In der Mathematik sind gute Überdeckungen ein Hilfsmittel in der Topologie von Mannigfaltigkeiten. Gute Überdeckungen sind Überdeckungen durch offene Mengen, deren endliche Durchschnitte alle zusammenziehbar sind.

Definition für Mannigfaltigkeiten

Es sei ${\displaystyle M}$ eine Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ eine Überdeckung von ${\displaystyle M}$ durch offene Mengen ${\displaystyle U_{i}}$. Die Überdeckung ist eine gute Überdeckung, wenn alle endlichen Durchschnitte

${\displaystyle U_{i_{0}}\cap \ldots \cap U_{i_{p}}}$

(mit ${\displaystyle i_{0},\ldots ,i_{p}\in I}$) diffeomorph zum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ sind.

Definition für topologische Räume

Es sei ${\displaystyle X}$ ein topologischer Raum und ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ eine Überdeckung von ${\displaystyle X}$ durch offene Mengen ${\displaystyle U_{i}}$. Die Überdeckung ist eine gute Überdeckung, wenn alle endlichen Durchschnitte

${\displaystyle U_{i_{0}}\cap \ldots \cap U_{i_{p}}}$

(mit ${\displaystyle i_{0},\ldots ,i_{p}\in I}$) zusammenziehbar sind.

(Diese Definition ist etwas allgemeiner als die oben im Spezialfall von Mannigfaltigkeiten gegebene. Dies macht im Fall parakompakter Mannigfaltigkeiten jedoch keinen Unterschied, weil jede parakompakte Mannigfaltigkeit sogar im obigen Sinn eine gute Überdeckung hat.)

Nicht jeder topologische Raum hat eine gute Überdeckung. Zum Beispiel gibt es topologische Räume, in denen nicht jeder Punkt eine zusammenziehbare Umgebung hat.

Jedoch gilt im Fall von Simplizialkomplexen, dass es stets gute Überdeckungen gibt und dass die guten Überdeckungen kofinal in der Menge aller Überdeckungen sind.

Literatur

• Bott, Raoul; Tu, Loring W.: Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1982. ISBN 0-387-90613-4

Weblinks

• good open cover in nlab

Einzelnachweise

1. ↑ Bott-Tu, op.cit., Theorem 5.1
2. ↑ vgl. Bott-Tu, op.cit., S. 42ff
3. ↑ Bott-Tu, op.cit., S. 190