Zirkular

Fischaugenobjektive, deren Bildkreisdurchmesser (höchstens) so groß ist wie die kürzere Kante des Aufnahmeformates der Kamera, heißen Zirkular-Fischauge (auch „Kreisbild-Fischauge“ oder „Rundbild-Fischauge“), weil sie ein kreisrundes Bild innerhalb des rechteckigen Aufnahmeformates entwerfen. Der Bildkreis des Objektivs wird zu 100 % genutzt. In Tafel 1 ist die größtmögliche Sensorausnutzung angegeben; sie fällt durch einen praktisch etwas kleineren Bildkreis geringer aus. Um den Bildkreis nicht zu beschneiden, haben Zirkular-Fischaugen keine Streulichtblende. Zirkulare Fischaugen sind die erste Wahl, wenn möglichst viel von der Umgebung (gewöhnlich eine Halbkugel) erfasst werden soll. Die zuerst entwickelten Fischaugenobjektive waren Zirkular-Fischaugen. Mangels eines Vollformat-Fischauges einen rechteckigen Bereich auszuschneiden verringert die Sensor- oder Filmausnutzung weiter auf maximal 31 % (3:2) oder 36 % (4:3) und wäre denkbar ungünstig.

Vollformat

Fischaugenobjektive, deren Bildkreisdurchmesser (mindestens) so groß ist wie die Diagonale des Aufnahmeformates der Kamera, heißen „Vollformat-Fischauge“ (auch „Diagonal-Fischauge“ wegen der Doppeldeutigkeit des Begriffs „Vollformat“ für Sensorausnutzung oder Sensorgröße). Sie erreichen ihren größten Bildwinkel (gewöhnlich 180°) nur über die Bilddiagonale; ihre horizontalen und vertikalen Bildwinkel sind entsprechend kleiner und Teile des Bildfeldes des Objektivs werden nicht genutzt. Der Sensor wird dagegen zu 100 % ausgenutzt. Die Streulichtblende fällt sehr klein aus und begrenzt das Bildfeld auf einen annähernd rechteckigen Bereich, der nur wenig über das vorgesehene Aufnahmeformat reicht. Als Fischaugen in der allgemeinen Fotografie populär wurden, begannen die Kamerahersteller Vollformat-Fischaugen zu entwickeln. Das rechteckige Format ist am angenehmsten für die direkte Wiedergabe der originalen Bilder (ohne Umrechnung).

Beschnittener Kreis

Wenn die Kamera nicht das Sensorformat hat, für das das Fischaugenobjektiv vorgesehen ist, ändern sich Bildwinkel und Formatausnutzung. Mit bestimmten Kombinationen lässt sich ein nutzbares Bildfeld in Form eines beschnittenen Kreises als Zwischenformat von Kreis- und Vollbild erzielen. Es ergeben sich eine gute Sensorausnutzung und meist weniger Verluste beim rechteckigen Beschneiden der in einen anderen Projektionstyp umgewandelten Bilder.

Entweder wird ein Zirkular-Fischauge für das Kleinbildformat an einer APS-C- oder DX-Kamera oder ein Vollformat-Fischauge für das DX-Format an einer vollformatigen Kleinbildkamera verwendet. Im zweiten Fall beschneidet die Streulichtblende das Bild und muss abgenommen werden. Wenn sie nicht abnehmbar ist, kann sie mit einem Werkzeug gekürzt werden (Rasur des Objektivs). Einige Fischaugen-Zoomobjektive können ebenfalls einen beschnittenen Kreis erzielen.

Im Idealfall ist das Bildfeld ein zweiseitig beschnittener Kreis. Der Bildkreisdurchmesser ist dann (höchstens) so groß wie die längere Seite des Aufnahmeformates. Der Bildwinkel wird z. B. beim Querformat an den runden Bildkanten sowohl diagonal als auch horizontal maximal; nur vertikal ist er kleiner. In der Praxis gibt es auch den dreiseitig beschnittenen Kreis, wenn der Sensorbereich nicht mittig zum Bildkreis ist (z. B. flächentreues Sigma 8 mm Fisheye [älteres Modell mit Blende F/4] und Kamera mit APS-C-Sensor), oder den vierseitig beschnittenen Kreis, wenn die Abbildungsfunktion einen größeren Bildkreis erzeugt (z. B. winkellineares Canon 8-15 mm Fisheye bei 8 mm und Kamera mit APS-C-Sensor).

Bei der Umwandlung in die stereografische Projektion kann man nach dem rechteckigen Beschneiden ein Vollformatbild mit 180° diagonalem Bildwinkel erhalten (Von einem Vollformatbild ausgehend, wäre die stereografische Projektion kissenförmig. Das rechteckige Beschneiden würde die Kissenspitzen entfernen und damit den diagonalen Bildwinkel reduzieren). Evtl. sind Bildwinkel von 180° nicht mehr mit dem Originalformat, sondern nur mit einem breiteren Format (z. B. 16 : 9) des umgewandelten Bildes möglich.

Krümmung

Die Abbildung einer langen, geraden Straße auf ganzer Länge muss folgende widersprüchliche Eigenschaften im Bild vereinen: In Bildmitte sind die Straßenränder parallel, und an beiden Bildseiten laufen die Straßenränder zu Fluchtpunkten zusammen. Das ist nur mit tonnenförmiger Verzeichnung möglich. Sie ist eine Voraussetzung für Fischaugen, denn nur so sind Bildwinkel von 180° und mehr möglich.

Geraden durch die Bildmitte bleiben Geraden. Bei Geraden außerhalb der Bildmitte wird die Krümmung desto stärker, je weiter sie an der Mitte vorbeigehen. Lange Kanten im Randbereich weisen eine starke Richtungsänderung auf. Das verfremdet vor allem sehr große Objekte.

