Gleichstromleitfähigkeit

Durch ein äußeres elektrisches Feld ${\displaystyle {\vec {E}}}$ erfahren die freien Elektronen im Leiter eine Kraftwirkung ${\displaystyle F_{\mathrm {el} }=q\cdot E}$ und werden beschleunigt, jedoch nicht kontinuierlich. Wäre dies so, dann dürften der Widerstand und die Stromstärke nicht konstant sein und das ohmsche Gesetz würde somit nicht gelten. Nach kurzer Zeit stellt sich jedoch ein Gleichgewicht ein, bei dem die mittlere Geschwindigkeit des Elektrons und damit der elektrische Strom proportional zur Feldstärke ist.

Dies wird vom Drude-Modell dadurch erklärt, dass das Elektron mit einem Gitterion zusammenstößt und abgebremst wird. Dieser Vorgang wird phänomenologisch durch eine mittlere Stoßzeit ${\displaystyle \tau }$ zwischen zwei Kollisionen beschrieben. Mit steigender Temperatur sinkt die mittlere Stoßzeit und damit auch die elektrische Leitfähigkeit der Metalle.

Die Bewegungsgleichung hierfür lautet:

${\displaystyle m{\dot {v}}+{\frac {m}{\tau }}v_{\mathrm {D} }=-eE}$

mit

• ${\displaystyle m}$ der Elektronenmasse
• ${\displaystyle v}$ der Elektronengeschwindigkeit
• ${\displaystyle v_{\mathrm {D} }}$ der Driftgeschwindigkeit (e-Geschwindigkeit abzüglich der thermischen Geschwindigkeit) und
• ${\displaystyle \tau }$ der Stoßzeit
• ${\displaystyle e}$ der Elementarladung.

Für den stationären Zustand (${\displaystyle {\dot {v}}=0}$) gilt:

${\displaystyle \Rightarrow v_{\mathrm {D} }=-{\frac {e\cdot \tau }{m}}E}$

Mit der Ladungsträgerdichte ${\displaystyle n}$ ergibt sich die Stromdichte ${\displaystyle j}$ damit zu:

${\displaystyle j=-e\cdot n\cdot v_{\mathrm {D} }={\frac {e^{2}\cdot \tau \cdot n}{m}}E}$

Die Gleichstromleitfähigkeit ${\displaystyle \sigma }$ ist daher:

${\displaystyle \sigma ={\frac {j}{E}}={\frac {e^{2}\cdot \tau \cdot n}{m}}}$

Diese Gleichung wird auch als Drude-Formel oder Drude-Leitfähigkeit bezeichnet.

Frequenzabhängige elektrische Leitfähigkeit

Ein elektrisches Feld, das sich periodisch mit der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ ändert, beschreibt man mit

${\displaystyle E(t)={\hat {E}}(\omega )\cdot \exp(-\mathrm {i} \omega t)}$

Sofern die Kreisfrequenz genügend hoch ist (${\displaystyle \omega \tau \gg 1}$) und die elektrische Feldstärke begrenzt bleibt, so dass eine lineare Stromantwort vorliegt, stellt sich keine konstante Driftgeschwindigkeit ein. Es ist dann die Einteilchengleichung

${\displaystyle m{\dot {v}}(t)+{\frac {m}{\tau }}v(t)=-eE(t)}$

zu lösen. Diese Gleichung gilt für isotrope Materialien, bei denen die elektrische Stromdichte ${\displaystyle j(\omega )}$ mit dem elektrischen Feld über eine skalare Proportionalitätskonstante, die elektrische Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma (\omega )}$, verknüpft ist: ${\displaystyle j(\omega )=\sigma (\omega )\cdot {\hat {E}}(\omega )}$. Bei anisotropen Materialien erweitert man die elektrische Stromdichte und das elektrische Feld zu Vektoren und die Leitfähigkeit zu einem Tensor.

Im isotropen Fall berücksichtigt man die Phasenverschiebung zwischen ${\displaystyle v(t)}$ und ${\displaystyle E(t)}$ mit einem komplexen ${\displaystyle v(t)}$. Mit dem Ansatz ${\displaystyle v(t)={\hat {v}}(\omega )\cdot \exp(-\mathrm {i} \omega t)}$ erhält man die Lösung

${\displaystyle {\hat {v}}(\omega )=-{\frac {e\tau }{m}}\cdot {\frac {1}{1-\mathrm {i} \omega \tau }}\cdot {\hat {E}}(\omega )}$.

Mit ${\displaystyle j(\omega )=-ne{\hat {v}}(\omega )}$ und der Beziehung ${\displaystyle j(\omega )=\sigma (\omega )\cdot {\hat {E}}(\omega )}$ erhält man für ein Material mit der Ladungsträgerdichte ${\displaystyle n}$ seine frequenzabhängige Leitfähigkeit ${\displaystyle \sigma (\omega )}$:

${\displaystyle \sigma (\omega )={\frac {ne^{2}\tau }{m}}\cdot {\frac {1}{1-\mathrm {i} \omega \tau }}={\frac {\sigma _{\mathrm {DC} }}{1-\mathrm {i} \omega \tau }}}$.

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {DC} }}$ ist die im vorherigen Abschnitt angegebene Gleichstromleitfähigkeit. Diese lässt sich auch über die Plasmafrequenz ausdrücken als Fehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \sigma_{\mathrm{DC}} = \epsilon_0 \cdot \omega_p^2 \cdot \tau } , wobei ${\displaystyle \omega _{p}^{2}=ne^{2}/(\epsilon _{0}m)}$ ist.

In der Optik stellt man den Bezug zur dielektrischen Funktion über die Beziehung

${\displaystyle \epsilon (\omega )=\epsilon _{\infty }+{\frac {\mathrm {i} \sigma (\omega )}{\epsilon _{0}\omega }}}$

her und erhält

${\displaystyle \epsilon (\omega )=\epsilon _{\infty }-{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega ^{2}+\mathrm {i} \omega /\tau }}}$.

${\displaystyle \epsilon _{\infty }}$ ist der dielektrische Hintergrund im Material ohne den Beitrag der freien Ladungsträger.