Formeln zur Erzeugung pythagoreischer Tripel

Neben der Formel von Euklid wurden viele andere Formeln zur Erzeugung pythagoreischer Tripel entwickelt.

Die Formeln von Euklid, Pythagoras und Platon

Die Formeln von Euklid, Pythagoras und Platon zur Berechnung von Tripeln wurden hier beschrieben:

Pythagoreische Tripel unter Verwendung von Matrizen und linearen Transformationen

Die folgenden Methoden erscheinen in verschiedenen Quellen - oft ohne Angabe ihrer Herkunft.

Fibonaccis Methode

Fibonacci (ca. 1170–1240) beschrieb diese Methode zur Erzeugung primitiver Tripel unter Verwendung der Folge aufeinanderfolgender ungerader ganzer Zahlen $1,3,5,7,9,11,\ldots$ und der Tatsache, dass die Summe der ersten $n$ Glieder dieser Folge $n^{2}$ ist. Wenn $k$ das $n$ -te Folgenglied ist, dann ist $n=(k+1)/2$ .

Man wähle eine beliebige ungerade Quadratzahl $k$ aus dieser Folge ( $k=a^{2}$ ) und es sei dieses Quadrat das $n$ -te Folgenglied. Sei außerdem $b^{2}$ die Summe der vorherigen $n-1$ Folgenglieder und sei $c^{2}$ die Summe aller $n$ Folgenglieder. Dann stellen wir fest, dass $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ist, und wir haben das primitive Tripel (a, b, c) erzeugt. Diese Methode erzeugt unendlich viele primitive Tripel, aber nicht alle.

BEISPIEL: Wir wählen $k=9=3^{2}=a^{2}$ . Diese ungerade quadratische Zahl ist das fünfte Glied der Folge, weil $5=n=(a^{2}+1)/2$ . Die Summe der vorherigen 4 Folgenglieder ist $b^{2}=4^{2}$ und die Summe aller $n=5$ Glieder ist $c^{2}=5^{2}$ . Das gibt uns $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ und damit das primitive Tripel (a, b, c) = (3, 4, 5).

Folgen von ganzen und gebrochenen Zahlen - gemischte Brüche

Der deutsche Mathematiker und Theologe Michael Stifel veröffentlichte 1544 die folgende Methode.

Man betrachte folgende Folge gemischter Brüche: $1{\tfrac {1}{3}},{\text{ }}2{\tfrac {2}{5}},{\text{ }}3{\tfrac {3}{7}},{\text{ }}4{\tfrac {4}{9}},\ldots$ Die Eigenschaften dieser Folge sind:

die ganzzahligen Teile der Brüche sind die natürlichen Zahlen;
die Zähler der gebrochenen Teile sind auch die natürlichen Zahlen;
die Nenner sind die ungeraden Zahlen, beginnend mit 3.

Um ein pythagoreisches Tripel zu berechnen, wählt man ein beliebiges Folgenglied aus und wandelt es in einen unechten Bruch um. Nehmen Sie zum Beispiel den Term $3{\tfrac {3}{7}}$ . Der unechte Bruch ist ${\tfrac {24}{7}}$ . Die Zahlen 7 und 24 sind die Seiten $a$ und $b$ eines rechtwinkligen Dreiecks, und die Hypotenuse ist um eins größer als die größte Seite. Zum Beispiel:

1{\tfrac {1}{3}}{\text{ }}\xrightarrow {\text{ergibt}} {\text{ }}[3,4,5],{\text{    2}}{\tfrac {2}{5}}{\text{ }}\xrightarrow {\text{ergibt}} {\text{ }}[5,12,13],{\text{    3}}{\tfrac {3}{7}}{\text{ }}\xrightarrow {\text{ergibt}} {\text{ }}[7,24,25],{\text{    4}}{\tfrac {4}{9}}{\text{ }}\xrightarrow {\text{ergibt}} {\text{ }}[9,40,41],{\text{ }}\ldots