Einsetzen kann man das Fischauge für Objekte, die kaum gerade Linien haben, z. B. für Panoramaaufnahmen von Landschaften. Für Objekte mit vielen geraden Kanten (Architektur) ist ein Fischauge nicht zu empfehlen. In Innenräumen ist der große Bildwinkel praktisch, weil man mit einem Bild einen ganzen Raum abbilden kann. Entweder akzeptiert man dann die gebogenen Linien, oder man wandelt das Bild so um, dass z. B. die Senkrechten und die zentralen Fluchtlinien gerade werden (Pannini-Projektion).

Personen am Bildrand stehen scheinbar krumm. Sie erscheinen nach außen durchgebogen. Dies kann man als Kompromiss für eine geringe Deformation der Köpfe (siehe Abschnitt Deformation) hinnehmen. Alternativ beseitigt eine geeignete Umwandlung (z. B. in die Pannini-Projektion) die Durchbiegung des Körpers bei ein wenig mehr verzerrten Köpfen.

Skalierung

Nebeneinander liegende Objekte gleicher Größe werden je nach Lage im Bildfeld unterschiedlich groß dargestellt. Sie weisen unterschiedliche Abbildungsmaßstäbe auf, so dass man von einer Maßstabsverzerrung sprechen kann.

Die hier gemeinte Skalierung entspricht der Kartografie und ist anders definiert als die Maßstabsverzerrung in der konventionellen Fotografie.

Maßstabsverzerrung in der konventionellen Fotografie ist die lokale Größenänderung bei der Abbildung einer senkrecht zur optischen Achse stehenden Objektebene auf die Bildebene. Das führt nebenbei auch zur Verzeichnung. Ohne Maßstabsverzerrung können bei dieser Betrachtungsweise auch Superweitwinkelobjektive sein. So werden auch seitliche Kreise, die senkrecht zur optischen Achse stehen, im gleichen Maßstab abgebildet, als stünden sie in der Mitte (und bleiben Kreise). Der Maßstab in der konventionellen Fotografie hängt von dem auf die optische Achse projizierten Abstand ab und nicht von der tatsächlichen (schrägen) Entfernung von der Eintrittspupille und beschreibt die Größe senkrecht zur optischen Achse.

Ersetzt man die ebenen Kreise durch räumliche Kugeln, liegen die gesehenen Kugelhorizonte auf zur Eintrittspupille konzentrischen Kugelschalen und nicht mehr auf der Ebene der vorherigen Kreise. Der schrägstehende Kugelhorizont führt bei der Projektion auf die Objektebene zu einer elliptischen (bei großen Objekten eiförmigen) Deformation und zu einer Vergrößerung. Fischaugen beziehen sich nicht auf eine Objektebene (eher auf eine Objektschale), wodurch die Größenänderung anders ausfällt.

Skalierung beschreibt die Größenänderung eines kleinen Details auf einer zur Eintritsspupille konzentrischen Kugelschale in Relation zur mittigen Abbildung. Die Skalierung bezieht sich auf ein Objekt mit gleicher direkter Entfernung zur Eintrittspupille und auf die senkrecht zur Objektrichtung erscheinende Größe. Die Abweichung vom Maßstab in der Bildmitte ist die Skalierung. Sie ändert scheinbar die Tiefenstaffelung nebeneinander liegender Objekte. Die Berechnung einer Tissotschen Indikatrix macht die Skalierung über die Größe der Verzerrungsellipsen deutlich (Skalierung ist proportional zur Wurzel der Flächen der Verzerrungsellipsen).

Beim konventionellen Superweitwinkel werden Randdetails, bezogen auf die direkte Entfernung, größer dargestellt. So tritt die Bildmitte in den Hintergrund, und es entsteht ein scheinbar zu tiefer Raum. Das führt dazu, dass ein quadratischer Raum wie ein Korridor aussieht. Beim Fischauge ist die Skalierung von Randdetails je nach Abbildungstyp deutlich kleiner, ganz aufgehoben (flächentreu) oder im Extremfall gegenläufig (orthographisch: Tiefenkompression). Die scheinbare Tiefe des quadratischen Raumes ändert sich wenig. Er erscheint dafür auseinandergebogen (siehe Abschnitt Krümmung).

Tiefendehnung

Hintereinanderliegende Objekte (an der gleichen Bildstelle) scheinen auseinanderzurücken. Dieser Effekt ist unabhängig davon, ob das Objektiv ein Fischauge oder ein Superweitwinkel ist. Mit der bei allen Fischaugen kurzen Brennweite ist die Tiefendehnung sehr ausgeprägt, so dass der Vordergrund sehr gut aus dem Hintergrund herausgelöst werden kann. Durch den Fischaugen-Bildwinkel von 180° kann man für extreme Effektbilder sehr nahe an das Objekt gehen und bekommt sogar bei Frontlinsenkontakt meist das gesamte Objekt auf das Bild.

Deformation

Die Deformation ist eine anders definierte optische Verzerrung als die Verzeichnung.

Verzeichnung beschreibt die Verzerrung auf einer zur optischen Achse senkrechten Fläche bei der Abbildung. Verzeichnungsfrei können auch Superweitwinkelobjektive sein. So werden auch seitliche Kreise, die senkrecht zur optischen Achse liegen, wieder als Kreise abgebildet.

Ersetzt man die ebenen Kreise durch räumliche Kugeln, liegen die gesehenen Kugelhorizonte auf zur Eintrittspupille konzentrischen Kugelschalen und nicht mehr auf der Ebene der vorherigen Kreise. Der schrägstehende Kugelhorizont führt bei der Projektion auf die Objektebene zu einer elliptischen (bei großen Objekten eiförmigen) Deformation. Fischaugen beziehen sich nicht auf eine Objektebene (eher auf eine Objektschale), wodurch die Deformation anders ausfällt.

Deformation beschreibt die Verzerrung eines kleinen Details auf einer zur Eintrittspupille konzentrischen Kugelschale. Die Berechnung einer Tissotschen Indikatrix macht die Deformation über die Streckung der Verzerrungsellipsen deutlich (Verhältnis von Haupt und Nebenachse).

