Real- und Imaginärteil

Für genauere Betrachtungen lässt sich ${\displaystyle w\left(z\right)}$ mit ${\displaystyle z=x+iy}$ wie folgt zerlegen:

${\displaystyle w(z)=V\left(x,y\right)+iL\left(x,y\right)}$,

${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle L}$ stellen hierbei die reale und imaginäre Voigt-Funktion dar, da es sich bei ${\displaystyle V(x,y)}$ bis auf Vorfaktoren um das Voigt-Profil handelt.

Integraldarstellung

Die Faddeeva-Funktion besitzt die Integraldarstellung

${\displaystyle w(z)={\frac {i}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{z-t}}\,\mathrm {d} t\qquad \Im \left(z\right)>0}$

sprich sie ist die Konvolution einer Gauß-Funktion und einer einfachen Polstelle.
Die reale und imaginäre Voigt-Funktion lassen sich in ähnlicher Weise darstellen:

${\displaystyle V\left(x,y\right)={\frac {y}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

${\displaystyle L\left(x,y\right)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\left(x-t\right)\ \cdot \ e^{-t^{2}}}{\left(x-t\right)^{2}+y^{2}}}\,\mathrm {d} t}$

Verhalten bei Vorzeichenumkehr

Bei einer Vorzeichenumkehr von ${\displaystyle z}$ kann bei Berechnungen auf die folgenden Zusammenhänge zurückgegriffen werden:

${\displaystyle w(-z)=2e^{-z^{2}}-w(z)}$

sowie

${\displaystyle w(-z)={\overline {w\left({\overline {z}}\right)}}}$

${\displaystyle {\overline {z}}}$ ist die Konjugation von ${\displaystyle z}$.

Ableitung

In manchen Anwendungen muss nicht nur die Faddeeva-Funktion selbst, sondern auch ihre Ableitungen berechnet werden, beispielsweise bei der Nichtlinearen Regression in der Spektroskopie. Ihre analytische Ableitung lautet:

${\displaystyle {\frac {dw\left(z\right)}{dz}}={\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}-2\cdot z\cdot w\left(z\right)}$

Dieser Ausdruck kann auch herangezogen werden, um die Änderungen im Real- und Imaginärteil der Faddeeva-Funktion ${\displaystyle \Re \left(w\left(z\right)\right)=\Re _{w}}$ und ${\displaystyle \Im \left(w\left(z\right)\right)=\Im _{w}}$ nachzuvollziehen. Im Prinzip muss dafür das Produkt ${\displaystyle z\cdot w\left(z\right)}$ eingehender betrachtet werden. Mit der obigen Definition des Arguments ${\displaystyle z=x+iy}$, kann die Ableitung auch die in ihre partiellen Ableitungen nach ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ zerlegt werden:

${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dx}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Im _{w}}{dy}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Re _{w}}{dy}}=-2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Im _{w}}{dx}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dx}}=2\cdot \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}-x\cdot \Im _{w}-y\cdot \Re _{w}\right)=-{\frac {d\Re _{w}}{dy}}}$

${\displaystyle {\frac {d\Im _{w}}{dy}}=2\cdot \left(y\cdot \Im _{w}-x\cdot \Re _{w}\right)={\frac {d\Re _{w}}{dx}}}$

Dawsonsche Funktion

Es gilt folgende Beziehung zur Dawsonschen Funktion ${\displaystyle D_{+}(x)}$

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}\operatorname {erfc} (-ix)=e^{-x^{2}}+{\frac {2i}{\sqrt {\pi }}}D_{+}(x).}$

Komplementäre Fehlerfunktion

Für rein imaginäre Argumente ${\displaystyle iy}$ entspricht die Faddeeva-Funktion der skalierten Komplementären Fehlerfunktion ${\displaystyle erfcx}$

${\displaystyle w(iy)=\mathrm {erfcx} (y)=e^{y^{2}}\mathrm {erfc} (y)}$,

mit der Komplementären Fehlerfunktion ${\displaystyle erfc}$.