Dirichlet-Reihe

Zu jedem Dirichlet-Charakter ${\displaystyle \chi }$ kann eine Dirichletsche L-Funktion definiert werden. Diese ist dann gegeben durch die Dirichlet-Reihe

${\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}.}$

Man kann zeigen, dass diese Reihe im Falle eines nicht-prinzipalen Charakters ${\displaystyle \chi }$ für alle komplexen Werte ${\displaystyle s}$ mit positivem Realteil konvergiert. Falls vorhanden, ist die Konvergenz im Streifen ${\displaystyle 0<\operatorname {Re} (s)\leq 1}$ bedingt. In jedem Fall liegt absolute Konvergenz für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$ vor.

Trotz dieser Einschränkungen wird die Dirichlet-Reihe aufgrund ihrer Einfachheit und ihrer zahlentheoretischen Relevanz (siehe Euler-Produkt) als Basisdefinition verwendet. Mittels analytischer Fortsetzung (siehe unten) wird eine sinnvolle Berechnung für alle komplexen Zahlen ${\displaystyle s}$ (ggf. mit ${\displaystyle s\neq 1}$) möglich.

Euler-Produkt

Dirichlet-Charaktere ${\displaystyle \chi }$ sind vollständig multiplikativ – es gilt für alle Zahlen ${\displaystyle n,m\in \mathbb {Z} }$: ${\displaystyle \chi (nm)=\chi (n)\chi (m).}$ Aus dieser Tatsache folgt, dass sich die Funktion ${\displaystyle L(s,\chi )}$ im Bereich der absoluten Konvergenz der Dirichlet-Reihe, also genau für ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$, in ein Euler-Produkt entwickeln lässt:

${\displaystyle L(s,\chi )=\prod _{p\,\mathrm {Primzahl} }{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}.}$

Diese Darstellung ist für die Zahlentheorie von Bedeutung. Obwohl manche der L-Funktionen sogar für Wert ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)>0}$ konvergieren, gilt dies für das Euler-Produkt in keinem Fall im gesamten Bereich ${\displaystyle \mathrm {Re} (s)\leq 1}$, da keine absolute Konvergenz der Dirichlet-Reihe vorliegt. Für die Produktbildung muss jedoch die Reihenfolge der Summanden vertauschbar sein.

Primitive Charaktere

Die Theorie der Dirichletschen L-Funktionen zu beliebigen Charakteren reduziert sich auf die Theorie zu primitiven Charakteren. Ist ein Charakter ${\displaystyle \chi }$ modulo ${\displaystyle m}$ durch ein ${\displaystyle \chi _{1}}$ modulo ${\displaystyle m_{1}}$ induziert, so folgt über die Euler-Produkte:

${\displaystyle L(s,\chi )=L(s,\chi _{1})\prod _{p|m}(1-\chi _{1}(p)p^{-s}).}$

Bei dem hinteren Faktor handelt es sich um ein endliches Produkt sehr einfach zu kontrollierender Dirichlet-Reihen, weshalb wichtige Fragen wie analytische Fortsetzbarkeit oder Nullstellen nur für den primitiven Fall beantwortet werden müssen.

Analytische Fortsetzung

Funktionswerte für natürliche Zahlen

Für die Bestimmung von Funktionswerten an positiven natürlichen Stellen wird die Kennzahl

${\displaystyle \delta ={\frac {1-\chi (-1)}{2}}}$

genutzt. Diese ist 0, falls der Charakter gerade ist, ansonsten 1. Für positive ganze Zahlen ${\displaystyle k}$, so dass ${\displaystyle k-\delta }$ eine gerade Zahl ist, gilt für primitive Charaktere modulo ${\displaystyle m}$:

${\displaystyle L(k,\chi )=(-1)^{1+(k-\delta )/2}{\frac {{\mathcal {G}}(\chi )}{2\mathrm {i} ^{\delta }}}\left({\frac {2\pi }{m}}\right)^{k}{\frac {B_{k,{\overline {\chi }}}}{k!}}.}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\mathcal {G}}(\chi )}$ die Gauß-Summe von ${\displaystyle \chi }$. Ist ${\displaystyle \chi }$ gerade, reduziert sich das auf

${\displaystyle L(2k,\chi )=(-1)^{1+k}{\frac {{\mathcal {G}}(\chi )B_{2k,{\overline {\chi }}}(2\pi )^{2k}}{2m^{2k}(2k)!}}.}$

Für ungerade ${\displaystyle \chi }$ hat man hingegen

${\displaystyle L(2k-1,\chi )=(-1)^{k}{\frac {{\mathcal {G}}(\chi )B_{2k-1,{\overline {\chi }}}(2\pi )^{2k-1}}{2\mathrm {i} m^{2k-1}(2k-1)!}}.}$

In diesen Fällen lassen sich die entsprechenden L-Werte als algebraische Vielfache der Potenzen ${\displaystyle \pi ^{2k}}$ darstellen. Damit gehören sie nach einem Satz von Ferdinand von Lindemann zu den transzendenten Zahlen.

Über die jeweils anderen Werte, also ${\displaystyle L(2k-1,\chi )}$ für gerade und ${\displaystyle L(2k,\chi )}$ für ungerade Charaktere, ist bis heute sehr wenig bekannt. Man weiß in den Fällen ${\displaystyle 2k-1,2k>1}$, bis auf den Fall der Apery-Konstanten ${\displaystyle \zeta (3)}$, nicht einmal von einem dieser Werte, ob dieser irrational ist. Es wird jedoch vermutet, dass sie alle irrational sind. Ein wichtiger Spezialfall ist ${\displaystyle m=4}$ und die Catalansche Konstante

${\displaystyle G=\beta (2)=1-{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-{\frac {1}{7^{2}}}+{\frac {1}{9^{2}}}-{\frac {1}{11^{2}}}\pm \cdots ,}$

deren Irrationalität bisher unbewiesen ist. Es ist aber zum Beispiel bekannt, dass unendlich viele Werte ${\displaystyle \zeta (2k+1)}$ und ${\displaystyle \beta (2k)}$ für ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ irrational sind.

Für nicht-positive ganze Zahlen

Die Werte an positiven ganzen Stellen sind über die Funktionalgleichung mit denen an negativen ganzen Stellen verbunden. Es gilt für primitive Charaktere stets

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}}}$.

Daraus lassen sich alsbald die trivialen Nullstellen der L-Funktionen ablesen. Falls ${\displaystyle k-\delta }$ ungerade ist, gilt ${\displaystyle L(1-k,\chi )=0.}$ Einzige Ausnahme von dieser Regel bietet der Fall ${\displaystyle m=1}$, ${\displaystyle k=1}$ und der triviale Charakter, denn es gilt ${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}}\neq 0}$.

Die Werte L(1,χ)

In diesem Abschnitt ist ${\displaystyle \chi }$ kein Hauptcharakter. Die Zahlen ${\displaystyle L(1,\chi )}$ sind in der Zahlentheorie von besonderem Interesse. Ihre Handhabung ist tendenziell schwieriger, insbesondere bei der Frage, ob ${\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}$. Diese nicht-Verschwindungsaussage (non-vanishing theorem) ist ein zentraler Zwischenschritt zum Beweis des Dirichletschen Primzahlsatzes.