Während bei konventionellen Weitwinkelobjektiven räumliche Randdetails von der Mitte weg auseinandergezogen sind, machen Fischaugen das Gegenteil und stauchen diese. Die Deformation ist nicht so stark und erst bei stärkerer seitlicher Lage wahrnehmbar. Damit ist das Fischauge gut für Aufnahmen innerhalb einer Menschenmenge oder von Personen an einem Tisch geeignet. Dabei sollte man aber keiner Person zu nahe kommen, um entstellende Effekte zu vermeiden. Für eine möglichst perfekte Personendarstellung empfiehlt sich die Umwandlung in die winkeltreue Abbildung (keine Stauchung kleiner Objekte).

Fundamentale Abbildungen

Von den vielen möglichen Abbildungsfunktionen zeichnen sich die fundamentalen durch die originalgetreue Wiedergabe bezüglich eines Parameters aus. Der Projektionstyp einer Optik ist der Name der Projektion der ähnlichsten fundamentalen Abbildung.

Zum Vergleich – normales (Nicht-Fischauge-)Objektiv:

• gnomonisch (verzeichnungsfrei)
  wirkt wie die Lochkamera. Gerade Linien sind auch auf dem Bild gerade. Große Bildwinkel erfordern bei Retrofokusobjektiven einen extremen Aufwand und führen zu sehr hohen Preisen für ein solches Objektiv.

Ultraweitwinkelobjektive können die Brennweiten von Fischaugen-Objektiven haben; sie sind aber wegen ihrer Abbildungsart trotzdem keine Fischaugen.

Räumliche Objekte nahe dem Bildrand werden verzerrt abgebildet: Sie sind in radialer Richtung gestreckt. Sie erscheinen am seitlichen Bildrand daher in der Abbildung zu breit, und am Bildrand stehende Personen werden dann zum Beispiel dicker abgebildet, als sie sind, und bekommen „Eierköpfe“.

Ebene Objektflächen, die genau senkrecht zur optischen Achse stehen, werden maßstabstreu und verzeichnungsfrei abgebildet. Gibt es mehrere solcher Flächen, dann hat jede Fläche entsprechend ihrer auf die optische Achse projizierten Entfernung einen eigenen Maßstab.

Fischaugen können verschiedene Abbildungsfunktionen haben. Es folgen einige Spezialfälle:

• winkeltreu (stereografisch)
  wäre ideal für die meisten fotografischen Zwecke, denn Objekte am Bildrand werden nur geringfügig verzerrt. Objekte, deren Abbild in allen Richtungen nur wenig ausgedehnt ist, werden praktisch unverzerrt abgebildet. Personen z. B. werden mit den richtigen Proportionen wiedergegeben, weder zu schlank noch zu dick. Ein Objekt erscheint am Bildrand jedoch größer als in der Bildmitte, bei gleicher Entfernung von der Kamera, d. h. Objekte am Rand erscheinen näher, als sie sind. Für gängige digitale Spiegelreflexkameras bietet Samyang Optics eine Optik mit annähernd winkeltreuer Abbildung an. Sie wird unter verschiedenen Markennamen angeboten, in Deutschland unter „Walimex“. Für andere Fischaugen-Typen kann die winkeltreue Abbildung durch Software realisiert werden. Populär ist die als „Little planet“ bezeichnete stereografische Darstellung mit dem Nadir in Bildmitte, die aber ein Fischauge mit weit über 180° Bildwinkel erfordert oder mit Panoramasoftware erzeugt werden kann.
• äquidistant (linear geteilt)
  Solche Objektive ermöglichen Winkelmessungen auf dem Bild in radialer Richtung (z. B. für Sternkarten). Diese Abbildungsart eignet sich besonders für extreme Bildwinkel über 180°. Mittige Objekte werden nicht so klein wie bei der winkeltreuen Abbildung; und Objekte am Bildrand werden im Gegensatz zur flächentreuen Abbildung radial nicht komprimiert. Sie wirken in radialer Richtung dennoch gestaucht, weil sie quer zur radialen Richtung vergrößert sind. Personen erscheinen etwas schlanker, als sie sind. Der Abstand von Objekten am Bildrand wird weniger unterschätzt als bei winkeltreuer Abbildung.

Die meisten Rundbild-Fischaugen, wie z. B. das Canon FD 1:5,6 / 7,5 mm, bilden so ab. Software zur Panoramaerstellung, beispielsweise Hugin, gehen von dieser Projektionsart aus.

Bei einer Umrechnung in diesen Projektionstyp sind mathematisch Bildwinkel über 360° möglich. Dabei wiederholt sich die Darstellung in ringförmigen Zonen (Mehrfachabbildung).

• flächentreu (equisolid angle = raumwinkelgleich)
  Es entsteht das gleiche Bild, als wäre an der Kameraposition eine verspiegelte Kugel platziert, die man aus großer Entfernung, verglichen mit ihrem Durchmesser, betrachtet. Die Fläche, die das Abbild eines Objekts auf dem Bild einnimmt, ist proportional zum Raumwinkel, in dem es von der Kameraposition aus gesehen erscheint. Die Entfernungen der Objekte von der Kamera werden deshalb richtig eingeschätzt. Solche Objektive eignen sich besonders, um im Bild Bedeckungsgrade zu bestimmen (z. B. durch Vegetation oder durch Bebauung, oder zur Bewölkungsgradbestimmung). Die radiale Stauchung von randnahen Objekten ist noch etwas größer als bei äquidistanter Projektion. Viele Vollformat-Fischaugen bilden (annähernd) flächentreu ab.
• orthografisch
  wirkt wie eine Kugel, die aus großer Entfernung betrachtet wird, und auf die die Umgebung projiziert wurde, mit dem Kugelmittelpunkt als Projektionszentrum. Solche Objektive ermöglichen die Analyse von Beleuchtungsverhältnissen. Seitliche Lichtbereiche tragen weniger zur Helligkeit auf einer senkrecht zur optischen Achse angeordneten Ebene bei und werden entsprechend kleiner abgebildet. Standardmäßig wird der maximal mögliche und für die Beleuchtungsanalyse erforderliche Bildwinkel von 180° abgebildet, obwohl die Verzerrungen nur innerhalb von 120° erträglich sind. Für die bildmäßige Fotografie ist dieser Typ wegen der ausgeprägten Verzerrungen eher unvorteilhaft, Objekte nahe dem Bildrand werden radial noch weit stärker gestaucht als bei flächentreuer Abbildung.

