Eigentlicher metrischer Raum

Ein eigentlicher metrischer Raum (engl.: proper metric space) ist ein mathematischer Fachbegriff aus der Topologie und Geometrie. In solchen metrischen Räumen sind abgeschlossene und beschränkte Mengen kompakt. Nach dem Satz von Heine-Borel ist dies eine typische Eigenschaft reeller Vektorräume, aber auch andere metrische Räume können diese Eigenschaft haben.

Definition

Ein eigentlicher metrischer Raum ist ein metrischer Raum, in dem alle abgeschlossenen, beschränkten Teilmengen kompakt sind. Man spricht auch von einem metrischen Raum, in dem die Heine-Borel-Eigenschaft gilt.

Eigenschaften

Eigentliche metrische Räume sind stets vollständig.
Ein normierter Vektorraum ist genau dann eigentlich, wenn er endlichdimensional ist.

Einzelnachweise

1 2 Gerald Teschl: Mathematical Methods in Quantum Mechanics. With Applications to Schrödinger Operators (= Graduate Studies in Mathematics. Nr. 157). 2. Auflage. American Mathematical Society, Rhode Island 2014, ISBN 978-1-4704-1704-8, S. 12.

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