Zulässige Mengen

Für ein ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{h_{1},\dots ,h_{k}\}}$ ist ${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})}$ die Anzahl eindeutiger Restklassen modulo ${\displaystyle p}$.

Beispiel:

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{0,2,5\},\quad p=3,\quad {\mathcal {H}}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,1\}\quad \nu _{3}({\mathcal {H}})=2}$

Wir nennen ein ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ zulässig (englisch admissible), falls ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ keine vollständige Menge von Resten bezüglich aller Primzahlen ${\displaystyle p}$ bildet, das heißt

${\displaystyle \nu _{p}({\mathcal {H}})<p,\quad \forall p\in \mathbb {P} .}$

Um das zu überprüfen, genügt es nur die Primzahlen bis ${\displaystyle k}$ zu überprüfen.

Beispiele für nicht zulässig:

${\displaystyle \{0,2,4\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,1,2\}}$ ergibt ${\displaystyle 3}$ Restklassen und ${\displaystyle \{0,2,6,8,12,14\}{\stackrel {\pmod {5}}{=}}\{0,2,1,3,2,4\}}$ ergibt ${\displaystyle 5}$ Restklassen.

Beispiele für zulässig:

${\displaystyle \{0,2\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2\}}$ ergibt ${\displaystyle 2}$ Restklassen, ${\displaystyle \{0,2,6\}{\stackrel {\pmod {3}}{=}}\{0,2,0\}}$ ergibt ${\displaystyle 2}$ Restklassen und ${\displaystyle \{0,2,6\}{\stackrel {\pmod {5}}{=}}\{0,2,1\}}$ ergibt ${\displaystyle 3}$ Restklassen.

Herleitung der Gewichte

Wenn ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ ein Primzahl-${\displaystyle k}$-Tupel ist, dann besteht

${\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n)=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}$

aus exakt ${\displaystyle k}$ Primfaktoren. Wir wählen nun die verallgemeinerte Mangoldt-Funktion

${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=\sum \limits _{d\mid n}\mu (d)\left(\log \left({\frac {n}{d}}\right)\right)^{k},}$

denn diese hat die Eigenschaft, dass wenn ${\displaystyle n}$ aus mehr als ${\displaystyle k}$ eindeutigen Primfaktoren besteht (d. h. ${\displaystyle \omega (n)>k}$), dann gilt ${\displaystyle \Lambda _{k}(n)=0}$. Die Funktion erkennt zwar auch Primzahlpotenzen, aber der Fehler ist gering und kann vernachlässigt werden.

Wenn nun ${\displaystyle {\mathcal {H}}(n)}$ ein Primzahl-${\displaystyle k}$-Tupel ist, dann wird die Funktion

${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\Lambda _{k}(P_{\mathcal {H}}(n))}$

nicht verschwinden. Der Normalisierungsfaktor ${\displaystyle 1/k!}$ ist nur aus rechnerischen Gründen dort.

Approximation der verallgemeinerten Mangoldt-Funktion

Für ${\displaystyle k=1}$ lässt sich die Mangoldt-Funktion durch die abgeschnittene Mangoldt-Funktion ${\displaystyle \Lambda _{R}(n)}$ approximieren

${\displaystyle \Lambda (n)\approx \Lambda _{R}(n):=\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid n\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\log \left({\frac {R}{d}}\right),}$

wobei das ${\displaystyle R}$ hier nicht mehr für die Tupellänge steht, welche immer noch ${\displaystyle k}$ ist. Dasselbe machen wir mit der verallgemeinerten Mangoldt-Funktion resp. ${\displaystyle \Lambda _{k}(n;{\mathcal {H}})}$. Wir führen folgende Approximation ein

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}})={\frac {1}{k!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k}}$

Die entscheidende Idee ist nun, statt nur Primtupel lieber Tupel mit Primzahlen in mehreren Komponenten zu approximieren und einen zusätzlichen Parameter ${\displaystyle 0\leq \ell \leq k}$ einzuführen

${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}},\ell )={\frac {1}{(k+\ell )!}}\sum \limits _{\begin{array}{c}d\mid P_{\mathcal {H}}(n)\\d\leq R\end{array}}\mu (d)\left(\log \left({\frac {R}{d}}\right)\right)^{k+\ell }.}$

Die Gewichtsfunktion schaut somit ob ${\displaystyle k+\ell }$ oder weniger eindeutige Primfaktoren in ${\displaystyle P_{\mathcal {H}}(n)=(n+h_{1})(n+h_{2})\cdots (n+h_{k})}$ enthalten sind, das bedeutet ${\displaystyle \omega (P_{\mathcal {H}}(n))\leq k+\ell }$. Der technische Grund hierfür ist, dass wir mit dem ${\displaystyle \ell }$ Parameter für ein eindeutiges ${\displaystyle d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}}$ die Restriktion ${\displaystyle d=d_{1}d_{2}\cdots d_{k}\leq R}$ erhalten und ohne diesen Parameter die Restriktion ${\displaystyle d_{1}\leq R,d_{2}\leq R,\dots ,d_{k}\leq R}$. Durch den ${\displaystyle k+\ell }$ Exponent wird das Ganze zur Anwendung eines ${\displaystyle k+\ell }$-dimensionalen Siebs auf ein ${\displaystyle k}$-dimensionales Siebproblem.

Der Beweis der eigentlichen Aussage von GPY

Betrachte die zwei Tupel ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1},k_{1})}$ und ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2},k_{2})}$ und sei ${\displaystyle 1\leq h_{0}\leq R}$ und ${\displaystyle M:=k_{1}+k_{2}+\ell _{1}+\ell _{2}}$. Goldston, Pintz und Yıldırım bewiesen dann unter bestimmten Voraussetzungen zwei asymptotische Abschätzungen der Form

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})=C_{1}N\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})+o_{M}(1)\right)}$

und

${\displaystyle \sum \limits _{n\leq N}\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})\Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})\theta (n+h_{0})=C_{2}N\left({\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})+o_{M}(1)\right),}$

wobei ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ zwei Konstanten sind, ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{i})}$ und ${\displaystyle {\mathcal {S}}({\mathcal {H}}^{j})}$ sind zwei singulare Reihen, auf deren Beschreibung wir hier verzichten. Wählt man ${\displaystyle ({\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})=({\mathcal {H}}_{2},\ell _{2})}$, dann erhält man den gewünschten Faktor ${\displaystyle \Lambda _{R}(n;{\mathcal {H}}_{1},\ell _{1})^{2}}$ in den Abschätzungen.

Beide Abschätzungen werden dann auf ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ angewendet um das eigentliche Theorem von Goldston, Pintz und Yıldırım herzuleiten.