Das Nikon OP Fish-eye NIKKOR 1:5,6/10 mm folgt dieser Projektionsweise („OP“ = orthographic projection); es besitzt eine asphärische Frontlinse, um diese schwierige Projektionsart zu realisieren. Auch Fischaugen-Vorsätze haben meistens eine annähernd orthografische Projektion.

Parameter

Die Umgebung wird in Kugelkoordinaten erfasst, wobei die z-Achse die optische Achse des Objektivs ist und auf die Mitte des zu fotografierenden Bereichs zeigt. Der Koordinatenursprung ist die Eintrittspupille. Die Lage eines Objektes wird mit ${\displaystyle (r,\varphi ,\theta )}$ bestimmt. Der Kugelradius ${\displaystyle r}$ hat theoretisch keinen Einfluss auf die Abbildungsfunktion (reale Objektive: siehe Abschnitt Hinweise). So können alle Objekte auf genau einen Abstand skaliert werden, und es entsteht eine Umgebungskugel. Für den Radius der Umgebungskugel wählt man die Brennweite des Objektivs (${\displaystyle r}$ = ${\displaystyle f}$).

In kartesischen Koordinaten liegt die Bildebene bei ${\displaystyle z}$ = ${\displaystyle f}$ und berührt die Umgebungskugel am Pol (${\displaystyle \theta =0}$). Auf das Bild werden ebene Polarkoordinaten angewendet. Die Lage eines Bilddetails ist durch ${\displaystyle (r,\phi )}$ beschrieben. In dieser geometrischen Anordnung lassen sich die Abbildungsfunktionen gut veranschaulichen und meist auch konstruieren. Die Objektkoordinaten ${\displaystyle \varphi }$ (Azimut) und ${\displaystyle \theta }$ (Polarwinkel) bilden sich in den Bildkoordinaten ${\displaystyle \phi }$ (Azimut) und ${\displaystyle r}$ (Radius) ab.

Das Prinzip ist das gleiche wie beim azimutalen Kartennetzentwurf der Erde. Dort gilt ${\displaystyle \phi =\varphi }$. Jedoch wird die Umgebungskugel im Gegensatz zur Erdkugel von innen betrachtet. Die Vorderseite der Bildebene zeigt die Umgebung dann spiegelbildlich. Für die hier erforderliche rückwärtige Betrachtung sind die Bildkoordinaten (polar und 2D-kartesisch) anders orientiert, so dass die Azimut-0°-Richtung und der Azimut-Umlaufsinn sich zwischen Umgebung und Bild unterscheiden kann. Azimut-Winkelabstände werden unverfälscht abgebildet, und Abbildungsfunktion und Azimut beeinflussen sich nicht. Damit liegt eine azimutale Abbildung vor.

Die Abbildungsfunktion ${\displaystyle \mathbf {g} }$ beschreibt, wie ein Objekt im Polarwinkel ${\displaystyle \theta }$ auf dem Bild um Radius ${\displaystyle r}$ aus der Mitte verschoben erscheint. Das Objektiv hat die (zentrale) Brennweite ${\displaystyle f}$. Mit ${\displaystyle f}$ = 1 wird aus ${\displaystyle \mathbf {g} }$ die normierte Abbildungsfunktion ${\displaystyle \mathbf {h} }$.

${\displaystyle r=\mathbf {g} (\theta ,f)=f\cdot \mathbf {h} (\theta )}$

Seitliche Objekte erscheinen, auf dem Bild verglichen mit der Mittenlage, in anderer Größe, die sich meist auch meridional und sagittal unterscheidet.

meridionale Skalierung:   ${\displaystyle S_{m}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {h} (\theta )}{\mathrm {d} \theta }}}$

sagittale Skalierung:         ${\displaystyle S_{s}={\frac {\mathbf {h} (\theta )}{\sin \theta }}}$

Daraus lassen sich Raumwinkelskalierung ${\displaystyle S_{\Omega }}$ ,  lineare (effektive) Skalierung ${\displaystyle S}$ und Deformation ${\displaystyle D}$ ableiten:

${\displaystyle S_{\Omega }=S_{m}\cdot S_{s}}$

${\displaystyle S={\sqrt {S_{\Omega }}}}$

${\displaystyle D={\frac {S_{m}}{S_{s}}}}$

Bei den fundamentalen Abbildungsfunktionen fällt auf, dass es eine Potenz ${\displaystyle B}$ zwischen Deformation und Skalierung gibt, die unabhängig von ${\displaystyle \theta }$  ist: ${\displaystyle D=S^{B}}$ . Weil ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle S}$ aus ${\displaystyle S_{m}}$ und ${\displaystyle S_{s}}$ abgeleitet sind, ergibt sich auch zwischen ${\displaystyle S_{m}}$ und ${\displaystyle S_{s}}$ eine ${\displaystyle \theta }$-unabhängige Potenz ${\displaystyle N}$ mit ${\displaystyle S_{m}=S_{s}^{N}}$. Dieses ${\displaystyle N}$ wird zur Kennzahl der jeweiligen fundamentalen Funktion.

${\displaystyle B={\frac {2\,(N-1)}{N+1}}}$     (Balance zwischen Deformation und Skalierung)

Der Krümmungsfaktor ${\displaystyle C}$  (curvature) ist die Krümmungszunahme im paraxillaren Bereich.