Jacques Ozanam veröffentlichte 1694 Stifels Folge erneut und fügte eine ähnliche Folge $1{\tfrac {7}{8}},{\text{ }}2{\tfrac {11}{12}},{\text{ }}3{\tfrac {15}{16}},{\text{ }}4{\tfrac {19}{20}},\ldots$ hinzu, deren Terme von $n+{\tfrac {4n+3}{4n+4}}$ abgeleitet sind. Um aus dieser Folge ein Tripel zu erzeugen, wählt man wie zuvor ein beliebiges Folgenglied aus und wandelt es in einen unechten Bruch um. Der Zähler und der Nenner sind die Seiten $a$ und $b$ eines rechtwinkligen Dreiecks. In diesem Fall ist die Hypotenuse der erzeugten Tripel um 2 größer als die größere Seite. Zum Beispiel:

1{\tfrac {7}{8}}\xrightarrow {\text{ergibt}} [15,8,17],2{\tfrac {11}{12}}\xrightarrow {\text{ergibt}} [35,12,37],3{\tfrac {15}{16}}\xrightarrow {\text{ergibt}} [63,16,65],4{\tfrac {19}{20}}\xrightarrow {\text{ergibt}} [99,20,101],\ldots

Zusammen erzeugen die Stifel- und Ozanam-Folgen alle primitiven Tripel der Plato- und Pythagoras-Familien. Die Fermat-Familie muss auf andere Weise gefunden werden.

Mit $a$ als kürzerer und $b$ als längerer Kathete des Dreiecks gilt:

{\text{Plato: }}c-b=2,\quad \quad {\text{Pythagoras: }}c-b=1,\quad \quad {\text{Fermat: }}\left|a-b\right|=1

Dicksons Methode

Leonard E. Dickson (1920) schreibt sich die folgende Methode zur Erzeugung pythagoreischer Tripel zu: Um ganzzahlige Lösungen für $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ zu finden, sucht man positive ganze Zahlen $r$ , $s$ und $t$ , so dass $r^{2}=2st$ ein perfektes Quadrat ist. Dann ist

x=r+s\,,\,y=r+t\,,\,z=r+s+t.

Daraus sehen wir, dass $r$ eine beliebige gerade ganze Zahl ist und dass $s$ und $t$ Faktoren von ${\tfrac {r^{2}}{2}}$ sind. Alle pythagoreischen Tripel können mit dieser Methode gefunden werden. Wenn $s$ und $t$ teilerfremd sind, ist das Tripel primitiv. Ein einfacher Beweis für Dicksons Methode wurde von Josef Rukavicka (2013) vorgelegt.

Beispiel: Wählt man $r=6$ , dann ist ${\tfrac {r^{2}}{2}}=18$ . Die drei Faktorpaare von 18 sind: (1, 18), (2, 9) und (3, 6). Alle drei Faktorpaare ergeben unter Verwendung der obigen Gleichungen pythagoreische Tripel.

s=1,t=18

erzeugt das Tripel (7, 24, 25), da

x=6+1=7

,

y=6+18=24

und

z=6+1+18=25

.

s=2,t=9

erzeugt das Tripel (8, 15, 17), da

x=6+2=8

,

y=6+9=15

,

z=6+2+9=17

.

s=3,t=6

erzeugt das Tripel (9, 12, 15), da

x=6+3=9

,

y=6+6=12

,

z=6+3+6=15

. (Da

s

und

t

nicht teilerfremd sind, ist dieses Tripel nicht primitiv.)

Verallgemeinerte Fibonacci-Folge

Methode I

Für Fibonacci-Zahlen, die mit $F_{1}=0$ und $F_{2}=1$ starten und bei denen jede nachfolgende Fibonacci-Zahl die Summe der beiden vorhergehenden ist, kann man eine Folge von pythagoreischen Tripeln erzeugen, indem man mit $(a_{3},b_{3},c_{3})=(4,3,5)$ beginnt, und mittels

(a_{n},b_{n},c_{n})=(a_{n-1}+b_{n-1}+c_{n-1},\,F_{2n-1}-b_{n-1},\,F_{2n})

für $n\geq 4$ berechnet.

Methode II

Ein pythagoreisches Tripel kann unter Verwendung von zwei beliebigen positiven ganzen Zahlen durch das folgende Verfahren unter Verwendung verallgemeinerter Fibonacci-Folgen erzeugt werden.

