Ein Kegel oder Konus ist ein geometrischer Körper, der entsteht, wenn man alle Punkte eines in einer Ebene liegenden, begrenzten und zusammenhängenden Flächenstücks geradlinig mit einem Punkt außerhalb der Ebene verbindet. Ist das Flächenstück eine Kreisscheibe, wird der Körper Kreiskegel genannt. Das Flächenstück nennt man Grundfläche, deren Begrenzungslinie die Leitkurve, den Punkt nennt man Spitze, Apex oder Scheitel des Kegels und die Fläche an der Seite wird als Mantelfläche bezeichnet. Ein Kegel hat also eine Spitze (den Scheitelpunkt), eine Kante (die Leitkurve) und zwei Flächen (die Mantel- und die Grundfläche).

Die Spitze eines Kegels ist kein Eckpunkt, da es sich bei der Spitze nicht um einen Endpunkt von Kanten handelt (vgl. Definition von Ecke).

Unter der Höhe des Kegels versteht man sowohl das Lot von der Spitze auf die Grundfläche (die Höhe steht also immer senkrecht zur Grundfläche) wie auch die Länge dieses Lotes (also den Abstand der Spitze von der Grundfläche).

Die Verbindungsstrecken der Spitze mit der Leitkurve heißen Mantellinien, ihre Vereinigung bildet den Kegelmantel oder die Mantelfläche. Ellipse, Parabel und Hyperbel sind Kegelschnitte. Im Zusammenhang mit Kegelschnitten wird als „Kegel“ oft auch ein „Doppelkegel“ verstanden.

Vor allem in der Technik wird ein Kegel oder ein Kegelstumpf oft als Konus (von lat. conus) bzw. als konisch bezeichnet.

Gerader, schiefer und gleichseitiger Kegel

Wenn in der Geometrie von einem Kegel gesprochen wird, ist häufig der Spezialfall des geraden Kreiskegels gemeint. Unter einem Kreiskegel versteht man einen Körper, der durch einen Kreis (Grundkreis oder Basiskreis) und einen Punkt außerhalb der Ebene des Kreises (Spitze des Kegels) festgelegt ist.

Die Ebene, in welcher der Basiskreis liegt, heißt Basis(kreis)ebene. Unter dem Radius ${\displaystyle r}$ des Kegels versteht man normalerweise den Radius des Basiskreises. Die Gerade durch den Mittelpunkt des Grundkreises und die Spitze nennt man die Achse des Kegels. Die Höhe ${\displaystyle h}$ des Kegels ist der Abstand der Spitze von der Basisebene; dieser Abstand muss senkrecht zur Basisebene gemessen werden.

Steht die Achse senkrecht zur Basisebene, so liegt ein gerader Kreiskegel oder Drehkegel vor. Andernfalls spricht man von einem schiefen Kreiskegel oder elliptischen Kegel. Jeder elliptische Kegel hat zwei Richtungen, in denen sein Schnitt mit einer Ebene ein Kreis ist; diese Tatsache macht sich die stereografische Projektion als Kreistreue zunutze.

Die Bezeichnung „Drehkegel“ deutet darauf hin, dass es sich um einen Rotationskörper handelt. Er entsteht durch Rotation eines rechtwinkligen Dreiecks um eine seiner beiden Katheten. In diesem Fall werden die Mantellinien (also die Verbindungsstrecken der (Rand-)Punkte des Basiskreises mit der Spitze) auch Erzeugende genannt (${\displaystyle s}$), da sie den Mantel „erzeugen“. Der Öffnungswinkel beträgt das Doppelte des Winkels zwischen den Mantellinien und der Achse eines Drehkegels. Der Winkel ${\displaystyle \varphi }$ zwischen den Mantellinien und der Achse heißt halber Öffnungswinkel.

Ein Drehkegel mit Öffnungswinkel 60° heißt gleichseitiger Kegel, denn schneidet man ihn mit einer Ebene, die die Achse enthält, so erhält man ein gleichseitiges Dreieck.