${\displaystyle C={\frac {N-2}{3-N}}}$     (Krümmung negativ bei tonnenförmiger Verzeichnung)

Die Spezialfälle C = 0 (krümmungsfrei, verzeichnungsfrei), D = 1, S_m = 1, S = 1, S_s = 1 (konstanter Maßstab der jeweiligen Größe) führen zu den fünf fundamentalen Grundfunktionen des vorherigen Abschnitts und der folgenden Tabelle. Keine dieser Grundfunktionen kann mehr als einen Spezialfall abdecken. Gnomonische (C = 0) Normal- und Teleobjektive erfüllen scheinbar alle Spezialfälle, weil die Maßstäbe D, S_m, S und S_s wegen des kleinen Bildwinkels nur wenig vom Wert eins abweichen, wodurch die Abweichungen kaum wahrgenommen oder durch die Betrachtungsperspektive kompensiert werden (Bildbetrachtungswinkel ähnlich Aufnahmewinkel).

Tabelle 1: Fundamentale Funktionen

Projektionstyp (fundamental)	gnomonisch	Fischauge
		winkeltreu	äquidistant	flächentreu	orthografisch
Beispiel Zylindertunnel
Skizze
${\displaystyle N}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle \infty }$
${\displaystyle B}$	${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 2}$
${\displaystyle C}$	${\displaystyle {\boldsymbol {C}}=0}$	${\displaystyle -{\tfrac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle -{\tfrac {3}{4}}}$	${\displaystyle -1}$
Abbildungsfunktion	${\displaystyle {\boldsymbol {r=f\tan \theta }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r=2f\tan {\frac {\theta }{2}}}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r=f\,\theta }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r=2f\sin {\frac {\theta }{2}}}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r=f\sin \theta }}}$
meridionale Skalierung	${\displaystyle S_{m}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}}$	${\displaystyle S_{m}={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S_{m}=1}}}$	${\displaystyle S_{m}=\cos {\frac {\theta }{2}}}$	${\displaystyle S_{m}=\cos \theta }$
sagittale Skalierung	${\displaystyle S_{s}={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle S_{s}={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$	${\displaystyle S_{s}={\frac {\theta }{\sin \theta }}}$	${\displaystyle S_{s}={\frac {1}{\cos {\frac {\theta }{2}}}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S_{s}=1}}}$
Skalierung (effektiv)	${\displaystyle S={\frac {1}{\sqrt {\cos ^{3}\theta }}}}$	${\displaystyle S={\frac {1}{\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$	${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\theta }{\sin \theta }}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {S=1}}}$	${\displaystyle S={\sqrt {\cos \theta }}}$
Deformation	${\displaystyle D={\frac {1}{\cos \theta }}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {D=1}}}$	${\displaystyle D={\frac {\sin \theta }{\theta }}}$	${\displaystyle D=\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}}$	${\displaystyle D=\cos \theta }$
Bildwinkel ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha _{\text{max}}}}}$	< 180°	< 360°	360° (und mehr)	360°	180°
${\displaystyle \alpha _{\text{stark}}}$	102°  1)	180°  1)	217°  2)	180°  2)	120°  2)
${\displaystyle \alpha _{\text{mittel}}}$	75°  1)	131°  1)	159°  2)	131°  2)	90°  2)
${\displaystyle \alpha _{\text{schwach}}}$	54°  1)	94°  1)	115°  2)	94°  2)	66°  2)
Bildkreis ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}$ = 180°	${\displaystyle \varnothing \infty }$	${\displaystyle \varnothing 4f}$	${\displaystyle \varnothing \pi f}$	${\displaystyle \varnothing {\sqrt {8}}f}$	${\displaystyle \varnothing 2f}$
${\displaystyle \alpha }$ = 360°		${\displaystyle \varnothing \infty }$	${\displaystyle \varnothing 2\pi f}$	${\displaystyle \varnothing 4f}$
Fläche  vorn : hinten		${\displaystyle 1:\infty }$	${\displaystyle 1:3}$	${\displaystyle 1:1}$

¹⁾  begrenzt durch Skalierung S
²⁾  begrenzt durch Deformation D

Die Skizze in der Tabelle ist so zu verstehen, dass die Szene erst auf eine Kugeloberfläche projiziert wird, mit der Kugelmitte als Projektionszentrum, um dann wie dargestellt von der Kugel auf die Bildebene abgebildet zu werden.

${\displaystyle \alpha _{\text{stark}}}$, ${\displaystyle \alpha _{\text{mittel}}}$ und ${\displaystyle \alpha _{\text{schwach}}}$ sind Beispiel-Bildwinkel. Mit stark, mittel und schwach ist die Stärke der Verzerrung durch die Skalierung ${\displaystyle S}$ und die Deformation ${\displaystyle D}$ gemeint. Sie liegt innerhalb folgender willkürlich gewählter Bereiche:

stark		${\displaystyle 0{,}5\dotsc 2}$
mittel		${\displaystyle {\sqrt {0{,}5}}\dotsc {\sqrt {2}}}$
schwach		${\displaystyle {\sqrt[{4}]{0{,}5}}\dotsc {\sqrt[{4}]{2}}}$

In der Bildmitte ist der betreffende Wert 1 (verzerrungsfrei) und wird zum Rand je nach Projektionstyp und Kenngröße stetig kleiner oder größer. Noch größere Bildwinkel sind mit einer fundamentalen Zwischenfunktion möglich (Abschnitt Mathematische Modelle weiter unten). Bei der gnomonischen Projektion passen diese Bereiche gut zur Einteilung in Superweitwinkel, gemäßigtes Weitwinkel und Normalobjektiv.

Parametrische Abbildungen

Handelsübliche Fischaugen werden nicht für Messzwecke, sondern für Fotografen entwickelt. Im oberen Kennlinienbereich sind einige Prozent Abweichung zu den fundamentalen Grundfunktionen möglich, um den Aufwand und damit Gewicht und Preis zu begrenzen. Eine bessere Annäherung an die reale Kennlinie kann mit Modellen erreicht werden, die auch Zwischen- und Spezialfunktionen über ein oder mehrere Parameter ermöglichen.

