Verein

Böhm spielte ab 2006 für die zweite Mannschaft des SC Magdeburg. In der Saison 2009/10 war er zusätzlich bei der ersten Mannschaft aktiv. Im Sommer 2010 wechselte der Rechtshänder zu den Füchsen Berlin, wo er ebenfalls in der ersten und zweiten Mannschaft aktiv war. Ab Februar 2011 spielte er für die DHC Rheinland, war jedoch weiterhin über ein Zweitspielrecht für die zweite Mannschaft der Füchse spielberechtigt. Zum Sommer 2011 wechselte er zum Bundesligaaufsteiger Bergischer HC.

Nachdem der BHC am Saisonende 2011/12 aus der Bundesliga abgestiegen war, wechselte Böhm zum Bundesligaaufsteiger TUSEM Essen, den er allerdings bereits nach einer Saison wieder verließ und sich dem HBW Balingen-Weilstetten anschloss, wo er einen Zweijahresvertrag unterschrieb. Ab der Saison 2016/17 lief er für die TSV Hannover-Burgdorf auf. Am 9. Mai 2021 erzielte er im Spiel beim TBV Lemgo Lippe seinen 1000. Bundesligatreffer.

Böhm steht seit der Saison 2022/23 beim Schweizer Verein HC Kriens-Luzern unter Vertrag. In seiner ersten Saison gewann er den Schweizer Cup und erreichte die Finalspiele um die Schweizer Meisterschaft, in denen man den Kadetten Schaffhausen unterlag.

Nationalmannschaft

Am 4. Januar 2015 debütierte Böhm in der deutschen Nationalmannschaft beim Vorbereitungsspiel für die Weltmeisterschaft 2015 gegen Island in Reykjavík. Er absolvierte bisher 51 Spiele in denen er 76 Tore erzielte.