Größen und Formeln

Größen und Formeln
Radius eines geraden Kreiskegels	${\displaystyle r={\sqrt {s^{2}-h^{2}}}}$
Höhe eines geraden Kreiskegels	${\displaystyle h={\sqrt {s^{2}-r^{2}}}}$
Mantellinie eines geraden Kreiskegels	${\displaystyle s={\sqrt {h^{2}+r^{2}}}}$
Halber Öffnungswinkel eines geraden Kreiskegels	${\displaystyle \varphi =\arcsin {\frac {r}{s}}=\arctan {\frac {r}{h}}}$
Durchmesser der Grundfläche eines geraden Kreiskegels	${\displaystyle d=2\cdot r=2\cdot h\cdot \tan \varphi }$
Grundfläche eines Kreiskegels	${\displaystyle A_{G}=r^{2}\cdot \pi }$
Flächeninhalt der Mantelfläche eines geraden Kreiskegels	${\displaystyle A_{M}=r\cdot s\cdot \pi }$
Oberfläche eines geraden Kreiskegels	${\displaystyle A_{O}=A_{G}+A_{M}=r\cdot \pi \cdot (r+s)}$
Volumen eines beliebigen Kreiskegels	${\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot \pi \cdot r^{2}\cdot h={\frac {1}{3}}\cdot A_{G}\cdot h}$
Trägheitsmoment eines geraden Kreiskegels (Drehung um die Symmetrieachse)	massiver Kegel: ${\displaystyle J={\frac {3}{10}}\cdot m\cdot r^{2}}$ Kegelmantel: ${\displaystyle J={\frac {1}{2}}\cdot m\cdot r^{2},}$ wobei ${\displaystyle m}$ die Masse ist.

Beweise

Doppelkegel

Ein Doppelkegel bzw. Doppelkonus mit gegeneinander gerichteten Spitzen entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene, die die Spitze nicht enthält, so entstehen die (nicht ausgearteten) Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel.

Ein Doppelkegel mit auseinanderweisenden Spitzen entsteht, indem zwei gleiche Kegel mit ihrer Basis aneinandergefügt werden. Wird ein solcher Doppelkegel auf zwei in einem Winkel verlaufenden und leicht zum Schnittpunkt hin geneigten Geraden abgesetzt, so rollt dieser scheinbar aufwärts. Siehe: Aufwärtsrollender Doppelkegel
Wird ein gerader Kreiskegel, dessen Radius der Höhe entspricht, an der Grundfläche zu einem Doppelkegel gespiegelt und anschließend in einer Ebene geschnitten, die beide Spitzen enthält, so hat die Querschnittsfläche die Form eines Quadrats. Wird eines dieser Quadrate um 90° rotiert und werden dann beide Hälften wieder zusammengefügt, erhält man ein Sphericon.

Analytische Beschreibung

Ein senkrechter Kreiskegel (Doppelkegel) mit der Spitze im Ursprung und der z-Achse als Symmetrieachse lässt sich durch eine Gleichung

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}z^{2}}$

beschreiben. Die Zahl ${\displaystyle R}$ ist der Radius der Höhenkreise der Höhen ${\displaystyle z=\pm 1}$. Ist ${\displaystyle R=1}$, so vereinfacht sich die Gleichung zu

• ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

und man nennt in diesem Fall den Kegel Einheitskegel (analog zum Einheitskreis).

So, wie eine beliebige Ellipse das affine Bild des Einheitskreises ist, ist ein beliebiger Kegel (als Quadrik) das affine Bild des Einheitskegels. Die einfachsten affinen Abbildungen sind Skalierungen der Koordinaten. Skaliert man die x- und y-Achse, so ergeben sich Kegel mit Gleichungen

• ${\displaystyle K_{ab}\colon \,{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=z^{2};\;\;a,b>0.}$

Die Höhenschnitte solcher Kegel sind Ellipsen. Der Schnitt mit der Höhenebene ${\displaystyle z=1}$ ist die Ellipse ${\displaystyle E\colon {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}+{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$. Der Kegel ist gleich der Vereinigung aller Geraden (Erzeugenden) durch die Spitze und die Ellipsenpunkte. Beschreibt man die Ellipse ${\displaystyle E}$ durch die Parameterdarstellung ${\displaystyle {\vec {x}}(t)=(a\cos t,b\sin t,1)}$ und stellt die Erzeugenden in Parameterform dar, erhält man die folgende Parameterdarstellung des Kegels ${\displaystyle K_{ab}}$:

• ${\displaystyle K_{ab}\colon \,{\vec {x}}(s,t)=s\cdot (a\cos t,b\sin t,1)^{T};\;\;s\in \mathbb {R} ,\,0\leq t<2\pi }$

Die Gleichung eines im Raum beliebig gelagerten Kegels ist schwierig anzugeben. Die Parameterdarstellung eines beliebigen Kegels dagegen relativ einfach:

• ${\displaystyle {\vec {x}}(s,t)={\vec {q}}_{0}+s{\vec {f}}_{1}\cos t+s{\vec {f}}_{2}\sin t+s{\vec {f}}_{3};\;\;\ s\in \mathbb {R} ,\,0\leq \ t<2\pi }$

Dabei ist ${\displaystyle {\vec {q}}_{0}}$ die Spitze des Kegels und ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}$ sind drei linear unabhängige Vektoren. ${\displaystyle {\vec {f}}_{3}}$ zeigt in Richtung der Kegelachse (s. Bild). Für jeden konstanten Parameter ${\displaystyle s}$ ergibt sich eine Ellipse, mit der man sich (zusammen mit der Spitze) den Kegel erzeugt denken kann.