Bei den meist nicht-fundamentalen Abbildungen ist ${\displaystyle N}$ (siehe Kapitel Parameter) nicht allein von entsprechenden Parametern abhängig, sondern auch von ${\displaystyle \theta }$. Die Umrechnung der Parameter nach ${\displaystyle N}$ zu Vergleichszwecken erfolgen dann für ${\displaystyle \theta =0}$ und ergibt ${\displaystyle N_{0}=N(\theta =0)}$. Die nicht-fundamentale Funktion entspricht bei kleineren ${\displaystyle \theta }$-Werten der entsprechenden fundamentalen Zwischenfunktion und nimmt bei größeren ${\displaystyle \theta }$-Werten einen anderen Verlauf.

Tabelle 2: Parametrische Funktionen

Abbildungstyp (parametrisch)	allgemeine fundamentale Funktion	Beispiele für nichtfundamentale Funktionen
		Polynom	winkelskaliert	verschobenes Projektionszentrum	Fisch-Sicht (Kapitel Unterwasserblick)
Skizze
Parameter	${\displaystyle N}$	${\displaystyle a_{3}...a_{2i+1}}$	${\displaystyle L}$	${\displaystyle Z}$	Brechungsindex   ${\displaystyle n}$
${\displaystyle N}$	${\displaystyle {\color {Gray}N}}$	${\displaystyle {\color {Gray}{\frac {\ln {S_{m}}}{\ln {S_{s}}}}}}$
${\displaystyle N_{0}=N(\theta {\to }0)}$		${\displaystyle {\frac {18a_{3}}{6a_{3}+1}}}$	${\displaystyle {\frac {L\max(6L,-3L)}{L\max(2L,-L)+1}}}$	${\displaystyle Z+2}$	${\displaystyle 3-n^{2}}$
${\displaystyle B}$	${\displaystyle {\color {Gray}{\frac {2N-2}{N+1}}}}$	${\displaystyle {\color {Gray}{\frac {\ln D}{\ln S}}}}$
${\displaystyle B_{0}=B(\theta {\to }0)}$		${\displaystyle {\frac {24a_{3}-2}{24a_{3}+1}}}$	${\displaystyle {\frac {L\max(8L,-4L)-2}{L\max(8L,-4L)+1}}}$	${\displaystyle {\frac {2(Z+1)}{Z+3}}}$	${\displaystyle {\frac {4-2n^{2}}{4-n^{2}}}}$
${\displaystyle C}$	${\displaystyle {\color {Gray}{\frac {N-2}{3-N}}}}$	${\displaystyle {\frac {6a_{3}-2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {L\max(2L,-L)-2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {Z}{1-Z}}}$	${\displaystyle {\frac {1-n^{2}}{n^{2}}}}$
Abbildungsfunktion	… entwickelt aus ${\displaystyle {\boldsymbol {{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}=\left({\frac {r}{\sin \theta }}\right)^{N}}}}$ mit  ${\displaystyle {\tfrac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} \theta }}}$ = f  bei θ = 0  und  r = 0	${\displaystyle {\boldsymbol {r=f\cdot \sum _{i=0}^{n-1}a_{2i+1}\,\theta ^{2i+1}}}}$ mit a1 = 1	${\displaystyle {\boldsymbol {r=f\,{\frac {\sin(L\,\theta )}{L\,\cos(\max(L,0)\cdot \theta )}}}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r=f\,{\frac {(1-Z)\sin \,\theta }{\cos \,\theta -Z}}}}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {r=f{\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-{\frac {\sin ^{2}\theta }{n^{2}}}}}}}}}$
meridionale Skalierung	${\displaystyle {\color {Gray}S_{m}={\frac {\mathrm {d} r}{f\mathrm {d} \theta }}}}$	${\displaystyle S_{m}=\sum _{i=0}^{n-1}(2i+1)\,a_{2i+1}\,\theta ^{2i}}$	${\displaystyle S_{m}={\frac {\cos(\min(0,L)\cdot \theta )}{\cos ^{2}(\max(L,0)\cdot \theta )}}}$	${\displaystyle S_{m}={\frac {(1-Z)(1-Z\cos \theta )}{(\cos \theta -Z)^{2}}}}$	${\displaystyle S_{m}={\frac {\cos \theta }{(1-{\frac {\sin ^{2}\theta }{n^{2}}})^{1{,}5}}}}$
sagittale Skalierung	${\displaystyle {\color {Gray}S_{s}={\frac {r}{f\sin \theta }}}}$		${\displaystyle S_{s}={\frac {\sin(L\theta )}{L\sin \theta \cos(\max(L,0)\cdot \theta )}}}$	${\displaystyle S_{s}={\frac {1-Z}{\cos \theta -Z}}}$	${\displaystyle S_{s}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\sin ^{2}\theta }{n^{2}}}}}}}$
Skalierung (effektiv)	${\displaystyle {\color {Gray}S={\sqrt {S_{m}\cdot S_{s}}}}}$		${\displaystyle S={\sqrt {\frac {\sin(L\theta )\cos(\min(0,L)\cdot \theta )}{L\sin \theta \cos ^{3}(\max(L,0)\cdot \theta )}}}}$	${\displaystyle S=(1-Z){\sqrt {\frac {1-Z\cos \theta }{(\cos \theta -Z)^{3}}}}}$	${\displaystyle S={\frac {\sqrt {\cos \theta }}{1-{\frac {\sin ^{2}\theta }{n^{2}}}}}}$
Deformation	${\displaystyle {\color {Gray}D={\frac {S_{m}}{S_{s}}}}}$		${\displaystyle D={\frac {L\sin \theta \cos(\min(0,L)\cdot \theta )}{\sin(L\theta )\cos(\max(L,0)\cdot \theta )}}}$	${\displaystyle D={\frac {1-Z\cos \theta }{\cos \theta -Z}}}$	${\displaystyle D={\frac {\cos \theta }{1-{\frac {\sin ^{2}\theta }{n^{2}}}}}}$
Bildwinkel   ${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha _{\text{max}}}}}$			${\displaystyle {\frac {180^{\circ }}{|L|}}}$	${\displaystyle 2\arccos {\frac {Z}{\max(1,Z^{2})}}}$	${\displaystyle 180^{\circ }}$ bei  ${\displaystyle n>1}$
${\displaystyle \alpha _{\text{stark}}}$	245°  bei N = ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$		244°  bei L = 0,2684	236°  bei Z = −1,2734
${\displaystyle \alpha _{\text{mittel}}}$	182°  bei N = ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$		181°  bei L = 0,2587	178°  bei Z = −1,43
${\displaystyle \alpha _{\text{schwach}}}$	132°  bei N = ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$		131°  bei L = 0,2542	130°  bei Z = −1,536

grauer Text: allgemeingültige Formel, wenn es keine spezielle Formel gibt
Einige Formeln können Sonderfälle, wie z. B. L = 0, nicht berechnen. Die Sonderfall-Formeln sind im Interesse der Übersichtlichkeit nicht aufgenommen worden. Mit der max-und-min-Funktion werden mehrere parameterbereichabhängige Formeln zu einer vereint.

