Eichsymmetrie der Bewegungsgleichung von Punktteilchen

Die Energie eines Teilchens in einem äußeren statischen Potenzial lässt sich schreiben als

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{\,2}+V({\vec {x}})}$

mit vorgegebenem Potenzial ${\displaystyle V({\vec {x}})}$.

Definiert man nun den Impuls als

${\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}$,

so kann man die Energie auch schreiben als

${\displaystyle E={\frac {{\vec {p}}^{\,2}}{2m}}+V({\vec {x}})}$.

Wenn man nach der hamiltonschen Mechanik die Energie als Funktion von Ort und Impuls beschreibt, also

${\displaystyle E=H({\vec {x}},{\vec {p}})}$

dann erhält man aus deren Ableitungen die Bewegungsgleichungen:

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial H}{\partial x_{i}}}}$

Für die oben genannte Energie ergibt das:

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {p_{i}}{m}}=v_{i}}$

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=F_{i}}$

Wenn man zum Potenzial und zum Impuls jeweils noch einen konstanten Term hinzufügt, also definiert:

${\displaystyle V_{1}({\vec {x}})=V({\vec {x}})+V_{0}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}=m{\vec {v}}+{\vec {p}}_{0}}$

und dann die Bewegung des Teilchens mittels der „Index-1-Größen“ beschreibt, so lautet die Energie

${\displaystyle E={\frac {|{\vec {p}}_{1}-{\vec {p}}_{0}|^{2}}{2m}}+V_{1}({\vec {x}})-V_{0}}$

und die Bewegungsgleichungen sind:

${\displaystyle {\dot {x}}_{i}={\frac {\partial H}{\partial (p_{1})_{i}}}={\frac {(p_{1})_{i}-(p_{0})_{i}}{m}}=v_{i}}$

${\displaystyle ({\dot {p}}_{1})_{i}=-{\frac {\partial V}{\partial x_{i}}}=F_{i}}$

Da außerdem

${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}={\dot {\vec {p}}}_{1}}$

gilt (denn Konstanten verschwinden ja in der Ableitung), sind das genau dieselben Bewegungsgleichungen.

Es ist also möglich, sowohl für die Energie als auch für den Impuls einen konstanten Summanden festzulegen, ohne die dadurch beschriebene Physik zu verändern. Diese Eigenschaft nennt man globale Eichsymmetrie.

Nun stellt sich die Frage, ob man stattdessen auch nichtkonstante Größen addieren kann, ohne die Bewegungsgleichungen zu verändern, also allgemein

${\displaystyle V_{1}(x)=V(x)+q\phi (x,t)\,}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{1}(x)=m{\vec {v}}+q{\vec {A}}(x,t),}$

wobei die Konstante q herausgezogen wurde, weil es sich nachher als praktisch erweisen wird; für die Argumentation hat diese Tatsache aber keine Bedeutung.

Es ist unmittelbar klar, dass es nicht möglich ist, beliebige Funktionen für ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ zu verwenden, da z. B. ein beliebiges ${\displaystyle \phi }$ wie ein zusätzliches Potenzial wirkt. Nimmt man für beide Größen beliebige Funktionen an, so zeigt Nachrechnen, dass die Bewegungsgleichungen gegeben sind durch:

${\displaystyle {\dot {\vec {x}}}={\vec {v}}}$

${\displaystyle {\dot {\vec {p}}}=q{\vec {v}}\times \operatorname {rot} \,\,{\vec {A}}-q\,{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-q\,\operatorname {grad} \,\,\phi -\operatorname {grad} \,\,V({\vec {x}})}$

Dies sind aber gerade die Bewegungsgleichungen, die man erwarten würde, wenn das Teilchen die Ladung q hat und sich außer im Potenzial V auch noch im elektrischen Feld

${\displaystyle {\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}-\operatorname {grad} \,\,\phi }$

und im magnetischen Feld

${\displaystyle {\vec {B}}=\operatorname {rot} \,\,{\vec {A}}}$

bewegt.

Die Bewegung wird nun nicht geändert, wenn eine Änderung von ${\displaystyle \phi }$ und ${\displaystyle {\vec {A}}}$ zu ${\displaystyle \phi '=\phi +\delta \phi }$ und ${\displaystyle {\vec {A}}'={\vec {A}}+\delta {\vec {A}}}$ die Felder ${\displaystyle {\vec {E}}}$ und ${\displaystyle {\vec {B}}}$ nicht ändert (also insbesondere die Felder auf null lässt, wenn sie vorher null waren). Das bedeutet, dass ${\displaystyle \delta \phi }$ und ${\displaystyle \delta {\vec {A}}}$ die Gleichungen ${\displaystyle \textstyle \operatorname {rot} \delta {\vec {A}}=0}$ und ${\displaystyle \textstyle \partial _{t}\delta {\vec {A}}+\operatorname {grad} \delta \phi =0}$ erfüllen müssen. Da die Rotation eines Gradientenfeldes stets null ist, ist klar, dass die erste dieser Gleichungen erfüllt ist (und daher das magnetischen Feld unverändert bleibt), wenn für ${\displaystyle \delta {\vec {A}}}$ der Gradient einer beliebigen zeit- und ortsabhängigen Funktion gewählt wird. Um die zweite Gleichung zu erfüllen, muss man dann als ${\displaystyle -\delta \phi }$ die Zeitableitung dieser Funktion setzen, also das Potenzial entsprechend verringern. Wählt man also die Orts- und negative Zeitableitung ein und derselben Funktion als ${\displaystyle \delta {\vec {A}}}$ und ${\displaystyle \delta \phi }$, ändern sich die Bewegungsgleichungen für das Teilchen nicht. Durch eine solche Wahl ist daher eine lokale Eichsymmetrie gegeben.

