Schwächen der Kurzzeit-Fourier-Transformation

Bei der STFT wird eine Fensterfunktion auf das zu untersuchende Signal angewendet – etwa die Gaußsche Glockenkurve wie bei der Gabor-Transformation. Für jeden Punkt der STFT wird das Fenster an den zu betrachtenden Zeitpunkt und an die zu betrachtende Frequenz (Modulation im Zeitbereich) verschoben. Die absolute Zeitdauer und Bandbreite des Fensters („Breite“ im Zeit- und Frequenzbereich) – und damit die Auflösung – ändern sich dadurch nicht.

Die Auflösungen im Zeit- und Frequenzbereich sind nur abhängig von der Form des Fensters. Aufgrund der Zeit-Frequenz-Unschärfe ist die Auflösung im Zeitbereich umgekehrt proportional zur Auflösung im Frequenzbereich. Es lässt sich also nicht gleichzeitig im Zeitbereich und im Frequenzbereich die bestmögliche Auflösung erzielen. Enthält nun ein Signal Frequenzanteile sowohl bei hohen als auch bei niedrigen Frequenzen, möchte man bei niedrigen Frequenzen eine gute (absolute) Frequenzauflösung erzielen, da eine kleine absolute Frequenzänderung hier stark ins Gewicht fällt. Bei einer hohen Frequenz ist eine gute Zeitauflösung wichtiger, da eine vollständige Schwingung hier weniger Zeit beansprucht und sich die Momentanfrequenz daher schneller ändern kann.

Für ein Signal mit Frequenzanteilen bei 1 Hz und 1 kHz, für welches die Frequenz auf 10 Prozent genau aufgelöst werden soll, ist bei 1 Hz eine Frequenzauflösung von 0,1 Hz nötig. Bei 1 kHz entspricht dieses einer Auflösung von 0,01 Prozent – eine so gute Auflösung ist hier nicht nötig. Andererseits vollführt das Signal bei 1 kHz zehn vollständige Schwingungen in 10 ms. Um Frequenzänderungen in diesem Zeitraum auflösen zu können, ist eine Zeitauflösung besser als 10 ms nötig. Bei 1 Hz entspricht diese Zeitdauer nur einer hundertstel Schwingung. Eine so gute zeitliche Auflösung ist also hier nicht nötig. Gewünscht ist bei niedrigen Frequenzen also eine gute Frequenzauflösung unter Inkaufnahme einer schlechten Zeitauflösung und bei hohen Frequenzen eine gute Zeitauflösung bei schlechterer Frequenzauflösung. Die Short-Time-Fourier-Transformation leistet dieses nicht.

Zusammenfassung der Funktionsweise

Wie bei der STFT wird eine Fensterfunktion auf das zu untersuchende Signal angewendet. Anstatt allerdings das Fenster zu verschieben und zu modulieren (Verschiebung im Frequenzbereich) (wie bei der STFT), wird das Fenster verschoben und skaliert. Durch die Skalierung ergibt sich wie durch die Modulation ebenfalls eine Frequenzverschiebung, allerdings wird gleichzeitig mit einer Frequenzerhöhung die Zeitdauer („Breite“ im Zeitbereich) des Fensters verringert. Dadurch ergibt sich bei höheren Frequenzen eine bessere zeitliche Auflösung. Bei niedrigen Frequenzen wird die Frequenzauflösung besser, dafür wird die Zeitauflösung schlechter.

Eigenschaften von Wavelets

Ein Wavelet ${\displaystyle \psi (t)}$ ist eine quadratintegrierbare Funktion, welche relativ frei wählbar ist. Im Allgemeinen stellt man eine weitere technische Voraussetzung an ein Wavelet, die Zulässigkeitsbedingung:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {|{\hat {\psi }}(\omega )|^{2}}{|\omega |}}d\omega <\infty }$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle {\hat {\psi }}(\omega )}$ die Fourier-Transformierte von ${\displaystyle \psi (t)}$. Die Zulässigkeitsbedingung wird für den Beweis einiger zentraler Sätze und Eigenschaften benötigt, weshalb sie häufig in die Definition eines Wavelets mit eingeschlossen wird.

Eine unmittelbare Folgerung der Zulässigkeit ist, dass die Fouriertransformierte des Wavelets an der Stelle 0 verschwindet:

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\omega =0)=0}$

Des Weiteren folgt daraus, dass das erste Moment des Wavelets, also sein Mittelwert, verschwindet:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\psi (t)\;dt=0}$

Wavelet-Synthese

Die ursprüngliche Funktion x(t) kann bis auf eine additive Konstante wieder aus der Wavelettransformierten zurückgewonnen werden mit der Rekonstruktionsformel

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{c_{\phi \psi }}}\int _{0}^{\infty }\!{\frac {da}{a}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!\!db\;{\mathcal {W}}_{\psi }x(a,b){\frac {1}{a}}\phi \left({\frac {t-b}{a}}\right),}$

mit

${\displaystyle c_{\phi \psi }=\int _{0}^{\infty }{\frac {d\omega }{\omega }}{\overline {{\hat {\phi }}(\pm \omega )}}{\hat {\psi }}(\pm \omega )\;d\omega .}$

Dabei ist ${\displaystyle \phi (t)}$ die duale Wavelet-Funktion zu ${\displaystyle \psi (t)}$.