Sind die drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2},{\vec {f}}_{3}}$ paarweise orthogonal und ist ${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}|=|{\vec {f}}_{2}|}$, so wird durch die Parameterdarstellung ein senkrechter Kreiskegel beschrieben.

Dass ein beliebiger elliptischer Kegel auch immer Kreise enthält, wird in Kreisschnittebene gezeigt.

Verallgemeinerungen

Konvexe Mengen

Man verallgemeinert die Eigenschaft des (unendlichen) Kegels, aus Strahlen mit gemeinsamem Anfangspunkt zu bestehen, zu kegelförmigen Mengen, zu denen dann z. B. auch eine unendlich hohe Pyramide gehört. Besonderes Interesse gilt dabei den konvexen Kegeln, die in der linearen Optimierung eine Rolle spielen.

Dabei ist der Begriff des Ordnungskegels wichtig: Definiert man eine Halbordnung mittels ${\displaystyle x\geq y:\Leftrightarrow x-y\in K}$, wobei ${\displaystyle K}$ ein konvexer und abgeschlossener Kegel ist, so ist diese reflexiv, antisymmetrisch, transitiv und multiplikativ sowie additiv verträglich. Damit ist eine solche Halbordnung eine Verallgemeinerung der (komponentenweisen) arithmetischen Halbordnung, der der positive Orthant ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{n}}$ zugrunde liegt. Eine mögliche Definition eines solchen Kegels lautet:

Sei ${\displaystyle (E,\|\cdot \|)}$ ein reeller Banachraum und ${\displaystyle K}$ eine nichtleere Teilmenge von ${\displaystyle E}$. ${\displaystyle K}$ heißt Kegel, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. ${\displaystyle K}$ ist abgeschlossen,
2. ${\displaystyle x,y\in K\Rightarrow x+y\in K}$,
3. ${\displaystyle x\in K,\lambda \geq 0\Rightarrow \lambda x\in K}$,
4. ${\displaystyle K\cap -K=\{0\}}$.

Wird die vierte Bedingung weggelassen, so erhält man eine mögliche Definition eines Keils.

Allgemeinere Grundflächen

• Als weitere Verallgemeinerung des Kegels kann man beliebige Grundflächen zulassen. Der Kegel entsteht dann als konvexe Hülle der Grundfläche und eines weiteren Punktes außerhalb der Fläche (der Kegelspitze). In diesem Sinne ist eine Pyramide ein Kegel über einem Vieleck.
• In der synthetischen Geometrie wird der Begriff Kegel für bestimmte quadratische Mengen in projektiven Geometrien beliebiger Dimension definiert. Siehe dazu Quadratische Menge#Kegel.

Topologie

In der Topologie versteht man unter dem Kegel über einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$ den Raum, den man aus dem Produkt ${\displaystyle X\times [0,1]}$ durch Identifikation aller Punkte in ${\displaystyle X\times \{1\}}$ (der „Kegelspitze“) erhält.

Den entsprechenden „Doppelkegel“ (durch zusätzliche Identifikation von ${\displaystyle X\times \{0\}}$) bezeichnet man auch als Einhängung oder Suspension.

Anwendungsbeispiele

Siehe auch

• Kegelstumpf
• Schiefer Ellipsenkegel
• Konoid
• Pyramide (Geometrie)
• Leitkegel
• Kathedrale von Maringá (Architektur)
• Konische Spirale
• Sehkegel

Literatur

• Rolf Baumann: Geometrie für die 9./10. Klasse. Zentrische Streckung, Satz des Pythagoras, Kreis- und Körperberechnungen. 4. Auflage. Mentor-Verlag, München 2003, ISBN 3-580-63635-9. 

Weblinks

• Das Namensgeheimnis der Kegelschnitte. In: Johanneum-Lueneburg.de

Einzelnachweise

1. ↑ Johann Friedrich Lorenz: Euklids Elemente, fünfzehn Bücher, aus dem Griechischen übersetzt. Hrsg.: Im Verlag der Buchhandlung des Waysenhauses. Zwölftes Buch. Halle 1781, S. 308 ff. (Der 10. Satz. Jeder Kegel ist der dritte Theil eines Cylinders, … [abgerufen am 1. November 2018]). 
2. ↑ E. Hartmann: Computerunterstützte Darstellende und konstruktive Geometrie. Uni Darmstadt (PDF; 3,4 MB), S. 105.