Eichsymmetrie der quantenmechanischen Wellenfunktion

In der Quantenmechanik werden Teilchen nicht mehr durch Ort und Impuls, sondern durch die sogenannte Wellenfunktion ${\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)}$ beschrieben. Diese ist ein Feld, also eine Funktion von Raum und Zeit, und im Allgemeinen komplex (z. B. ist sie in der nichtrelativistischen Schrödingergleichung ein komplexer Skalar und in der Dirac-Gleichung ein komplexer Spinor). Allerdings ist sie nicht eindeutig: Die Wellenfunktionen ${\displaystyle \psi ({\vec {x}},t)}$ und ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }\psi ({\vec {x}},t)}$ mit beliebig gewähltem, reellen ${\displaystyle \phi }$ beschreiben beide denselben Zustand. Hierbei handelt es sich wiederum um eine globale Symmetrie. Mathematisch wird diese Symmetrie durch die Lie-Gruppe U(1) beschrieben, denn diese besteht genau aus den Zahlen ${\displaystyle \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi }}$.

Wie vorher im Fall der klassischen Bewegungsgleichung stellt sich hier die Frage, ob man statt der globalen Phase auch eine orts- und zeitabhängige Phase einführen könnte. Nun treten jedoch in der Bewegungsgleichung der Wellenfunktion (Schrödingergleichung, Dirac-Gleichung etc.) partielle Ableitungen auf, die bei der so veränderten Wellenfunktion zu Zusatztermen führen:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi ({\vec {x}},t)}\psi ({\vec {x}},t)\right)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi ({\vec {x}},t)}{\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {x}},t)+\mathrm {i} {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi ({\vec {x}},t)}\psi ({\vec {x}},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left(\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi ({\vec {x}},t)}\psi ({\vec {x}},t)\right)=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi ({\vec {x}},t)}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\psi ({\vec {x}},t)+\mathrm {i} {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial x_{i}}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \phi ({\vec {x}},t)}\psi ({\vec {x}},t)}$

Diese Beziehungen kann man auch so interpretieren, dass die partiellen Orts- und Zeitableitungen durch die Ableitungsoperatoren

${\displaystyle \operatorname {D} _{t}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathrm {i} {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}}$

${\displaystyle \operatorname {D} _{x_{i}}={\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\mathrm {i} {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial x_{i}}}}$

ersetzt werden. Der Zusammenhang mit dem elektromagnetischen Feld erschließt sich, wenn man die Form der Schrödingergleichung betrachtet:

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi ({\vec {x}},t)={\hat {H}}\psi ({\vec {x}},t),}$

wobei im Hamiltonoperator ${\displaystyle {\hat {H}}}$ die Ortsableitungen über die Komponenten des Impulsoperators

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$

auftreten. Ersetzen wir im Impulsoperator nun ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}}$ durch ${\displaystyle \operatorname {D} _{x_{i}}}$, so erhalten wir:

${\displaystyle {\hat {p}}_{i}=-\mathrm {i} \hbar \operatorname {D} _{x_{i}}=-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}+\hbar {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial x_{i}}}}$

Es tritt also ein zusätzlicher Summand auf, der wie ein Beitrag zum elektromagnetischen Vektorpotential ${\displaystyle {\vec {A}}}$ aussieht. Analog ergibt sich beim Einsetzen von ${\displaystyle \operatorname {D} _{t}}$ in die Schrödingergleichung ein zusätzlicher Potentialterm der Form ${\displaystyle {\frac {\partial \phi ({\vec {x}},t)}{\partial t}}}$. Diese zusätzlichen elektromagnetischen Potentiale erfüllen aber gerade die Eichbedingung für elektromagnetische Felder, sodass die Physik in der Tat durch die lokale Phase nicht beeinflusst wird, sondern nur in der Beschreibung die elektromagnetischen Potentiale angepasst werden müssen.

Im Zusammenhang mit Beziehungen der Art ${\displaystyle {\vec {p}}\to {\vec {p}}+q{\vec {A}}}$ spricht man oft von „minimaler Kopplung“.

Artikel

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• Gerard ’t Hooft: Nobel Lecture: A confrontation with infinity. In: Reviews of Modern Physics. Band 72, Nr. 2, 1. April 2000, S. 333–339, doi:10.1103/RevModPhys.72.333 (englisch). 

Bücher

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• Stefan Scherer: Eichtheorien. In: Symmetrien und Gruppen in der Teilchenphysik. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-47733-5, S. 287–317, doi:10.1007/978-3-662-47734-2_7. 
• Helga Baum: Eichfeldtheorie: Eine Einführung in die Differentialgeometrie auf Faserbündeln. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-38538-4, doi:10.1007/978-3-642-38539-1. 
• Richard Healey: Gauging What’s Real. Oxford University Press, 2007, ISBN 978-0-19-928796-3, doi:10.1093/acprof:oso/9780199287963.001.0001. 
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• Peter Schmüser: Feynman-Graphen und Eichtheorien für Experimentalphysiker. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 1995, ISBN 978-3-540-58486-5, doi:10.1007/978-3-642-57766-6. 
• David Bailin, A. Love: Introduction to Gauge Field Theory (= Graduate student series in physics). Rev. ed. Institute of Physics Pub, Bristol ; Philadelphia 1993, ISBN 978-0-85274-817-6 (englisch, routledge.com). 
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Historische Informationen

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