Für anfängliche positive ganze Zahlen h_n und h_n+1, mit h_n + h_n+1 = h_n+2 und h_n+1 + h_n+2 = h_n+3 gilt:

(2h_{n+1}h_{n+2},h_{n}h_{n+3},2h_{n+1}h_{n+2}+h_{n}^{2})

ist ein pythagoreisches Tripel.

Methode III

Das Folgende ist ein Matrix-basierter Ansatz zur Erzeugung primitiver Tripel mit verallgemeinerten Fibonacci-Folgen. Man beginnt mit einem 2 × 2-Array und fügt zwei positive teilerfremde ganze Zahlen (q, q') in die obere Zeile ein. Man platziert die gerade Zahl (falls vorhanden) in die linke Spalte.

\left[{\begin{array}{*{20}c}q&{q'}\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]

Nun verwendet man die folgende Fibonacci-Regel an, um die Einträge der unteren Zeile zu erhalten:

{\begin{array}{*{20}c}q'+q=p\\q+p=p'\end{array}}\to \left[{\begin{array}{*{20}c}q&q'\\p&p'\end{array}}\right]

Eine solche Matrix kann als „Fibonacci-Box“ bezeichnet werden. Beachten Sie, dass q', q, p, p' eine verallgemeinerte Fibonacci-Folge ist. Wenn wir Spalten-, Zeilen- und Diagonalprodukte bilden, erhalten wir die Seiten des Dreiecks (a, b, c), seine Fläche A und seinen Umfang P, sowie die Radien r_i seines Inkreises und seiner drei Ankreise wie folgt:

{\begin{array}{l}a=2qp\\b=q'p'\\c=pp'-qq'=qp'+q'p\\\\{\text{Radien}}\to (r_{1}=qq',r_{2}=qp',r_{3}=q'p,r_{4}=pp')\\A=qq'pp'\\P=r_{1}+r_{2}+r_{3}+r_{4}\end{array}}

Der jeweilige Tangens der halben spitzen Winkel ist q/p bzw. q'/p'.

BEISPIEL:

Verwendet man die teilerfremden Zahlen 9 und 2.

\left[{\begin{array}{*{20}c}2&9\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{*{20}c}2&9\\11&13\end{array}}\right]

Die Spalten-, Zeilen- und Diagonalprodukte sind: (Spalten: 22 und 117), (Zeilen: 18 und 143), (Diagonalen: 26 und 99), also

{\begin{array}{l}a=2(22)=44\\b=117\\c=(143-18)=(26+99)=125\\\\{\text{Radien}}\to (r_{1}=18,\quad r_{2}=26,\quad r_{3}=99,\quad r_{4}=143)\\A=18(143)=2574\\P=(18+26+99+143)=286\end{array}}

Der jeweilige Tangens der halben spitzen Winkel ist 2/11 bzw. 9/13. Es ist zu beachten, dass dieses Verfahren zu einem nicht-primitiven Tripel führt, wenn die gewählten ganzen Zahlen q, q' einen gemeinsamen Teiler >1 haben.

Pythagoreische Tripel und der Satz von Descartes

Diese Methode zur Erzeugung primitiver pythagoreischer Tripel liefert auch ganzzahlige Lösungen für den Satz von Descartes,

\left(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4}\right)^{2}=2\left(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{3}^{2}+k_{4}^{2}\right),

wobei die ganzzahlige Krümmung k_i erhalten wird, indem der Kehrwert jedes Radius mit der Fläche A multipliziert wird. Das Ergebnis ist k₁ = pp', k₂ = qp', k₃ = q'p, k₄ = qq'. Hier wird angenommen, dass der größte Kreis eine negative Krümmung in Bezug auf die anderen drei aufweist. Der größte Kreis (Krümmung k₄) kann auch durch einen kleineren Kreis mit positiver Krümmung ersetzt werden (k₀ = 4pp' − qq' ).

BEISPIEL: Unter Verwendung der Fläche und der vier Radien, die oben für das primitive Tripel (44, 117, 125) berechnet wurden, erhalten wir die folgenden ganzzahligen Lösungen für den Satz von Descartes: k₁ = 143, k₂ = 99, k₃ = 26, k₄ = (−18), und k₀ = 554.