${\displaystyle \alpha _{\text{stark}}}$, ${\displaystyle \alpha _{\text{mittel}}}$ und ${\displaystyle \alpha _{\text{schwach}}}$ sind die Bildwinkel für  ${\displaystyle B(\theta ={\tfrac {\alpha }{2}})=-1}$ , bei denen Skalierung ${\displaystyle S}$ und Deformation ${\displaystyle D}$ folgende willkürlich gewählte Werte haben:

stark		${\displaystyle D\approx 0{,}5}$		${\displaystyle S\approx 2}$
mittel		${\displaystyle D\approx {\sqrt {0{,}5}}}$		${\displaystyle S\approx {\sqrt {2}}}$
schwach		${\displaystyle D\approx {\sqrt[{4}]{0{,}5}}}$		${\displaystyle S\approx {\sqrt[{4}]{2}}}$

Hinweise

Abbildungsfunktionen realer Fischaugen weichen von den fundamentalen Grundfunktionen mehr oder weniger ab. Bei hohen Anforderungen an die Genauigkeit sind parametrische Funktionen anzuwenden. Die Funktion „verschobenes Projektionszentrum“ ist recht gut geeignet. Ansonsten kann man sich auch mit Scheinfunktionen behelfen.

Die Abbildungsfunktionen müssen im deformationsfreien Zentrum der Abbildung (der Bildpunkt in dem weder horizontale noch vertikale Linien gebogen werden) ihre Nullstelle haben. Dieser Punkt liegt versetzt zur Bildmitte und bei realen Objektiven auch nicht genau auf der optischen Achse des Fischauges oder genau auf der Mitte des Bildkreises eines Zirkularfischauges. Wird dieser Versatz beim Geraderechnen nicht berücksichtigt, sind alle Linien in die gleiche Richtung gebogen. Testaufnahmen im Quer- und Hochformat mit Linien am oberen und unteren Rand können helfen, mit Rechenversuchen den senkrechten und seitlichen Versatz zwischen deformationsfreiem Zentrum und Bildmitte zu bestimmen. Bei normalen Ansprüchen kann die Mitte eines Bildkreises oder die Lage der optische Achse verwendet werden. Die Bildmitte ist durch den Sensoreinbau und die Lage des genutzten Anteils des Sensorbereichs gegenüber dem Bajonett verschoben und sollte nur bei geringen Ansprüchen verwendet werden.

Die Abbildungsfunktionen gelten nur für ausreichend weit entfernte Objekte. Die Eintrittspupille von Fischaugen ist nicht ortsfest, sondern wandert mit wachsendem Einfallswinkel auf einem Bogen nach vorn und zur Seite des einfallenden Strahls. Für nahe Objekte kommt es zu einem Parallaxenfehler, sie werden von der verlagerten Eintrittspupille in einem größeren Einfallswinkel und kleinerem Abstand gesehen, als von der frontalen Eintrittspupille zu erwarten wäre. Nahe Objekte werden so radial zusätzlich gestreckt. Das kompensiert die Randstauchung der meisten Fischaugen mehr oder weniger. Die Abbildungsfunktion verändert sich abstandabhängig. Nahe gerade Kanten sind deshalb als Referenz zum Geraderechnen ungeeignet. Eine geeignete Referenz ist z. B. der Meereshorizont.

Bei den Umrechnungen wird oft vom Bild ausgehend, also rückwärts gerechnet. Dementsprechend sind inverse Abbildungsfunktionen zu verwenden. Bei der Rückwärtsrechnung wird anstelle des Einfallswinkels entweder direkt in eine Zielfunktion oder in einen 3D-Raumpunkt (Rückprojektion) umgerechnet.

Galerie

• Beispielaufnahmen mit Fischaugenobjektiven
• Weltraumaufnahme eines tropischen Wirbelsturms über den Bahamas.
• Das Hauptschiff der Basilika Saint-Julien de Brioude in der Auvergne.
• Luftaufnahme der Burg Diósgyőr in Ungarn.
• Der Moul Wasserfall im Wells Gray Provincial Park (British Columbia, Kanada) aus der benachbarten Felshöhle aus gesehen.
• Hemisphärische Aufnahme der Nachthimmels mit der Milchstraße im Sternenpark Westhavelland.
• Riesen-Lebensbaum am Giant Cedar Trail im Mount-Revelstoke-Nationalpark (British Columbia, Kanada).

Linsensysteme

Um den Fischaugen-Effekt zu erzielen, sind auch spezielle Vorsätze erhältlich, die vorn auf ein normales Objektiv aufgeschraubt, aufgerastet, geklemmt (Klipps oder Klammer) oder (z. B. beim Smartphone) magnetisch angeheftet werden. Die Kombination aus normalem Objektiv und Vorsatz verhält sich dann wie ein Fischauge. Die Vorsätze gibt es als Vorsatzobjektiv und als Vorsatzlinse.

Spiegel

Spiegelbilder auf konvexen Spiegeln sind wie bei Fischaugenobjektiven tonnenförmig verzerrt. Aus großem Abstand betrachtet, erzeugt eine Spiegelkugel eine flächentreue (engl.: „equi-solid“) Abbildung. Die Rückseite eines Parabolspiegels erzeugt eine winkeltreue Abbildung. Mit entsprechenden Spiegelformen sind auch andere Abbildungsarten möglich. Wegen der Selbstabbildung der Fotoausrüstung ist nur eine ringförmige Zone nutzbar.