Reproduzierender Kern

Als Reproduzierender Kern (engl. reproducing kernel) wird die Wavelettransformierte des Wavelets selbst bezeichnet. Somit bezeichnet

${\displaystyle K_{\psi }(a,b)=\langle \psi _{ab},\psi \rangle }$

den Kern des Wavelets ${\displaystyle \psi }$.

Das Attribut reproduzierend trägt der Kern, weil sich die Wavelettransformierte unter der Faltung mit dem Kern reproduziert, das heißt, die Wavelettransformierte ist invariant unter der Faltung mit dem Kern. Diese Faltung ist gegeben durch

${\displaystyle (K_{\psi }*{\mathcal {W}}_{\psi }x)(a,b)=\int _{0}^{\infty }\!{\frac {da'}{a'}}\int _{-\infty }^{\infty }\!\!\!db'\;{\frac {1}{a'}}K_{\psi }\left({\frac {a}{a'}},{\frac {b-b'}{a'}}\right)({\mathcal {W}}_{\psi }x)(a,b).}$

Dies ist keine gewöhnliche Faltung, da sie nicht kommutativ ist; sie ist jedoch assoziativ.

Eine weitere wichtige Bedeutung erhält der reproduzierende Kern daher, dass er die minimale Korrelation zwischen zwei Punkten (a,b) und (a',b') im Waveletraum angibt. Dies lässt sich zeigen, indem man die Autokorrelation von weißem Rauschen im Waveletraum betrachtet. Bezeichnen wir mit ${\displaystyle \xi (t)}$ ein Gauss’sches weißes Rauschen mit Varianz 1, so ist dessen Autokorrelation gegeben durch ${\displaystyle \langle \xi (t)\xi (t')\rangle =\delta (t,t')}$. Die Korrelation im Waveletraum ist dann (ohne Ausführung der Rechnung)

${\displaystyle \langle ({\overline {{\mathcal {W}}_{\psi }\xi (a',b')}}{\mathcal {W}}_{\psi }\xi (a,b)\rangle ={\frac {1}{a'}}K_{\psi }\left({\frac {1}{a'}},{\frac {b-b'}{a'}}\right),}$

also gerade gegeben durch den reproduzierenden Kern.

Wavelet-Transformation ohne Wavelets

Zur Berechnung der Wavelet-Transformation eines Bildes braucht man eigentlich gar keine Wavelets oder Skalierungsfunktionen. Die komplette Transformation besteht dann lediglich aus der sogenannten Faltung des Ausgangssignals mit geeigneten Filtern. Ein Filter ${\displaystyle h}$ stellt dabei einen Vektor von reellen Zahlen (den sogenannten Filter-Koeffizienten) mit ${\displaystyle n}$ Einträgen dar. Die Faltung von Signal und Filter ist mathematisch definiert als

${\displaystyle y(n)=\sum _{i=0}^{N-1}h(i)x(n-i)}$

Dabei ist

• ${\displaystyle x(n)}$: die zu transformierende Funktion, beispielsweise ein Audio- oder Bildsignal
• ${\displaystyle y(n)}$: das Ausgangssignal nach der Faltung
• ${\displaystyle h(i)}$: der verwendete Filter
• ${\displaystyle N}$: die Länge des Filters
• ${\displaystyle n}$: die Position des Signals

Man braucht lediglich geeignete Hochpass-Filter und Tiefpass-Filter, um die Schnelle Wavelet-Transformation durchzuführen. Aus den gegebenen Filtern lassen sich dann die zugehörige Wavelet-Funktion und Skalierungsfunktion berechnen. Die Skalierungsfunktion ${\displaystyle \phi }$ wird rekursiv aus dem Tiefpass-Filter ${\displaystyle h_{0}}$ berechnet durch

${\displaystyle \phi (t)=2\sum _{k=0}^{N}h_{0}(k)\phi (2t-k)}$

Die Wavelet-Funktion ${\displaystyle \omega }$ kann aus dem Hochpass-Filter ${\displaystyle h_{1}}$ und der Skalierungsfunktion bestimmt werden:

${\displaystyle \omega (t)=2\sum _{k=0}^{N}h_{1}(k)\omega (2t-k)}$