Ein ternärer Baum: Generieren aller primitiven pythagoreischen Tripel

Jedes primitive pythagoreische Tripel entspricht eindeutig einer Fibonacci-Box. Umgekehrt entspricht jede Fibonacci-Box genau einem primitiven pythagoreischen Tripel. In diesem Abschnitt verwenden wir die Fibonacci-Box anstelle des primitiven Tripels, das sie darstellt. Ein unendlicher ternärer Baum, der alle primitiven pythagoreischen Tripel / Fibonacci-Boxen enthält, kann wie folgt konstruiert werden:

Betrachtet man eine Fibonacci-Box, die in der rechten Spalte zwei ungerade teilerfremde ganze Zahlen x und y enthält.

\left[{\begin{array}{*{20}{c}}\bullet &x\\\bullet &y\end{array}}\right]

Man könnte diese Zahlen x und y auch wie folgt platzieren:

\left[{\begin{array}{*{20}{c}}\bullet &x\\y&\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}x&y\\\bullet &\bullet \end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}y&x\\\bullet &\bullet \end{array}}\right]

Daraus resultieren drei weitere gültige Fibonacci-Boxen mit x und y. Wir können uns die erste Box als den „Elternteil“ der nächsten drei vorstellen. Wenn zum Beispiel x = 1 und y = 3 ist und wir die Fibonacci-Regel vom Anfang des Abschnitts „Methode III“ verwenden, haben wir:

\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&1\\2&3\end{array}}\right]\leftarrow {\text{Elternteil}}

\left[{\begin{array}{*{20}{c}}2&1\\3&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}1&3\\4&5\end{array}}\right],\left[{\begin{array}{*{20}{c}}3&1\\4&7\end{array}}\right]\leftarrow {\text{Kinder}}

Darüber hinaus ist jedes „Kind“ selbst der Elternteil von drei weiteren Kindern, die nach dem gleichen Verfahren erhalten werden können. Die Fortsetzung dieses Prozesses an jedem Knoten führt zu einem unendlichen ternären Baum, der alle möglichen Fibonacci-Boxen enthält – oder äquivalent zu einem ternären Baum, der alle möglichen primitiven Tripel enthält. (Der hier gezeigte Baum unterscheidet sich von dem von Berggren 1934 beschriebenen klassischen Baum und hat viele verschiedene zahlentheoretische Eigenschaften.) Vergleiche: „Klassischer Baum“ und auch Baumstruktur der primitiven pythagoreischen Tripel.

Generieren von Tripeln mit quadratischen Gleichungen

Es gibt verschiedene Methoden zum Definieren quadratischer Gleichungen zur Berechnung der Katheten eines pythagoreischen Tripels. Eine einfache Methode besteht darin, die Standard-Euklid-Gleichung zu modifizieren, indem zu jedem Paar u und v eine Variable x addiert wird. Das Paar (u, v) wird als Konstante behandelt, während der Wert von x variiert, um eine Folge von Tripeln basierend auf dem ausgewählten Tripel zu erzeugen. Ein beliebiger Faktor kann vor den Wert x in der Formel für u oder v gesetzt werden, wodurch die resultierenden Paare (u₁, v₁) aus der Gleichung systematisch durch die Tripel springen. Betrachten Sie zum Beispiel das Tripel (20, 21, 29), das aus den Euklid-Gleichungen mit einem Wert von u = 5 und v = 2 berechnet werden kann. Nimmt man noch den Koeffizienten 4 willkürlich vor dem x im Term für u:

Sei $u_{1}=(4x+u)$ und $v_{1}=(x+v)$ und setzt man dies in die Euklid-Gleichung ein

{\begin{aligned}{\text{Seite }}a&=2u_{1}v_{1}&&=2(4x+5){\text{ }}(x+2)&&=8x^{2}+26x+20\\{\text{Seite }}b&=u_{1}^{2}-v_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}-(x+2)^{2}&&=15x^{2}+36x+21\\{\text{Seite }}c&=u_{1}^{2}+v_{1}^{2}&&=(4x+5)^{2}+(x+2)^{2}&&=17x^{2}+44x+29\end{aligned}}