Vorteile

Es sind Bildwinkel über 180° problemlos möglich. Damit können 360°-Zylinderpanoramen aus einem Bild oder Video (bewegtes Panorama) erzeugt werden. Bei Videos ist es zeitlich nicht möglich, zwischen den Bildphasen mehrere Bilder zum späteren Zusammensetzen (dem sog. Stitching) zu machen.

Nachteile

Der Fotoapparat (evtl. auch Stativ und Fotograf) ist in der Mitte des Spiegelbildes zu sehen. Mit einem langbrennweitigen Makro- oder Teleobjektiv kann diese Fläche zwar klein gehalten, aber nicht vermieden werden, wenn man nur ein Einzelbild statt eines Panoramas anstrebt.

Der Bereich hinter dem Spiegel geht verloren. Das ist kein echter Nachteil, denn Linsen-Fischaugen können auch nicht ganz nach hinten sehen.

Spiegel-Fischaugen gibt es nicht auf dem freien Markt. Man muss durch Eigenbau passende Lösungen schaffen.

Es gibt aber auch fertig konfektionierte omnidirektionale Kameras mit katadioptrischem System. Dabei wird eine Linsenoptik mit einem Spiegel ergänzt. So entsteht ein abgestimmtes kompaktes System, das meist auch die Kamera mit einschließt. Für Panoramen sollte die Linsenoptik nach oben gerichtet sein, mit dem Spiegel darüber. Ein dünnwandiger Glaszylinder trägt den Spiegel (einzelne Spiegelstützen würden das Panorama unterbrechen). Das Ringpanorama kann in ein normales Panorama umgerechnet werden. Nadir (von der Linsenoptik verdeckt) und Zenit (vom Spiegel verdeckt) sind nicht abbildbar. Es sind auch mehrere Spiegel möglich, oder die Spiegelung erfolgt innerhalb eines Glaskörpers durch Totalreflexion oder Spiegelbeschichtung.

Unterwasserblick

Wenn ein Fisch aus dem Wasser blickt, sieht er die Außenwelt verkleinert und tonnenförmig verzerrt. Die Außenwelt (180°) erscheint in einem Kegel mit einem Bildwinkel von 96° (doppelter Winkel der optischen Totalreflexion). Dieser Bereich wird auch snellsches Fenster genannt. Außerhalb dieses Fensters spiegelt sich die Unterwasserwelt an der Wasseroberfläche durch Totalreflexion. Der gleiche Effekt tritt beim seitlichen Ausblick aus einem Aquarium mit planen Wänden auf.

Die Außenwelt erscheint in der Mitte auf 75 % verkleinert und am Rand komprimiert. Eine Tauchermaske oder ein Kamera-Unterwassergehäuse mit einer planen Sichtscheibe heben diesen Effekt wieder auf, da die Blickrichtung an der von der Sichtscheibe erzeugte Wasserebene gebrochen wird. Nur mit den direkt im Wasser befindlichen Augen oder aus dem Kugelmittelpunkt einer durchsichtigen Haube kann man ohne Richtungsverfälschungen ins Wasser sehen und so den Fischaugeneffekt wahrnehmen. Durch den Augapfel oder die Haube wird das Wasser zu einer Vorsatzlinse geformt (siehe oben unter „Linsensysteme“). Im Fall des Augen-Wasserkontakts kann man deshalb nicht scharf sehen. Außerdem verhindern Wellen auf der Wasseroberfläche einen klaren Ausblick.

Robert W. Wood, Professor für Experimentelle Physik, beschrieb diesen Effekt und baute eine Wassereimerkamera für den Blick nach oben und eine wassergefüllte Lochkamera für beliebige Blickrichtungen und machte damit die ersten Fischaugenfotos. Das gab den später entwickelten Objektiven mit gleicher Sichtweise den Namen Fischaugenobjektiv.

Die Formel beschreibt die Abbildung einer Lochkamera, die mit einem optisch brechenden Medium gefüllt ist:

${\displaystyle r=f{\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-{\frac {\sin ^{2}\theta }{n^{2}}}}}}}$

${\displaystyle r}$ Bildlage als Abstand zur Bildmitte

${\displaystyle f}$ (zentrale) Brennweite, berücksichtigt auch die Verkleinerung 

${\displaystyle f={\frac {s}{n}}}$

${\displaystyle s}$ Schnittweite, Abstand zwischen Aperturblende (Loch) und Bildebene

${\displaystyle \theta }$ Polarwinkel des abzubildenden Außenobjekts

${\displaystyle n}$ Brechungsindex des Mediums

Luft hat einen Brechungsindex nahe bei ${\displaystyle n=1}$. In diesem Fall ist die Abbildung gnomonisch. Bei sehr großem Brechungsindex wird die Abbildung orthografisch. Die anderen Funktionen aus dem Kapitel „Abbildungsfunktionen“ können in der Bildmitte angenähert (${\displaystyle n={\sqrt {3-N_{0}}}}$), aber für große Winkel nicht nachgebildet werden. Für einen Brechungsindex größer als eins ist der Blickwinkel in die Außenwelt immer 180° und der Rand komprimiert.

Stitching

Mehrere Aufnahmen vom gleichen Standpunkt können mit Stitching- oder Panoramasoftware zu einem Bild oder einem 360-Grad-Video zusammengesetzt werden. Hierzu gibt es auch Panoramakameras, die mit mehreren Objektiven und Bildsensoren ausgestattet sind, die gleichzeitig ausgelöst werden.

Die Software kann meist mehrere Projektionsarten ausgeben und so auch eine Fischaugenabbildung simulieren. Wenn die Software nur ein Panorama ausgeben kann, lässt sich dieses mit anderer Software in ein Fischaugenbild umrechnen.

Es gibt zum Beispiel auch Kamera-Apps für Smartphones, die den Fischaugen-Effekt als Variante des Panoramabilds erzeugen.