CSD Colo-Colo

Gabriel Suazo stammt aus der Jugendakademie des chilenischen Rekordmeisters CSD Colo-Colo, die als eine der besten des Landes gilt und aus der in der jüngeren Vergangenheit Spieler wie Matías Fernández, Jorge Valdivia und Arturo Vidal auch international der Durchbruch gelang. Dort durchlief der Mittelfeldspieler diverse Juniorenmannschaften und schaffte es dort zu überzeugen.

Zur Saison 2015/16 unterzeichnete er im Alter von 18 Jahren seinen ersten professionellen Vertrag und wurde in die erste Mannschaft von Trainer José Luis Sierra befördert. Bereits im ersten Pflichtspiel beim 3:1-Pokalsieg gegen Deportes Concepción gab er sein Debüt, als er in der 88. Spielminute für Jaime Valdés eingewechselt wurde. Auf sein Debüt in der Liga musste er sich bis zum 18. Oktober 2015 (9. Spieltag der Apertura) gedulden. Bei der 0:1-Niederlage im heimischen Estadio Monumental stand er von Spielbeginn an auf dem Rasen. In der Apertura 2015 bestritt er zwei Einsätze, die sein Verein mit einem Punkt vor dem Zweitplatzierten CD Universidad Católica gewinnen konnte. Sein Debüt im El clásico del fútbol chileno, dem berüchtigten Stadtderby zwischen Colo-Colo und dem CF Universidad de Chile, gab er am 20. März 2016. Jedoch reichte es in der Clausura 2016 für ihn nur zu zwei Kurzeinsätzen. Sein Verein beendete diese diesmal auf dem zweiten Tabellenplatz mit einem Punkt Abstand auf den Meister Universidad Católica.

In der folgenden Saison 2016/17 kam Suazo vermehrt zum Einsatz. In der Apertura 2016 bestritt er acht Spiele, von denen er bei fünf von Beginn auf dem Platz stand. Colo-Colo erreichte nur den 5. Tabellenplatz, konnte das schwache Abschneiden in der Liga jedoch mit dem Gewinn der Copa Chile einigermaßen ausbalancieren. Anfang des Jahres 2017 verlängerte Suazo sein Arbeitspapier bei Colo-Colo bis Dezember 2021. In der Qualifikation zur Copa Libertadores 2017 scheiterte man bereits in der 2. Runde am brasilianischen Verein Botafogo FR. Am 12. Februar 2017 (2. Spieltag der Clausura) erzielte beim 4:0-Heimsieg gegen Audax Italiano er seinen ersten Treffer im Trikot der Los Albos. In den 15 Spielen der Clausura 2017 bestritt er elf davon und kam in allen von Beginn an zum Einsatz. Mit seinem Verein musste er sich im Kampf um die Meisterschaft jedoch knapp dem verbitterten Stadtrivalen Universidad de Chile geschlagen geben.

Das Eröffnungsspiel der Transición 2017 – Die Übergangssaison aufgrund des Wechsels zur Jahressaison – gegen den CD Antofagasta begann für Suazo mit seiner ersten roten Karte in seiner professionellen Karriere. Bis auf seinen Ausfall aufgrund der Sperre kam er in allen anderen Partien zum Einsatz und war damit ein wichtiger Bestandteil, dass sein Verein die Meisterschaft gewinnen konnte.

In der Saison 2018 wurde Suazo allmählich aus der Startformation verdrängt und kam in lediglich 19 Spielen von 30 zum Einsatz. Die Spielzeit lief auch für seinen Verein nicht zufriedenstellend und man musste sich letztlich, fernab vom Rennen um die Meisterschaft, mit dem 5. Tabellenplatz begnügen. In der Copa Libertadores 2018 scheiterte man im Viertelfinale deutlich an Palmeiras São Paulo, schaffte es jedoch überhaupt als einzige chilenische Mannschaft in die Finalrunde.

In der folgenden Spielzeit 2019 eroberte er sich seinen Platz in der Startformation im Mittelfeld zurück. Sein erst zweites Tor in seiner professionellen Karriere erzielte er am 13. April (8. Spieltag) beim 3:2-Heimsieg gegen den CD O’Higgins. Die Spielzeit beendete er mit drei Toren und vier Vorlagen in 23 Ligaspielen.

FC Toulouse

Im Januar 2023 verließ der Chilene sein Heimatland und wechselte nach Europa zum FC Toulouse.