Man beachte, dass das ursprüngliche Tripel jeweils den konstanten Term in den quadratischen Gleichungen bildet. Unten finden Sie eine Beispielausgabe dieser Gleichungen. Beachten Sie, dass diese Gleichungen dazu führen, dass der u-Wert in den Euklid-Gleichungen in Schritten von 4 erhöht wird, während der v-Wert um 1 erhöht wird.

x	Seite a	Seite b	Seite c	u	v
0	20	21	29	5	2
1	54	72	90	9	3
2	104	153	185	13	4
3	170	264	314	17	5
4	252	405	477	21	6

Fläche proportional zu Quadratsummen

Alle primitiven Tripel mit $b+1=c$ und a ungerade können wie folgt erzeugt werden:

Pythagoreisches Tripel	halber Umfang	Fläche	Inkreis-Radius	Umkreis-Radius
$\left(3,4,5\right)$	1 + 2 + 3	$6\times (1^{2})$	1	${\tfrac {5}{2}}$
$\left(5,12,13\right)$	1 + 2 + 3 + 4 + 5	$6\times (1^{2}+2^{2})$	2	${\tfrac {13}{2}}$
$\left(7,24,25\right)$	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7	$6\times (1^{2}+2^{2}+3^{2})$	3	${\tfrac {25}{2}}$
.......	.......	.......	.......	.......
$\left(a,{\tfrac {a^{2}-1}{2}},{\tfrac {a^{2}+1}{2}}\right)$	1 + 2 + ... + a	$6\times \left[1^{2}+2^{2}+\cdots +\left({\tfrac {a-1}{2}}\right)^{2}\right]$	$\left({\tfrac {a-1}{2}}\right)$	${\tfrac {c}{2}}$

Satz über die Aufzählung von Höhenüberschüssen

Wade und Wade führten zuerst die Kategorisierung der pythagoreischen Tripel nach ihrer Höhe ein, definiert als c - b, und verbanden 3, 4, 5 mit 5, 12, 13 und 7, 24, 25 und so weiter.

McCullough und Wade haben diesen Ansatz erweitert, der alle pythagoreischen Tripel erzeugt, wenn $k>{\frac {h{\sqrt {2}}}{d}}$ : Schreibt man eine positive ganze Zahl h als pq² mit p quadratfrei und q positiv. Setze d = 2pq, wenn p ungerade ist bzw. d = pq wenn p gerade ist. Für alle Paare (h, k) positiver ganzer Zahlen sind die Tripel gegeben durch

\left(h+dk,\ dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}},\ h+dk+{\frac {(dk)^{2}}{2h}}\right).

Die primitiven Tripel entstehen dabei, wenn ggT(k, h) = 1 und h = q² mit q ungerade oder h = 2q².

Einzelnachweise

↑ Leonardo Pisano Fibonacci: Liber Quadratorum. 1225.
↑ L. E. Sigler (Hrsg.): Leonardo Pisano Fibonacci: The Book of Squares (Liber Quadratorum). Academic Press, Orlando, FL 1987, ISBN 0-12-643130-2.
↑ Michael Stifel (1544), Arithmetica Integra.
↑ Jacques Ozanam: Recreations in Mathematics and Natural Philosophy. In: Recreations in Mathematics and Natural Philosophy. Band 1. G. Kearsley, 1814, S. 49 (google.com [abgerufen am 15. März 2021]).
↑ Edward Riddle, Thomas Tegg (Bearb.): Jacques Ozanam: Science and Natural Philosophy: Dr. Hutton's Translation of Montucla's edition of Ozanam. London 1844. (online)
↑ L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Vol. II: Diophantine Analysis. (= Carnegie Institution of Washington. Publication. No. 256). 1920. (archive.org)
↑ J. Rukavicka: Dickson's Method for Generating Pythagorean Triples Revisited. In: European Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol. 6, No. 3, 2013, S. 363–364. (online1, online2)
↑ A. F. Horadam: Fibonacci number triples. In: American Mathematical Monthly. Band 68, 1961, S. 751–753.
1 2 Frank R. Bernhart, H. Lee Price: Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles. 2005, abgerufen am 7. April 2021.
↑ H. Lee Price: The Pythagorean Tree: A New Species. 2008, abgerufen am 7. April 2021.
↑ B. Berggren: Pytagoreiska trianglar. In: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. Band 17, 1934, S. 129–139 (schwedisch).
↑ Alda Carvalho, Carlos Pereira dos Santos: A very useful Pythagorean tree. In: Jorge Nuno Silva (Hrsg.): Proceedings of the recreational mathematics colloquium II, University of Évora, Portugal, April 27–30, 2011. Associação Ludus, Lisboa 2012, ISBN 978-989-97346-2-3, S. 3–15.
↑ J. L. Poet, D. L. Vestal, Jr: Curious Consequences of a Miscopied Quadratic. In: College Mathematics Journal. Band 36, 2005, S. 273–277.
↑ Edward Barbeau: Power Play. Mathematical Association of America, 1997, S. 51, Punkt 3.
↑ Peter Wade, William Wade: Recursions that produce Pythoagorean triples. In: College Mathematics Journal. Band 31, März 2000, S. 98–101.
↑ Darryl McCullough, Elizabeth Wade: Recursive enumeration of Pythagorean triples. In: College Mathematics Journal. Band 34, März 2003, S. 107–111.

