Quadratisches Polynom

Ein allgemeines Polynom vom Grad 2 hat die Form ${\displaystyle p_{2}=ax^{2}+bx+c}$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$. Seine Diskriminante ist ${\displaystyle D_{2}=a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}=a^{2}(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-2x_{1}x_{2})}$.

Mit dem Satz von Vieta und quadratischer Ergänzung lässt sie sich umformen in: ${\displaystyle D_{2}=a^{2}\left((x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}\right)=a^{2}\left(\left({\frac {-b}{a}}\right)^{2}-4{\frac {c}{a}}\right)=b^{2}-4ac}$.

Das quadratische Polynom ${\displaystyle p_{2}}$ hat also genau dann eine doppelte Nullstelle, wenn ${\displaystyle b^{2}-4ac=0}$ gilt.

Kubisches Polynom

Ein allgemeines Polynom vom Grad 3 hat die Form ${\displaystyle p_{3}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$ mit ${\displaystyle a\neq 0}$. Seine Diskriminante ist ${\displaystyle D_{3}=a^{4}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{3})^{2}}$.

Mit dem Satz von Vieta lässt sie sich (mit aufwendiger Rechnung) umformen in

${\displaystyle D_{3}=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d+18abcd-27a^{2}d^{2}}$.

Dieser Ausdruck ist unhandlich und lässt sich schwer merken. Bringt man durch eine ähnliche Ergänzung wie bei quadratischer Ergänzung das Polynom auf die Form ${\displaystyle x^{3}+cx+d}$ (oder setzt man ${\displaystyle a=1}$ und ${\displaystyle b=0}$), so ergibt sich die leichter zu merkende Formel: ${\displaystyle D_{3}=-4c^{3}-27d^{2}~.}$

Berücksichtigt man, dass sich jede kubische Gleichung ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$ nach Division durch ${\displaystyle a}$ und anschließender Substitution ${\displaystyle y=x+{\tfrac {b}{3a}}}$ auf eine Gleichung der Form ${\displaystyle y^{3}+3py+2q=0}$ bringen lässt, so erhält man eine besser merkbare Formel für die Diskriminante: ${\displaystyle D_{3}=-108a^{4}(p^{3}+q^{2})~.}$

Ein reduziertes kubisches Polynom ${\displaystyle p_{3}=y^{3}+3py+2q}$ besitzt also genau dann eine mehrfache Nullstelle, wenn ${\displaystyle p^{3}+q^{2}=0}$ gilt. In Schulbüchern wird häufig dieser Ausdruck als Diskriminante bezeichnet, der Faktor ${\displaystyle -108a^{4}}$ wird also ignoriert.

Polynome höheren Grades

Das oben beschriebene Verfahren funktioniert für Polynome beliebigen Grades. Aus der Theorie der symmetrischen Polynome und dem Satz von Vieta folgt, dass der Ausdruck

${\displaystyle D_{n}=a_{n}^{2n-2}(x_{1}-x_{2})^{2}(x_{1}-x_{3})^{2}\dotsm (x_{2}-x_{3})^{2}(x_{2}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{3}-x_{4})^{2}\dotsm (x_{n-1}-x_{n})^{2}}$

stets auf eine eindeutige Art als (polynomiale) Funktion der Koeffizienten des Polynoms ${\displaystyle p_{n}}$ dargestellt werden kann.

Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante

• Sind alle Nullstellen eines Polynoms reell, so ist die Diskriminante ${\displaystyle D\geq 0.}$ Das folgt sofort aus der Definition.
• Für quadratische und kubische Polynome gilt auch die Umkehrung: Ist ${\displaystyle D\geq 0,}$ so sind alle Nullstellen reell.
• Das Polynom ${\displaystyle p_{4}=x^{4}+4}$ besitzt die vier Nullstellen ${\displaystyle 1+\mathrm {i} }$, ${\displaystyle 1-\mathrm {i} }$, ${\displaystyle -1+\mathrm {i} }$ und ${\displaystyle -1-\mathrm {i} }$. Die Diskriminante hat den Wert 16384, ist also positiv. Dennoch sind die Nullstellen nicht reell.

Normierungsfaktor

In der oben verwendeten Definition tritt der Faktor ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$ auf. Er bewirkt, dass beim Verwenden des Satzes von Vieta die Nenner verschwinden, dass also die Diskriminante als Polynom in den Koeffizienten ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n}}$ erscheint. Je nach Kontext und Verwendungszweck der Diskriminante wird die Definition leicht abgeändert:

• Anstelle von ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$ wird der Faktor ${\displaystyle (-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-2}}$ gesetzt.
• Anstelle von ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$ wird der Faktor ${\displaystyle (-1)^{n(n-1)/2}a_{n}^{2n-1}}$ gesetzt.
• Anstelle von ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$ wird der Faktor ${\displaystyle a_{n}^{2n-1}}$ gesetzt.
• Der Faktor ${\displaystyle a_{n}^{2n-2}}$ wird weggelassen.

Bei den ersten drei Varianten ist Vorsicht geboten mit Aussagen, wie sie im Abschnitt „Bemerkungen zum Vorzeichen der Diskriminante“ gemacht werden.

Bemerkung

Ausgeschrieben ist die Resultante eines Polynoms ${\displaystyle f(x)=f_{0}+f_{1}x+\dotsb +f_{n}x^{n}}$ mit seiner Ableitung ${\displaystyle f'(x)=f_{1}+\dotsb +nf_{n}x^{n-1}}$ gleich der Determinante der ${\displaystyle (2n-1)\times (2n-1)}$-Matrix.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{n}&f_{n-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}&0&\cdots &0\\0&f_{n}&f_{n-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&f_{n}&f_{n-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}\\nf_{n}&(n-1)f_{n-1}&\cdots &1f_{1}&0&0&\cdots &0\\0&nf_{n}&(n-1)f_{n-1}&\cdots &1f_{1}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&nf_{n}&(n-1)f_{n-1}&\cdots &1f_{1}&0\\0&0&0&0&nf_{n}&(n-1)f_{n-1}&\cdots &1f_{1}\\\end{pmatrix}}}$.

Da die erste Spalte aus Vielfachen von ${\displaystyle f_{n}}$ besteht, kann dieses als Faktor von der Determinante abgespalten werden.