Zusammenhang mit seinen Studien zu Schnittpunkten zweier algebraischer Kurven berechnete Gabriel Cramer die Koeffizienten eines allgemeinen Kegelschnitts

${\displaystyle A+By+Cx+Dy^{2}+Exy+x^{2}=0,}$

der durch fünf vorgegebene Punkte verläuft und stellte dabei die heute nach ihm benannte Cramersche Regel auf. Für Gleichungssysteme mit bis zu vier Unbekannten trat diese Formel schon bei Colin Maclaurin auf.

Mehrere bekannte Mathematiker wie Étienne Bézout, Leonhard Euler, Joseph-Louis Lagrange und Pierre-Simon Laplace befassten sich nun vor allem mit der Berechnung von Determinanten. Einen wichtigen Fortschritt in der Theorie erzielte Alexandre-Théophile Vandermonde in einer 1771 vollendeten und 1776 erschienenen Arbeit zur Eliminationstheorie. Darin formulierte er einige grundlegende Aussagen über Determinanten und gilt daher als ein Begründer der Theorie der Determinante. Zu diesen Resultaten gehörte beispielsweise die Aussage, dass eine gerade Anzahl von Vertauschungen zweier benachbarter Spalten oder Zeilen das Vorzeichen der Determinante nicht ändert, wohingegen sich das Vorzeichen der Determinante bei einer ungeraden Anzahl von Vertauschungen benachbarter Spalten oder Zeilen ändert.

Während seiner Untersuchungen von binären und ternären quadratischen Formen verwendete Gauß die schematische Notation einer Matrix ohne dieses Zahlenfeld als Matrix zu bezeichnen. Dabei definierte er als Nebenprodukt seiner Untersuchungen die heutige Matrizenmultiplikation und zeigte für gewisse Spezialfälle den Determinantenproduktsatz. Augustin-Louis Cauchy systematisierte die Theorie der Determinante weiter. Er führte beispielsweise die konjugierten Elemente ein und unterschied klar zwischen den einzelnen Elementen der Determinante beziehungsweise zwischen den Unterdeterminanten verschiedener Ordnung. Außerdem formulierte und bewies er Sätze über Determinanten wie zum Beispiel den Determinantenproduktsatz oder dessen Verallgemeinerung, die Formel von Binet-Cauchy. Außerdem trug er wesentlich dazu bei, dass sich der Begriff „Determinante“ für diese Abbildung durchsetzte. Daher kann insgesamt auch Augustin-Louis Cauchy als Begründer der Theorie der Determinante angesehen werden.

Die axiomatische Behandlung der Determinante als Funktion von ${\displaystyle n\times n}$ unabhängigen Variablen gab als erster Karl Weierstraß in seinen Berliner Vorlesungen (spätestens ab dem Jahre 1864 und möglicherweise schon davor), an die dann Ferdinand Georg Frobenius in seinen Berliner Vorlesungen des Sommersemesters 1874 anknüpfte und dabei unter anderem und vermutlich als erster den laplaceschen Entwicklungssatz systematisch auf diese Axiomatik zurückführte.

Weblinks

• Eigenschaften, Berechnung der Determinante, Beweise (PDF; 237 KiB)
• Online-Tool zum Berechnen von Determinanten
• Online-Tool zum Berechnen von Determinanten, Produkten von Matrizen, Eigenvektoren, Linearen Gleichungssystemen usw.

Einzelnachweise

1. ↑ Gerd Fischer: Lineare Algebra. 15., verbesserte Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2005, ISBN 3-8348-0031-7, S. 178. 
2. 1 2 Ferdinand Georg Frobenius: Zur Theorie der linearen Gleichungen. In: J. Reine Ang. Math. (Crelles Journal). Band 129, 1905, S. 179–180. 
3. ↑ Günter Pickert: Analytische Geometrie. 6., durchgesehene Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Leipzig 1967, S. 130. 
4. ↑ Christoph Ableitinger, Angela Herrmann: Lernen aus Musterlösungen zur Analysis und Linearen Algebra. Ein Arbeits- und Übungsbuch. 1. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1724-2, S. 114. 
5. ↑ Matrix Reference Manual.
6. ↑ John R. Silvester: Determinants of Block Matrices. In: The Mathematical Gazette. Bd. 84, Nr. 501 (November 2000), S. 460–467, (PDF; 152 kB). (Memento vom 10. Juni 2009 im Internet Archive). Bei: mth.kcl.ac.uk.
7. ↑ Eberhard Knobloch: Erste europäische Determinantentheorie. In: Erwin Stein, Albert Heinekamp (Hrsg.): Gottfried Wilhelm Leibniz – Das Wirken des großen Philosophen und Universalgelehrten als Mathematiker, Physiker, Techniker. Gottfried-Wilhelm-Leibniz-Gesellschaft, Hannover 1990, S. 32–41. ISBN 3-9800978-4-6.
8. 1 2 3 4 Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 335–339.