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[1] Leonardo Pisano Fibonacci: Liber Quadratorum. 1225.

[2] L. E. Sigler (Hrsg.): Leonardo Pisano Fibonacci: The Book of Squares (Liber Quadratorum). Academic Press, Orlando, FL 1987, ISBN 0-12-643130-2.

[3] Michael Stifel (1544), Arithmetica Integra.

[4] Jacques Ozanam: Recreations in Mathematics and Natural Philosophy. In: Recreations in Mathematics and Natural Philosophy. Band 1. G. Kearsley, 1814, S. 49 (google.com [abgerufen am 15. März 2021]).

[5] Edward Riddle, Thomas Tegg (Bearb.): Jacques Ozanam: Science and Natural Philosophy: Dr. Hutton's Translation of Montucla's edition of Ozanam. London 1844. (online)

[6] L. E. Dickson: History of the Theory of Numbers. Vol. II: Diophantine Analysis. (= Carnegie Institution of Washington. Publication. No. 256). 1920. (archive.org)

[7] J. Rukavicka: Dickson's Method for Generating Pythagorean Triples Revisited. In: European Journal of Pure and Applied Mathematics. Vol. 6, No. 3, 2013, S. 363–364. (online1, online2)

[8] A. F. Horadam: Fibonacci number triples. In: American Mathematical Monthly. Band 68, 1961, S. 751–753.

[Bernhart-9] 1 2 Frank R. Bernhart, H. Lee Price: Heron's formula, Descartes circles, and Pythagorean triangles. 2005, abgerufen am 7. April 2021.

[Price-10] H. Lee Price: The Pythagorean Tree: A New Species. 2008, abgerufen am 7. April 2021.

[Berggren-11] B. Berggren: Pytagoreiska trianglar. In: Tidskrift för elementär matematik, fysik och kemi. Band 17, 1934, S. 129–139 (schwedisch).

[12] Alda Carvalho, Carlos Pereira dos Santos: A very useful Pythagorean tree. In: Jorge Nuno Silva (Hrsg.): Proceedings of the recreational mathematics colloquium II, University of Évora, Portugal, April 27–30, 2011. Associação Ludus, Lisboa 2012, ISBN 978-989-97346-2-3, S. 3–15.

[13] J. L. Poet, D. L. Vestal, Jr: Curious Consequences of a Miscopied Quadratic. In: College Mathematics Journal. Band 36, 2005, S. 273–277.

[14] Edward Barbeau: Power Play. Mathematical Association of America, 1997, S. 51, Punkt 3.

[15] Peter Wade, William Wade: Recursions that produce Pythoagorean triples. In: College Mathematics Journal. Band 31, März 2000, S. 98–101.

[16] Darryl McCullough, Elizabeth Wade: Recursive enumeration of Pythagorean triples. In: College Mathematics Journal. Band 34, März 2003, S. 107–111.